Clifford代數Clp，q的冪等元

張桂穎， 紀云龍， 李武明

0 引 言

Clifford代數Clp，q是由p＋q維 Minkowski空間Rp，q生成的一類2p＋q維的實結合代數，在數學和物理中有諸多應用［1－3］。在對 Clp，q理論的研究中，人們注意到可除的Clp，q只有R≌Cl0，0，C≌Cl0，1，H≌Cl0，23種。故此，人們非常關注非可除的Clp，q的研究。文中的主要結果有:

1）Clp，q非可除代數的充分必 要條件是Clp，q有非平凡冪等元；

2）若Clp，q的中心子代數Cen（Clp，q）有非平凡冪等元，則Clp，q有雙環結構。

1 Clp，q有非平凡冪等元的等價命題

Clifford代數Clp，q的一組基［1－3］為:

且滿足

定義1［1］設A為域F上代數，利用A的加法運算與乘法運算，在

上定義加法運算與乘法運算為:

則A2構成環，稱其為A的雙環，記為2A。

下面我們把Clp，q中滿足u2＝1，u≠±1的元素u稱為Clp，q的非平凡自逆元。

定理1 設Clp，q是由p＋q維 Minkowski空間Rp，q生成的Clifford代數，則有如下等價命題。

1）Clp，q有非平凡零因子；

2）Clp，q有非平凡冪等元；

3）Clp，q有非平凡自逆元；

4）Clp，q有子代數同構于雙環2R。

證明

1）?3），Clp，q有非平凡零因子，即Clp，q是非可除的［4－7］，可知p＞0或q＞2。當p＞0時，Clp，q有非平凡自逆元e1，命題成立。當p＝0時，必有q＞2，Clp，q有3次單位向量e123為其非平凡自逆元。

3）?2），設u是Clp，q的一個非平凡自逆元，令

即v是Clp，q的非平凡冪等元。

2）?1），設v是Clp，q的非平凡冪等元［8］，則存在非零元1－v，使得v（1－v）＝0，即Clp，q有非平凡零因子。

3）?4），若Clp，q有非平凡的自逆元u，u2＝1，即u為Clp，q的一個雙曲虛單位，從而Clp，q有子代數｛a＋bu｜a，b∈R｝≌H≌2R。

4）?3），若Clp，q有子代數與雙環2R 同構，即與雙曲數 H＝｛a＋bj｜a，b∈R｝同構，從而Clp，q有雙曲虛單位j，即為Clp，q的非平凡自逆元。

2 冪等元與Clp，q的結構

定理2 若Clp，q的中心 Cen（Clp，q）有非平凡冪等元，則 Cen（Clp，q）≌2R，且

即 Cen（Clp，q）與Clp，q均有雙環結構。

證明 由于Clp，q的中心子代數只可能同構于R，H 與C，而R與C中均無非平凡冪等元。故 Cen（Clp，q）有非平凡冪等元時，必有

下證

1）任取a∈Clp，q－1，b∈Cen（Clp，q）有ab＝ba；

2）Clp，q＝Clp，q－1Cen（Clp，q）；

3）dimClp，q＝2p＋q＝2p＋q－1·2＝dimClp，q－1dimCen（Clp，q）故有

當q≠0時，有

同樣可證，當q＝0時，有

推論1 若e

12…（p＋q）

為自逆元，且

則

［1］ Lounesto P.Clifford algebra and spinord［M］.Cambridge:Cambridge University Press，2001.

［2］ 李武明.Clifford代數與 Minkowski空間的性質［J］.吉林大學學報:理學版，2000，10（4）:13-16.

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［4］ 李武明，張慶成.四維雙曲復空間與Lorentz群［J］.東北師范大學學報:自然科學版，2005，37（2）:15-17.

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