探求特殊四邊形中線段和的最小值

左效平 崔成進(jìn)

探求線段和的最小值問題是中考的重要考點(diǎn). 這類問題背景豐富，現(xiàn)舉例說明.

正方形背景下探求線段和的最小值

【構(gòu)建模型】 在正方形中，一動點(diǎn) + 兩定點(diǎn)，對稱點(diǎn)在形上，探求線段和的最小值.

【解答要領(lǐng)】 確定對稱點(diǎn)：根據(jù)正方形的對稱性，對稱點(diǎn)就是對角線的兩個頂點(diǎn);確定線段和取最小值時動點(diǎn)的位置：對稱點(diǎn)和另一定點(diǎn)的連線與動點(diǎn)所在直線的交點(diǎn);確定與線段和相等的最短線段：對稱點(diǎn)與另一定點(diǎn)構(gòu)成的線段.

例1 如圖1，正方形ABCD的面積為12，△ABE是等邊三角形，點(diǎn)E在正方形ABCD內(nèi)，在對角線AC上有一點(diǎn)P，使PD + PE的和最小，則這個最小值為（ ）.

A. ?2[3] B. ?2[6] C. ?3 D. ?[6]

解析：如圖2，∵正方形ABCD是軸對稱圖形，且點(diǎn)B，D是對稱點(diǎn)，

設(shè)AC與BE交于點(diǎn)P，連接PD，此時PD + PE最小，∴PD + PE = PB + PE = BE，

∵正方形ABCD的面積為12，∴AB = [23]，∴BE = AB = [23]. 故應(yīng)選A.

【同步演練】 如圖3，正方形ABCD的邊長是4，M在DC上，且DM = 1，N是AC邊上一動點(diǎn)，則△DMN周長的最小值是 .

菱形背景下探求線段和的最小值

【構(gòu)建模型】 在菱形中，一動點(diǎn) + 兩定點(diǎn)，對稱點(diǎn)在形上，探求線段和的最小值.

【解答要領(lǐng)】 確定對稱點(diǎn)：根據(jù)菱形的對稱性，對稱點(diǎn)就是對角線的兩個頂點(diǎn);確定線段和的值時，動點(diǎn)的位置：對稱點(diǎn)與另一定點(diǎn)的連線與動點(diǎn)所在直線的交點(diǎn);確定與線段和相等的最短線段：對稱點(diǎn)與另一定點(diǎn)構(gòu)成的線段.

例2 已知菱形ABCD的周長為16，面積為8[3]， E為AB的中點(diǎn)，若P為對角線BD上一動點(diǎn)，則EP + AP的最小值為 .

解析：如圖4，菱形ABCD是軸對稱圖形，且點(diǎn)A，C是對稱點(diǎn)，

連接CE，交BD于點(diǎn)P，此時EP + AP最小，

EP + AP = EP + PC = EC，

∵菱形ABCD的周長為16，∴其邊長為4，

過C作CF⊥AB，垂足為F，

∵菱形ABCD的面積為8[3]，∴CF = 2[3]，∴BF = [42-（23）2] = 2，

∴點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，∴點(diǎn)F與點(diǎn)E重合，

∴CE = 2[3]，∴EP + AP的最小值為2[3]. 故應(yīng)填2[3].

【同步演練】 如圖5，在邊長為6的菱形ABCD中，∠ABC = 60°，E，F(xiàn)分別是BD，BC上的動點(diǎn)，則CE + EF的最小值為 .

矩形背景下探求線段和的最小值

【構(gòu)建模型】 在矩形中，一動點(diǎn) + 兩定點(diǎn)，對稱點(diǎn)在形外，探求線段和的最小值.

【解答要領(lǐng)】 確定對稱軸：動點(diǎn)所在直線;構(gòu)造對稱點(diǎn);構(gòu)造與所求線段和相等的最短線段：對稱點(diǎn)與另一定點(diǎn)構(gòu)成的線段.

例3 如圖6，在矩形ABCD中，AB = 4，對角線AC，BD交于點(diǎn)O，∠AOD = 120°，E為BD上任意點(diǎn)，F(xiàn)為AE的中點(diǎn)，則FO + FB的最小值為（ ）.

A. 2[7] ? ? ? B. 2 + [3] ? ? C. 5 ? ? D. 3[3]

解析：如圖7，過AB的中點(diǎn)M和AD的中點(diǎn)N作線段MN，

∵F為AE的中點(diǎn)，∴MF[?]BE，F(xiàn)N[?]ED，

∴M，F(xiàn)，N三點(diǎn)共線，即點(diǎn)F在線段MN上，

作點(diǎn)B關(guān)于MN的對稱點(diǎn)H，連接BH，與NM的延長線交于點(diǎn)G，

連接FH，則BH⊥NG，F(xiàn)B = HF，∴FB + FO = HF + FO，

其最小值應(yīng)為OH的長，即點(diǎn)F為OH與MN的交點(diǎn).

∵∠AOD = 120°，∴∠AOB = 60°，

∵四邊形ABCD為矩形，∴OA = OB，∴△OAB為等邊三角形，

∴OB = AB = 4，∠ABO = 60°，∵NG[?]BD，∴∠HBO = ∠HGF = 90°，

∴∠MBG = 30°，MB = 2，∴MG = 1，∴GB = [3]，∴HB = 2GB = 2[3]，

在Rt△HBO中，HO = [BO2+HB2] = [42+（23）2] = 2[7]. 故選A.

【同步演練】 在矩形ABCD中，AB = 2，AD = 3，E，F(xiàn)分別是AD，CD上的動點(diǎn)，EF = 2，Q是EF的中點(diǎn)，P為BC上的動點(diǎn)，連接AP，PQ，則AP + PQ的最小值等于（ ）.

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

同步演練答案：1. 6（提示：連接BM交AC于N'.） 2. 過點(diǎn)A作AF⊥CB，垂足為F，交BD于E，CE + EF最小值為3[3]. 3. C（提示：作點(diǎn)A關(guān)于BC的對稱點(diǎn)A'，連接A'P，DQ，當(dāng)A'，P，Q，D在同一直線上時，AP + PQ的最小值等于A'D - DQ的長.）