伯奇和斯溫納頓-戴爾猜想證明

2021-09-10 07:22:44王海東

數(shù)理化解題研究·綜合版 2021年5期

王海東

摘要：伯奇和斯溫納頓-戴爾猜想是否成立，取決于高階項是否小于p.如果高階項小于p，伯奇和斯溫納頓-戴爾猜想就是成立的.如果高階項不小于p，伯奇和斯溫納頓-戴爾猜想就是不成立的.

關(guān)鍵詞：伯奇和斯溫納頓-戴爾猜想;哈塞-韋伊L函數(shù);橢圓曲線

中圖分類號：G632文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A文章編號：1008-0333（2021）15-0041-03

伯奇和斯溫納頓-戴爾猜想來源于哈塞-韋伊L函數(shù).哈塞-韋伊L函數(shù)來源于橢圓曲線p模同余方程.橢圓曲線p模同余方程來源于橢圓曲線仿射方程.橢圓曲線仿射方程來源于橢圓曲線射影方程.

令x代表自變量，y代表因變量，k代表某個不等于0和1的常數(shù)，橢圓曲線射影方程為：

y3=x（x-1）（x-k）

令a，b，c，d代表四個不同常數(shù)，我們可以從橢圓曲線射影方程推出橢圓曲線仿射方程：

y2+ay=x3+bx2+cx+d

假定橢圓曲線的域特征不等于2和3，我們可以將橢圓曲線仿射方程簡化成以下形式：

y2=x3+ax+b

這樣一來，橢圓曲線仿射方程就與一個古希臘數(shù)學(xué)問題產(chǎn)生了理論聯(lián)系.

這個古希臘數(shù)學(xué)問題是：到底有多少正整數(shù)可以成為邊長為有理數(shù)的直角三角形的面積數(shù)？

令h代表任意正整數(shù)，x和y代表y≠0的有理數(shù)解，回答這個古希臘數(shù)學(xué)問題的充要條件為：

y2=x3-h2x

我們不難發(fā)現(xiàn)：當(dāng)a=-h2和b=0時，簡化的橢圓曲線仿射方程就是這個充要條件的數(shù)學(xué)表達(dá)式.

這個發(fā)現(xiàn)意味著：到底有多少正整數(shù)可以成為邊長為有理數(shù)的直角三角形的面積數(shù)的數(shù)學(xué)問題，等價于某條橢圓曲線上到底可以存在多少個有理點的數(shù)學(xué)問題.有理點就是用有理數(shù)表示的坐標(biāo)點.

那么，怎樣才能把某條橢圓曲線的有理點數(shù)計算出來呢？顯然，我們只能用橢圓曲線p模同余方程來完成這個計算任務(wù).因為，橢圓曲線p模同余方程的有理解數(shù)就是某條橢圓曲線的有理點數(shù).

令p代表任意質(zhì)數(shù)，我們可以從簡化的橢圓曲線仿射方程推出橢圓曲線p模同余方程：

y2≡x3+ax+b（mod p）

令λE（p）=p+1-NE（p）<p，NE（p）代表橢圓曲線p模同余方程的有理解數(shù)，λE（p）代表橢圓曲線p模同余方程的有理解數(shù)的偏差，E代表橢圓曲線，s代表任意復(fù)數(shù)，我們可以從橢圓曲線p模同余方程推出哈塞-韋伊L函數(shù)：

L（E，s）=∏p（1-λE（p）P+p-2s）-1=∑SymboleB@n=1λE（p）ns

由于哈塞-韋伊L函數(shù)屬于冪級數(shù)，所以哈塞-韋伊L函數(shù)適用于泰勒展開式.

令f0代表s=1的函數(shù)值，f1代表f0的一階導(dǎo)數(shù)，f2代表f0的二階導(dǎo)數(shù)除以2的階乘，f3代表f0的三階導(dǎo)數(shù)除以3的階乘，以此類推直至fn代表f0的n階導(dǎo)數(shù)除以n的階乘，哈塞-韋伊L函數(shù)的泰勒展開式為：

L（E，s）=f0+f1（s-1）+f2（s-1）2+f3（s-1）3+…+fn（s-1）n

從哈塞-韋伊L函數(shù)的泰勒展開式來看，如果將橢圓曲線上的全體有理點視為一個有理數(shù)集合，形成這個有理數(shù)集合的充要條件就是：

f0=0

但是，伯奇和斯溫納頓-戴爾并沒有滿足于發(fā)現(xiàn)這個充要條件.因為，這個有理數(shù)集合具有某種群結(jié)構(gòu).從這種群結(jié)構(gòu)來看，這個有理數(shù)集合不僅是一個存在于橢圓曲線上的有理數(shù)群，而且是一個通過橢圓曲線的秩有限生成的阿貝爾群.橢圓曲線的秩就是橢圓曲線上的線性無關(guān)有理點數(shù).橢圓曲線上的線性無關(guān)有理點數(shù)就是橢圓曲線上的有限個線性獨立有理點.橢圓曲線上的有限個線性獨立有理點，或者可以通過加法運算生成有限個有理數(shù)子群，或者可以通過加法運算生成有限個整數(shù)群副本.

令r代表橢圓曲線的秩，E（Q）代表存在于橢圓曲線上的有理數(shù)群，E（Q）g代表有限個有理數(shù)子群，Zr代表有限個整數(shù)群副本，我們可以用以下公式表示這個有理數(shù)集合：

E（Q）E（Q）g×Zr

從這個公式來看，橢圓曲線的秩是度量橢圓曲線的階的一個重要參數(shù).橢圓曲線的階就是存在于橢圓曲線上的有理數(shù)群的元素個數(shù).存在于橢圓曲線上的有理數(shù)群的元素個數(shù)就是某條橢圓曲線的有理點數(shù).于是，伯奇和斯溫納頓-戴爾提出了一個十分重要的數(shù)學(xué)猜想.

令fr≠0，fn=0，n=0，1，2，3，…，r-1，這個十分重要的數(shù)學(xué)猜想就是：

L（E，s）=fr（s-1）r+高階項

那么，伯奇和斯溫納頓-戴爾猜想具有什么重要性呢？顯然，伯奇和斯溫納頓-戴爾猜想的重要性在于：這個數(shù)學(xué)猜想不僅給出了一個比上述充要條件更強(qiáng)的充要條件，而且給出了位于橢圓曲線中心點的有理點數(shù).這個中心點就是s=1的坐標(biāo)點.因為，這個猜想包含著一個斷言：當(dāng)s=1時，橢圓曲線的階等于橢圓曲線的秩.

那么，證明伯奇和斯溫納頓-戴爾猜想的難點是什么呢？顯然，證明伯奇和斯溫納頓-戴爾猜想的難點在于：這個猜想不僅給出了一個有待證明的數(shù)學(xué)問題，而且給出了證明這個數(shù)學(xué)問題的一個充要條件.這個充要條件就是s=1.從這個充要條件來看，要想證明伯奇和斯溫納頓-戴爾猜想，就必須用實數(shù)定義哈塞-韋伊L函數(shù)的復(fù)數(shù).要想用實數(shù)定義哈塞-韋伊L函數(shù)的復(fù)數(shù)，就必須把哈塞-韋伊L函數(shù)的復(fù)數(shù)變成實數(shù).

令σ和t代表兩個實數(shù)，i代表虛數(shù)，我們可以用以下公式表示哈塞-韋伊L函數(shù)的復(fù)數(shù)：

s=σ+it

從這個公式來看，只要做出t=0的規(guī)定，我們就可以把哈塞-韋伊L函數(shù)的復(fù)數(shù)變成實數(shù)了.但是，哈塞-韋伊L函數(shù)不允許我們做出這樣的規(guī)定.因為，哈塞-韋伊L函數(shù)是一個復(fù)變函數(shù).作為一個復(fù)變函數(shù)，哈塞-韋伊L函數(shù)已經(jīng)做出t≠0的規(guī)定了.

由此可見，把哈塞-韋伊L函數(shù)的復(fù)數(shù)變成實數(shù)并不是一件容易事.

那么，怎樣才能把哈塞-韋伊L函數(shù)的復(fù)數(shù)變成實數(shù)呢？顯然，要想把哈塞-韋伊L函數(shù)的復(fù)數(shù)變成實數(shù)，就必須推出兩個十分重要的數(shù)學(xué)定理.這兩個數(shù)學(xué)定理就是虛數(shù)產(chǎn)生定理和負(fù)實數(shù)開方定理.

虛數(shù)產(chǎn)生定理是指：所有負(fù)實數(shù)的開方運算都會產(chǎn)生一個虛數(shù).

令-x代表任意負(fù)實數(shù)，y代表負(fù)實數(shù)的開方，我們可以用數(shù)學(xué)歸納法證明虛數(shù)產(chǎn)生定理.

第一步，假定-x=-1.根據(jù)這一假定，我們可以推出以下公式：

y=-1=i

第二步，假定-x=-n且n>0.根據(jù)這一假定，我們可以推出以下公式：

y=-n=-1×n=-1×n=in

第三步，假定-x=-（n+m）且m≥0.根據(jù)這一假定，我們可以推出以下公式：

y=-x=-1×（n+m）=-1×n+m=in+m

因為上述三個公式覆蓋了所有負(fù)實數(shù)，所以我們可以推出以下公式：

y=-x=-1×x=-1×x=ix

證畢.

負(fù)實數(shù)開方定理是指：任何絕對值相同的正負(fù)實數(shù)相乘都會產(chǎn)生負(fù)實數(shù)開方.

令y和-x含義不變，我們可以用以下方法證明負(fù)實數(shù)開方定理：

已知y=-x

又知y2=-x

因此x=-y2=y×（-y）

證畢.

通過虛數(shù)產(chǎn)生定理，我們可以找到這樣一個數(shù)學(xué)公式：y=ix

通過負(fù)實數(shù)開方定理，我們又可以找到這樣一個數(shù)學(xué)公式：y=-xy

把這兩個數(shù)學(xué)公式聯(lián)系起來，我們可以推出一個十分重要的數(shù)學(xué)公式：

ix=-xy

從這個數(shù)學(xué)公式中，我們又可以推出一個十分重要的數(shù)學(xué)公式：

iy=-xx

令z=x+iy代表復(fù)數(shù)，我們可以利用這個數(shù)學(xué)公式消去虛數(shù)，把復(fù)數(shù)公式改寫成實數(shù)公式：

z=x+iy=x-xx=x（1-1x）

在做好了這些理論準(zhǔn)備之后，我們就可以消除證明伯奇和斯溫納頓-戴爾猜想的難點，十分容易地把哈塞-韋伊L函數(shù)的復(fù)數(shù)變成實數(shù)了.

令s=z，σ=x，t=y，我們可以用以下公式表示這個變化過程：

s=σ+it=σ-σσ=σ（1-1σ）

為了便于敘述，我們把這個公式稱為復(fù)變公式.

從復(fù)變公式中，我們可以得出五個重要結(jié)論：

第一，σ不存在0SymbolcB@σ<1的定義域.因為，如果σ存在0SymbolcB@σ<1的定義域，復(fù)變公式就會出現(xiàn)零分母或無理數(shù).前者不符合分?jǐn)?shù)要求，后者不符合有理數(shù)要求.

第二，由于σ不存在0SymbolcB@σ<1的定義域，所以σ有兩個定義域.第一個定義域為σ≥1，第二個定義域為σ<0.σ的第一個定義域就是復(fù)變公式的實數(shù)定義域.因為，當(dāng)σ≥1時，復(fù)變公式不會產(chǎn)生虛數(shù).σ的第二個定義域就是復(fù)變公式的復(fù)數(shù)定義域.因為，當(dāng)σ<0時，復(fù)變公式會產(chǎn)生虛數(shù).

第三，由于σ有兩個定義域，所以s也有兩個定義域.第一個定義域為s≥0，第二個定義域為s<0.s的第一個定義域來自于σ的第一個定義域.因為，當(dāng)σ≥1時，s≥0.s的第二個定義域來自于σ的第二個定義域.因為，當(dāng)σ<0時，s<0.

第四，雖然σ和s都有兩個定義域，但是這種相同之處卻又有所不同.σ的兩個定義域既無連續(xù)性又無對稱性.s的兩個定義域既有連續(xù)性又有對稱性.因此，σ的兩個定義域不會產(chǎn)生共軛變量，s的兩個定義域會產(chǎn)生共軛變量.共軛變量就是與原有變量絕對值相同符號相反的變量.

第五，從哈塞-韋伊L函數(shù)來看，當(dāng)s=0時，L（E，s）=λE（p）.當(dāng)s>0時，L（E，s）<λE（p）.當(dāng)s<0時，L（E，s）>λE（p）.

令σ代表平面直角坐標(biāo)系的橫軸，s代表平面直角坐標(biāo)系的縱軸，我們可以根據(jù)這五個重要結(jié)論給出復(fù)變公式的幾何表示：

由于平面直角坐標(biāo)系的右平面屬于復(fù)變公式的實數(shù)定義域，所以平面直角坐標(biāo)系的右平面是一個實平面.在這個實平面上，存在著一條以σ=1為頂點的軸對稱拋物線.位于橫軸上方的軸對稱拋物線代表s的原有變量，位于橫軸下方的軸對稱拋物線代表s的共軛變量.

由于平面直角坐標(biāo)系的左平面屬于復(fù)變公式的復(fù)數(shù)定義域，所以平面直角坐標(biāo)系的左平面是一個復(fù)平面.在這個復(fù)平面上，存在著一條以σ<0為頂點的軸對稱拋物線.位于橫軸下方的軸對稱拋物線代表s的原有變量，位于橫軸上方的軸對稱拋物線代表s的共軛變量.

除了上述區(qū)別，平面直角坐標(biāo)系的右平面和左平面還有一個重要區(qū)別.這個重要區(qū)別來自于實平面和復(fù)平面的區(qū)別.

由于平面直角坐標(biāo)系的右平面是一個實平面，所以平面直角坐標(biāo)系的右平面不存在無窮遠(yuǎn)點.由于平面直角坐標(biāo)系的右平面不存在無窮遠(yuǎn)點，所以右平面軸對稱拋物線不會收斂于無窮遠(yuǎn)點.由于右平面軸對稱拋物線不會收斂于無窮遠(yuǎn)點，所以右平面軸對稱拋物線不能被想象為軸對稱橢圓曲線.

由于平面直角坐標(biāo)系的左平面是一個復(fù)平面，所以平面直角坐標(biāo)系的左平面存在無窮遠(yuǎn)點.由于平面直角坐標(biāo)系的左平面存在無窮遠(yuǎn)點，所以左平面軸對稱拋物線會收斂于無窮遠(yuǎn)點.由于左平面軸對稱拋物線會收斂于無窮遠(yuǎn)點，所以左平面軸對稱拋物線可以被想象為軸對稱橢圓曲線.

如果把平面直角坐標(biāo)系的右平面和左平面聯(lián)系起來，將右平面軸對稱拋物線視為左平面軸對稱橢圓曲線的射影，將左平面軸對稱橢圓曲線視為右平面軸對稱拋物線的虧格，橢圓曲線就是一條虧格為1的光滑射影曲線.

由此可見，復(fù)變公式的幾何表示就是橢圓曲線的幾何表示.橢圓曲線的幾何表示就是哈塞-韋伊L函數(shù)的幾何表示.哈塞-韋伊L函數(shù)的幾何表示就是伯奇和斯溫納頓-戴爾猜想的幾何表示.

現(xiàn)在的問題是：s=1意味著什么？

從以上分析來看，s=1意味著s>0，s>0意味著

L（E，s）<λE（p）.由于λE（p）<p，所以L（E，s）<λE（p）意味著L（E，s）<p.由于p>0，所以L（E，s）<p意味著L（E，s）≥0.

這樣一來，我們就通過s=1發(fā)現(xiàn)了L（E，s）的上限和下限.

根據(jù)這個發(fā)現(xiàn)，我們可以用以下方法證明伯奇和斯溫納頓-戴爾猜想：

已知L（E，s）=fr（s-1）r+高階項，

又知0≤L（E，s）<p，

0≤（s-1）r<p-高階項fr

因此，高階項<p

證畢.