因式分解方法拓展

陸小燕

因式分解的方法較多，教材中只介紹了提公因式法和公式法，而在實際解題過程中有時還要用到分組分解法、配方法、添項拆項法、十字相乘法，現舉例介紹這四種方法.

一、分組分解法

先把給定的多項式進行適當分組，再應用提公因式法、公式法來解決問題，這種方法就是分組分解法.

例1 分解因式m2 - mn + mx - nx = .

分析：本題不能直接提公因式，可先分組，通過兩次提公因式來達到目的. 將第一、二項分為一組，提公因式m后為m（m - n），第三、四項為一組，提公因式x后為x（m - n），這樣兩組之間又有公因式m - n，再提公因式即可達到分解因式的目的;也可將第一、三項分為一組，提公因式m后為m（m + x），第二、四項分為一組，提公因式 - n后為-n（m + x），這樣兩組之間又有公因式m + x，再提公因式后即可達到分解因式的目的.

解：方法1：原式 = （m2 - mn） + （mx - nx） = m（m - n） + x（m - n） = （m - n）（m + x）.

方法2：原式 = （m2 + mx） + （- mn - nx） = m（m + x） - n（m + x） = （m - n）（m + x）.

【同類演練1】 分解因式a2 - b2 - 2b -1 = .

反思：對于四項或四項以上的多項式的因式分解，一般采用分組分解法：四項式一般采用“二、二”分組或“三、一”分組，五項式一般采用“三、二”分組. 分組的目的是為了提公因式或運用公式.

二、配方分解法

將多項式中某些項配方成完全平方式，再利用平方差公式進行因式分解，這種方法就是配方分解法.

例2 分解因式x4 + 64.

分析：x4和64都可化為完全平方的形式，對照完全平方公式，只要加上并減去16x2，則可將x4 + 64轉化為平方差的形式，進而達到分解因式的目的.

解：原式 = x4 + 16x2 + 64 - 16x2 = （x2 + 8）2 - （4x）2 = （x2 + 4x + 8）（x2 - 4x + 8）.

【同類演練2】 分解因式x2 - 6x - 7.

反思：正確處理16x2 - 16x2的分組至關重要，如果將原式轉化為x4 - 16x2 + 64 + 16x2，原式 = （x2 - 8）2 + （4x）2，則無法繼續分解，因此在組合時要預見下一步分解的可行性. 一般情況下，二次三項式若能分解因式，則一定可以用配方法來解決. 必須注意：x2 + 4x + 8和x2 - 4x + 8都不是完全平方式，不可以再分解因式.

三、添項拆項法

對于有些多項式，可把它拆成若干部分，再用提公因式法、公式法進行因式分解，這種方法就是添項拆項法.

例3 分解因式x4 - 27 x2 y2 + y4.

解析：這是一個含x，y的四次三項式，易知它不能直接應用提公因式法和公式法這兩種基本方法來分解. 但若將 - 27 x2 y2拆分為 - 2 x2 y2 - 25 x2 y2，則x4 - 2x2 y2 + y4可運用完全平方公式，再與 - 25x2 y2運用平方差公式，即可達到因式分解的目的.

解：原式 = （x4 - 2x2 y2 + y4） - 25x2 y2 = （x2 - y2）2 - （5xy）2 = （x2 + 5xy - y2）（x2 - 5xy - y2）.

【同類演練3】 因式分解a2 - 4ab + 3b2 + 2bc - c2.

反思：為了用分組分解法來解決問題，常需對原多項式進行拆項和添項. 拆項和添項是把原多項式的某項分裂為兩項或多項，或者添上一些項并同時減去這些項，以便直接運用平方差和完全平方公式，這是分裂中項和添加中項的目標. 解決這類問題要謹防不顧總目標、胡亂分拆的現象.

四、十字相乘法

對于形如x2 + px + q的多項式，如果存在a和b，使得ab = q且a + b = p，則多項式x2 + px + q可因式分解為（x + a）（x + b），這種方法就是十字相乘法，其分解形式如下圖.

例4 分解因式：（1）x2 + 3x + 2;（2）x2 - 3x + 2.

分析：（1）存在a = 1，b = 2，使得ab = 2且a + b = 3;

（2）存在a = - 1，b = - 2，使得ab = 2且a + b = - 3.

解：（1）x2 + 3x + 2 = （x + 1）（x + 2）;

（2）x2 - 3x + 2 = （x - 1）（x - 2）.

【同類演練4】 分解因式：（1）6x2 + 5x - 6;（2）25x2 - 5x - 6.

反思：利用十字相乘法可對形如x2 + px + q的多項式進行因式分解，但并不是所有的形如x2 + px + q的多項式都可在實數范圍內進行因式分解，例如x2 + x + 2在實數范圍內就不可因式分解. 對于a不為1的二次三項式ax2 + bx + c，可嘗試運用十字相乘法，若a = a1·a2，c = c1·c2，b = a1c2 + a2c1，則ax2 + bx + c = （a1x + c1）（a2x + c2）.

同類演練答案：

1. （a - b - 1）（a + b + 1） 2. （x + 1）（x - 7） 3. （a - b - c）（a - 3b + c）

4. （1）（3x - 2）（2x + 3） （2）（5x + 2）（5x - 3）