巧用三角反代換 單位圓中破疑難

魏榜 胡鳳娟 劉明華 張茜

[摘? 要] 三角反代換借助單位圓直觀地反映了同角三角函數的關系，不僅能快速確定一般情況f（cosθ，sinθ）=0時角θ在單位圓中的位置，還能實現三角問題向代數和幾何問題的轉化.

[關鍵詞] 單位圓;三角反代換;數形結合;三角方程;三角不等式

[?]引言

三角函數在高中數學中有著相當重要的地位，在全國卷高考中大約占20至30分. 但在日常教學中發現，學生在求解三角方程問題時難以精確確定角的范圍，容易出現多解漏解等情況[1]. 許多題目的解答過程嘗試了多種方法對角的范圍進行限制，但大多是通過運算的技巧來縮小角的范圍，然而技巧較多，適應范圍也較為局限，尚無一般通法.

筆者通過研究，在任意角三角函數值定義的基礎上總結出了一套通過數形結合解三角方程以及三角不等式的通用方法——三角反代換法，可有效解決上述問題.

我們知道，三角代換是數學中常用的換元法之一，它能夠利用三角函數的性質將代數或幾何問題轉化成三角問題，合理的代換將會使求解過程簡單化，甚至使一些很難求的問題快速求解[2]. 那么，“三角反代換”會有什么樣的妙用呢？

[?]三角反代換與單位圓

對任意f（cosθ，sinθ）=0 ，均有f（cosθ，sinθ）=0，

cos2θ+sin2θ=1，進行換元即三角反代換，令cosθ=x，

sinθ=y，則方程組轉化為f（x，y）=0，

x2+y2=1，在由θ決定的定義域內解得（x，y）=（cosθ，sinθ）. 由于（cosθ，sinθ）與角θ相對應，記函數f（x，y）=0的圖像與單位圓交點為P，P，P，…，P，則P是角θ終邊與單位圓的交點，即∠xOP為所求θ（注：x為x軸正方向任意一點）.

[?]三角反代換用法舉例分析

三角反代換的用法可分為兩大類，一是數形結合在單位圓中確定角的具體位置;二是將三角問題轉化為代數或幾何問題. 接下來將逐一介紹：

1. 確定角的位置：解三角方程和三角不等式

三角反代換后作出函數f（x，y）=0的圖像，通過其與單位圓的交點可以確定角的終邊，也就是確定了角的位置. 下面以例1為例，詳細說明三角反代換的具體步驟.

例1：已知sinθ=，求θ.

解：第一步：三角反代換令sinθ=y，原式變成y=. 第二步：作出y=和x2+y2=1并標出其交點P和P. 第三步：標出∠xOP和∠xOP，記為θ和θ，再加上周期即為所求θ（圖1）. 第四步：求出第一象限θ=+2kπ，k∈Z. 由對稱關系得θ=+2kπ，k∈Z.

綜上：θ=（2k+）π±，k∈Z.

變式：在△ABC中，sinA+cosA=，判斷△ABC的形狀.

解：三角反代換作出x+y=與單位圓圖像，如圖2所示，可得出A=∠xOP或∠xOP. 又0

評注：可以看出在確定角所在象限估算角的范圍時，三角反代換是一個非常簡潔的方法，通過數形結合能夠直觀地看出角的大小，在不追求準確計算時非常實用，能起到出奇制勝的效果.

三角反代換不僅能解三角方程，還能解三角不等式，請看例2.

例2：解不等式tanθ≤1.

解：三角反代換作出≤1的線性區域，與單位圓相交于如圖3所示兩段圓弧BC和弧DE（不含B，D兩端點）：則弧BC和弧DE上除B，D兩點外每一點都是θ終邊與單位圓的交點，對應θ的取值范圍為

k+

π<θ≤

k+

π，k∈Z.

變式：（2018北京卷文科7）在平面直角坐標系中，圓x2+y2=1上的四段弧，，，（如圖4），點P在其中一段上，角α以Ox為始邊，OP為終邊. 若tanα

A. B.

C. D.

解：三角反代換：

x

評注：例2及其變式示范了三角反代換在求解三角不等式時的用法，它能夠借助函數圖像將三角不等式轉化為函數不等式問題，使三角不等式與函數緊密相連，體現了函數與不等式的轉化思想.

2. 將三角問題轉化為代數問題或幾何問題

將三角問題進行三角反代換之后得到函數f（x，y）=0，由于方程組f（x，y）=0，

x2+y2=1在相應定義域內有解，既可轉化為方程有解構造不等式，也可轉化成函數f（x，y）=0與單位圓在定義域內有交點利用數形結合解決問題. 在此按f（x，y）=0為直線型和曲線型兩種情況進行舉例分析：當f（x，y）=0為直線型時，可借助直線與圓的幾何關系來命題和解題;當f（x，y）=0為曲線型時，可借用導數工具進行研究.

（1）f（x，y）=0為直線型

例3：已知2cosα+sinα-=0，求tanα.

解：由于=1，故直線與圓相切，即直線與圓有且只有一個交點，記切點為B，則∠xOB為所求α，記直線l傾斜角為β，如圖6所示，則tanβ=k=-2. 由誘導公式可得：tanα=tan

β-

=-cotβ=.

評注：許多教師對此題進行過深入研究，提出的解法有十余種之多，常見的有解方程、平方處理、萬能公式法，也有比較新奇的向量法、求導法等，代數換元法、柯西不等式法、輔助角法、單位圓法等[3]. 這些解法大致可以分為兩類，一類是想方設法建立方程;另一類是抓住最值進行構造，通過滿足最值所需條件求解tanα.

此題中A2+B2=C2，可推出直線Ax+By=C與單位圓相切，通過幾何法可快速求出可得出tanα=.

變式：已知acosα+bsinα=c，acosβ+bsinβ=c（ab≠0，α≠β≠kπ，k∈Z），

求證：cos2=.

證：在平面直角坐標系中，點C為線段AB的中點. 設點A（cosα，sinα）與點B（cosβ，sinβ）是直線l：ax+by=c與單位圓x2+y2=1的兩個交點（如圖7所示）. 不妨設α=∠xOA+2kπ，β=∠xOB+2kπ，k，k∈Z，則=-= -=-∠AOC-（k-k）π，故cos2=cos2

-∠AOC-（k-k）π

=cos2∠AOC =

=

=.

評注：此題以直線與圓的幾何關系為背景考查了三角關系式的證明，有一定綜合性. 解題關鍵在于構造直線與單位圓相交的模型，進而挖掘目標式的幾何意義即可求證. 需要特別注意的是，由于直線與圓的特殊位置關系，在三角函數中也應該有與之對應的豐富的關系式等待讀者的挖掘[4].

例4：（2017全國二卷文科13）函數f（x）=2cosx+sinx的最大值為________.

解：令2cosθ+sinθ=k，θ∈R，三角反代換得2x+y=k. 由于該直線與單位圓必有交點，即直線2x+y=k到原點距離d=≤1，整理得-≤k≤，故k最大值即f（x）最大值為.

評注：此題是典型的三角函數問題，常見解法是借助輔助角公式和三角函數圖像進行求解. 上述解法通過挖掘三角函數隱含的平方和關系，將三角函數問題轉化為代數問題，又通過數形結合轉化為幾何問題.

（2）f（x，y）=0為曲線型

例5：（2018全國一卷理科16）已知函數f（x）=2sinx+sin2x，則f（x）的最小值是________.

本題由人教A版導數章節教材復習題稍加改變而來. 許多教師對此題做了非常深入的研究，提出了多種解法，有常規的導數法，技巧性較強的基本不等式法，運算量較大的均值不等式法，還有構造單位圓內接三角形的構造模型法等，思路新穎[5]. 筆者結合三角反代換，分析一種新的解題方法.

解：方便起見，先將題換成f（θ）=2sinθ+sin2θ=2sinθ+2sinθcosθ，三角反代換令cosθ=x，sinθ=y，得2y+2xy=b，即y=，則題目轉化成：曲線y=與單位圓有交點時求b的最小值. 通過分析可知，b<0且反比例函數y=與單位圓在第四象限相切時，b有最小值（圖8）.

設切點A

x，

，則點A在圓上：x+

2=1，曲線在點A處切線與OA垂直，即-·= -1，聯立兩方程解得x=，b=.

故f（x）最小值為-.

評注：與導數法、基本不等式法等其他方法相比，三角反代換思路“新奇”，充分挖掘三角函數的隱含條件，為解決三角最值問題提供了一條全新的思路. 能解決一些導數所不能解決的問題，如求f（x）=sinx+cosx+sin2x的最值等[4].

[?]教學建議

2017版高中數學課程標準中特別指出：在三角函數的教學中，應發揮單位圓的作用[6]. 三角反代換在單位圓中的應用兼具思想性、實用性與新穎性等特點，契合新課程標準的理念[7]，不僅集中體現了眾多數學思想方法，更體現了數學的對稱美！

在教學過程中教師要注意啟發學生，引導學生體會幾個重要的轉化過程，注意思想方法的滲透，讓學生感受轉化思想的奇妙. 筆者認為重要的轉化過程有：①換元，將cosθ和sinθ換元為x和y. ②方程的解與圖像交點的轉化，即方程組f（x，y）=0，

x2+y2=1的解轉化為兩曲線的交點. ③兩曲線交點到角θ終邊與單位圓的交點的轉化，進而確定θ角的位置.

[?]總結

筆者認為三角反代換是眾多核心知識點、核心思想方法的交匯處，其教學對于提高學生的綜合能力、培養學生思維、領悟數學基本思想方法大有益處.

數學家波利亞曾說：“一個想法使用一次是技巧，經過多次的使用就可以成為一種方法”. 三角反代換在解三角方程、三角不等式等問題時有顯著優勢，尤其是在確定角的范圍、估計角的大小時使用方便靈活. 三角反代換豐富了單位圓的應用，既體現了坐標定義三角函數的優勢[8]，又能培養學生的數形結合能力、綜合應用知識的能力. 此外，三角反代換還實現了三角函數問題向幾何或代數問題的轉化，為解決三角函數問題打開了一扇新的大門！筆者水平有限，本文實乃拋磚引玉，期待讀者朋友們對三角反代換進行更加深入的研究，探尋三角函數更深處的奧秘！

參考文獻：

[1]? 吳志鵬. 三角函數中確定角范圍的幾種方法[J]. 數理化解題研究，2019（22）.

[2]? 王立芳. 三角代換的功能[J]. 中學數學月刊，1998（Z1）.

[3]? 賈順星. 十種方法求解三角函數問題[J]. 中學數學教學參考，2018（36）.

[4]? 李文東. 巧用單位圓求解三角函數問題[J]. 中學數學研究（華南師范大學版），2020（11）.

[5]? 黃洪光. 多管齊下，破解三角函數最值題——以2018年高考數學全國卷Ⅰ理科第16題為例[J]. 中學數學教學參考，2019（15）.

[6]? 中華人民共和國教育部. 普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）[S]. 北京：人民教育出版社，2020.

[7]? 胡鳳娟，呂世虎，王尚志. 深度理解《普通高中課程方案（2017年版）》[J]. 數學教育學報，2018，27（1）.

[8]? 章建躍. 為什么用單位圓上點的坐標定義任意角的三角函數[J]. 數學通報，2007（1）.