三角形中位線定理模型的應用

崔成進 左效平

【構建模型】

1. ?雙中點模型

條件：如圖1，在△ABC中，點D是AB的中點，點E是AC的中點;

結論：數量關系是[DE=12BC或BC=2DE]，位置關系是[DE?BC]. （三角形中位線定理）

2. 中點 + 平行線模型

條件：如圖1，在△ABC中，點D是AB的中點，DE[?]BC;

結論：數量關系是[DE=12BC或BC=2DE]，位置關系是點E是AC的中點. （證明過程略）

通常借助輔助線構建三角形中位線定理模型，如：托底平行線型（如圖2），中點平底線型（如圖3）.

【中考真題】

例1（2020·山東·臨沂）如圖4，菱形ABCD的邊長為1，∠ABC = 60°，點E是AB上任意一點（端點除外），線段CE的垂直平分線分別交BD，CE于點F，G，AE，EF的中點分別為點M，N. （1）求證：AF = EF;（2）求MN + NG的最小值;（3）當點E在AB上運動時，∠CEF的大小是否變化？為什么？

解析：（1）如圖5，連接CF，∵FG垂直平分CE，∴CF = EF，

∵四邊形ABCD為菱形，∴A和C關于對角線BD對稱，

∴CF = AF，∴AF = EF;

（2）如圖6，連接AC，CF，∵M，N，G分別是AE，EF，CE的中點，

∴MN = [12]AF，NG = [12]CF，即MN + NG = [12]（AF + CF），

當點F與菱形ABCD的對角線交點O重合時，AF + CF的值最小，即此時MN + NG的值最小，

∵菱形ABCD的邊長為1，∠ABC = 60°，

∴△ABC為等邊三角形，AC = AB = 1，即MN + NG的最小值為[12];

（3）∠CEF的大小不變. 理由：∵∠EGF = 90°，點N為EF的中點，∴GN = FN = EN，

∵AF = CF = EF，N為EF的中點，∴MN = GN = FN = EN，

∴△FNG為等邊三角形，∴∠FNG = 60°，∴∠NGE + ∠CEF = 60°.

∵NG = NE，∴∠NGE = ∠CEF，∴∠CEF = 30°，為定值.

例2（2020·山東·青島）如圖7，在正方形ABCD中，對角線AC與BD交于點O，點E在CD的延長線上，連接AE，點F是AE的中點，連接OF交AD于點G. 若DE = 2，OF = 3，則點A到DF的距離為 .

解析：如圖7，過點A作AH⊥DF，交DF的延長線于點H，

∵點O是正方形ABCD對角線的交點，∴AO = OC，∵點F是AE的中點，

∴OF是△ACE的中位線，∴CE = 2OF = 6，∴CD = CE - DE = 4.

同理可證，GF是△ADE的中位線，∴GF = [12]DE = 1.

∵AD = 4，DE = 2，F是Rt△ADE斜邊上的中線，

∴DF = [12]AE = [12][AD2+DE2=1242+22] = [5].

∵在△ADF中，[12]AD × GF = [12]DF × AH，∴AH = [AD×GFDF=4×15] = [455].

[同步演練]

1. （2020·陜西）如圖8，在[?]ABCD中，AB = 5，BC = 8. E是邊BC的中點，F是[?]ABCD內一點，且∠BFC = 90°. 連接AF并延長，交CD于點G. 若EF[?]AB，則DG的長為 （ ）.

A. ?2.5 B. 1.5 C. 3 D. 2

2. （2020·四川·涼山）如圖9，[?]ABCD的對角線AC，BD相交于點O，OE[?]AB交AD于點E，若OA = 1，△AOE的周長等于5，則[?]ABCD的周長等于 .

3. （2020·湖北·荊門）如圖10，在菱形ABCD中，E，F分別是AD，BD的中點，若EF = 5，則菱形ABCD的周長為（ ）.

A. 20 B. 30 C. 40 D. 50

答案：1. D（提示：延長CD，交BF的延長線于點H） 2. 16 3. C