從旋轉的角度慧眼識圖

徐奎奎

【典例重現】如圖1，△ABC、△ADE均是頂角為42°的等腰三角形，BC，DE分別是底邊，圖1中的哪兩個三角形可以通過怎樣的旋轉而互相得到？（八年級下冊第89頁第12題）

解析：若想通過旋轉得到，這兩個三角形必須全等，且對應點到某一定點的距離必須相等. 根據“SAS”可知△ABD ≌ △ACE，且點B和點C、點D和點E、點A和點A分別是對應點，且點A是旋轉中心. 因此，將△ABD繞點A逆時針旋轉42°就可以得到△ACE;同樣將△ACE繞點A順時針旋轉42°就可以得到△ABD.

【啟示】 用旋轉的視角觀察圖形的結構特征，通常能夠發現其中隱含著三角形全等的關系. 旋轉只改變圖形的位置，不改變圖形的大小（全等三角形的對應角相等、對應邊相等），因此可用旋轉變換線段的位置，將幾個分散的條件聚集在一起，為順利求解奠定基礎.

【慧眼識圖1】 以等腰直角三角形為載體的基本圖形，如圖2.

【旋轉策略】 如圖2①，P為等腰直角三角形ABC內一點，∠ACB = 90°，將△ACP繞點C逆時針旋轉90°，使CA與CB重合，經過這樣旋轉變化，把△ACP移動到△BCQ的位置（如圖2②），從而解決問題.

例1（2020·內蒙古·通遼）如圖3，在△ABC中，∠ACB = 90°，AC = BC，點P在斜邊AB上，以PC為直角邊作等腰直角三角形PCQ，∠PCQ = 90°，探究PA2，PB2，PC2三者之間的數量關系.

解析：觀察圖3發現△BCQ是由△ACP繞點C逆時針旋轉90°得到的，這樣將AP轉化到線段BQ的位置，把PA，PB聚集到Rt△PBQ中，于是連接BQ.

∵∠ACB = ∠PCQ = 90°，∴∠ACP = ∠BCQ，

∵AC = BC，PC = QC，∴△ACP ≌ △BCQ（SAS），

∴AP = BQ，∠CBQ = ∠A = 45°，

∵∠CBP = 45°，∴∠ABQ = ∠CBP + ∠CBQ = 90°，

∴在Rt△PBQ中，BQ2 + BP2 = PQ2，∴AP2 + BP2 = PQ2，

∵△PCQ是等腰直角三角形，

∴PQ2 = 2PC2，∴AP2 + BP2 = 2PC2.

【慧眼識圖2】 以等邊三角形為背景的基本圖形，如圖4.

【旋轉策略】 如圖4①，P為等邊三角形ABC內的一點，將△ABP繞點A逆時針旋轉60°，使AB與AC重合，經過這樣旋轉變化，把分散的線段PA，PB，PC聚集到圖4②的等邊三角形APQ中.

例2（2020·山東·威海）（1）如圖5①，△ABC與△ADE都是等邊三角形，直線BD，CE交于點F. 直線BD，AC交于點H. 求∠BFC的度數.

（2）如圖5②，在平面直角坐標系中，點O的坐標為（0，0），點M的坐標為（3，0），N為y軸上一動點，連接MN. 將線段MN繞點M逆時針旋轉60°得到線段MK，連接NK，OK. 求線段OK長度的最小值.

解析：（1）觀察圖5①發現△BAD與△CAE是一對繞點A旋轉60°的全等三角形，旋轉變換將∠ABD轉化至∠ACE的位置，在△BFC中，利用三角形內角和定理獲取問題答案.

∵△ABC與△ADE是等邊三角形，

∴AB = AC，AD = AE，∠BAC = ∠DAE = 60° = ∠ABC = ∠ACB，

∴∠BAD = ∠CAE，∴△BAD ≌ △CAE（SAS），∴∠ABD = ∠ACE，

∵∠ABD + ∠FBC = ∠ABC = 60°，∴∠ACE + ∠FBC = 60°，

∴∠BFC = 180° - ∠FBC - ∠ACE - ∠ACB = 60°.

（2）將線段MN繞點M逆時針旋轉60°得到線段MK，

∴MN = MK，∠NMK = 60°，∴△MNK是等邊三角形，

∴MK = MN = NK，∠NMK = ∠NKM = ∠KNM = 60°，

由題意可知點K的位置隨著點N的變化而變化，受旋轉模型啟發，可將△MOK繞點M順時針旋轉60°得到△MQN，連接OQ（如圖5③），可得NQ = OK，只需求QN的最小值，顯然當QN⊥y軸時，NQ有最小值.

由旋轉可知△MOK ≌ △MQN，∠OMQ = 60°，

∴OK = NQ，MO = MQ，

∴△MOQ是等邊三角形，∴∠QOM = 60°，∴∠NOQ = 30°，

∵OK = NQ，∴當NQ為最小值時，OK有最小值.

由垂線段最短可得：當QN'⊥y軸時，N'Q有最小值，

此時，QN'⊥y軸，垂足為N'，∠N'OQ = 30°，

∴N'Q [=12]OQ [=32]，∴線段OK的最小值為[32].