在微專題中開(kāi)展深度教學(xué)

徐建新 陳麗真

[摘? 要] 文章以“隱性圓”的微專題教學(xué)為例，通過(guò)深度轉(zhuǎn)化、 深度探究、深度延伸，引導(dǎo)學(xué)生歸納出各種“隱性圓”的類型，培養(yǎng)學(xué)生轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)形結(jié)合、特殊到一般等思想，旨在以教師的深度教學(xué)促進(jìn)學(xué)生的深度學(xué)習(xí).

[關(guān)鍵詞] 深度教學(xué);隱性圓;轉(zhuǎn)化;探究;延伸

“微專題教學(xué)”是指以某一具體的知識(shí)點(diǎn)或數(shù)學(xué)思想和方法為主題，圍繞與該知識(shí)點(diǎn)或方法關(guān)聯(lián)緊密的一些具體問(wèn)題設(shè)計(jì)教學(xué). 微專題學(xué)習(xí)目標(biāo)單一、實(shí)用有效，因選題精、針對(duì)性強(qiáng)等特點(diǎn)，成為高三教學(xué)，尤其是二輪復(fù)習(xí)較常采用的教學(xué)方式.本人認(rèn)為微專題教學(xué)在系統(tǒng)歸納知識(shí)方法的同時(shí)，還要在“深度”上下功夫，旨在引導(dǎo)學(xué)生自主建構(gòu)知識(shí)體系，更深刻地理解和把握數(shù)學(xué)知識(shí).

本文以課本的例習(xí)題、高考題等為載體，通過(guò)挖掘、拓展等方式，歸納“隱性圓”的幾種常見(jiàn)類型，使學(xué)生經(jīng)歷數(shù)形轉(zhuǎn)化、從特殊到一般、課外探究等過(guò)程，增強(qiáng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)、深度學(xué)習(xí)的意識(shí)，達(dá)到活化學(xué)生數(shù)學(xué)思維和發(fā)展學(xué)科核心素養(yǎng)的目的.

[?]在細(xì)致審題中深度轉(zhuǎn)化

數(shù)學(xué)問(wèn)題中的條件往往由文字語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言等進(jìn)行綜合表征，大都是直接呈現(xiàn)，但也蘊(yùn)含一些隱含條件，教學(xué)時(shí)要引導(dǎo)學(xué)生細(xì)致審題. 審題，是對(duì)具體問(wèn)題進(jìn)行分析，提取貯存在大腦中的知識(shí)，尋求解題思路和方法. 審題要對(duì)信息經(jīng)歷“發(fā)現(xiàn)→記錄→轉(zhuǎn)譯→整合”的過(guò)程，其中“轉(zhuǎn)譯”就是要求能對(duì)條件進(jìn)行合理地轉(zhuǎn)化，甚至是對(duì)某些不是直接呈現(xiàn)的條件或需要挖掘才能發(fā)現(xiàn)的潛在信息進(jìn)行深度轉(zhuǎn)化. 轉(zhuǎn)化是極其重要的數(shù)學(xué)思想.通過(guò)不斷地轉(zhuǎn)化，把不熟悉、復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉、簡(jiǎn)單，甚至模式化的問(wèn)題，它不但使問(wèn)題化難為易，而且能提高學(xué)生的思維品質(zhì)，提高學(xué)生分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力.

例1：（2020屆福建省漳州市三月質(zhì)量檢查理科15題）已知圓O：x2+y2=1，圓N：（x-a+2）2+（y-a）2=1. 若圓N上存在點(diǎn)Q，過(guò)點(diǎn)Q作圓O的兩條切線，切點(diǎn)為A，B，使得∠AQB=60°，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_______.

分析：如圖1，如何應(yīng)用條件“∠AQB=60°”是學(xué)生思維的障礙點(diǎn).

由AQ，BQ與圓O相切，可知△OAQ≌△OBQ. 連接OQ，由∠OAQ=90°，∠AQO=30°，OA=1，得OQ=2，即點(diǎn)Q的軌跡方程為圓T：x2+y2=4. 要使圓N上存在符合條件的點(diǎn)Q，則圓N和圓T有公共點(diǎn)，需滿足1≤≤3，解得a的取值范圍是

1-，

1+.

本題挖掘題目隱含的幾何信息，對(duì)條件做兩次轉(zhuǎn)化：第一次，利用三角形全等，將∠AQB=60°轉(zhuǎn)化為Rt△OAQ中∠AQO=30°. 由直角三角形的性質(zhì)，得到OQ=2，點(diǎn)Q的軌跡為圓;第二次，將“存在性”問(wèn)題轉(zhuǎn)化為學(xué)生熟悉的兩圓有公共點(diǎn)問(wèn)題，順利地找到實(shí)數(shù)a應(yīng)滿足的不等式條件.

由該例題，歸納“隱性圓”的第一種類型.

類型一：圓的定義：到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡是圓.

例2：（2018年高考上海卷12題）已知實(shí)數(shù)x，x，y，y滿足：x+y=1，x+y=1，xx+yy=，則+的最大值為_(kāi)_________.

分析：由代數(shù)式x+y=1，聯(lián)想到圓的方程. 因此，設(shè)點(diǎn)A（x，y），點(diǎn)B（x，y），則點(diǎn)A，B在單位圓上.“+”表示點(diǎn)A，B到直線l：x+y-1=0的距離之和，是線段AB的中點(diǎn)D到直線l的距離的2倍，如圖2. 因AB是動(dòng)弦，需解決動(dòng)點(diǎn)D的軌跡問(wèn)題. 回到題目條件“xx+yy=”，該代數(shù)式是否也有幾何意義？若有，表示什么？聯(lián)想到向量數(shù)量積公式，有·=xx+yy，即

·

cos∠AOB=，得∠AOB=. 由此，在等邊三角形AOB中，OD=. 所以，點(diǎn)D的軌跡是以原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓. 如圖3，當(dāng)OD與直線l垂直時(shí)，點(diǎn)D到直線l的距離最大，為.所以，+的最大值是+.

數(shù)學(xué)問(wèn)題的條件有時(shí)是代數(shù)表達(dá)式，有時(shí)是幾何條件，往往需要借助數(shù)形結(jié)合實(shí)現(xiàn)二者的相互轉(zhuǎn)化. 在本題中，首先，抓住數(shù)量關(guān)系中隱藏的“圖形”，由代數(shù)式聯(lián)想到幾何意義，將條件轉(zhuǎn)化為“單位圓上兩點(diǎn)A，B滿足∠AOB=”;其次，將求解目標(biāo)轉(zhuǎn)化為“點(diǎn)A，B到直線l的距離之和”，并利用梯形的性質(zhì)，將兩條線段的長(zhǎng)度之和轉(zhuǎn)化為“梯形中位線的2倍”. 通過(guò)轉(zhuǎn)化將抽象的問(wèn)題直觀化，借助圖形的幾何性質(zhì)探索代數(shù)式的最值問(wèn)題，使問(wèn)題明朗化.在轉(zhuǎn)化過(guò)程中，動(dòng)點(diǎn)D到直線的距離又是一個(gè)難點(diǎn). 由等邊三角形得到點(diǎn)D到原點(diǎn)的距離為定值，滿足圓的定義，得到點(diǎn)D的軌跡是圓，最終將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“圓上的動(dòng)點(diǎn)到定直線的距離的最值”問(wèn)題. 通過(guò)以上層層深度轉(zhuǎn)化，使原問(wèn)題輕松獲解.

[?]在特殊到一般的推廣中深度探究

我們知道：在圓中，直徑所對(duì)的角為直角;反之，當(dāng)定點(diǎn)A，B所對(duì)的∠APB為直角時(shí)，點(diǎn)P的軌跡是圓.

探究1：將“∠APB為直角”用向量表示，得到第二種類型.

類型二：兩定點(diǎn)A，B，動(dòng)點(diǎn)P滿足·=0，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是圓.

設(shè)

AB

=2a（a>0），以AB所在直線為x軸，AB中點(diǎn)為原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系.設(shè)P（x，y），由·=0，化簡(jiǎn)得x2-a2+y2=0①，即x2+y2=a2. 在這個(gè)過(guò)程中，教師可引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步探究：①式的右邊“0”改成其他常數(shù)，也可能是圓.即若·=λ，同理可得x2+y2=a2+λ，只需a2+λ>0，點(diǎn)P的軌跡也是圓.

推廣1：兩定點(diǎn)A，B，動(dòng)點(diǎn)P滿足·=λ（λ為常數(shù)），且λ+AB2>0，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是圓.

例3：已知△ABC中，

=10，·=-16，D為邊BC的中點(diǎn)，則

等于

（? ）

A. 6? B. 5? C. 4? D. 3

分析：根據(jù)推廣1，由·=-16，猜想點(diǎn)A的軌跡是圓. 如圖4，以BC所在直線為x軸，D為原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系.設(shè)A（x，y），由·=-16，化簡(jiǎn)得x2+y2=9，即點(diǎn)A的軌跡是以D為圓心、半徑為3的圓. 所以選D.

注：在推廣1中，“λ+AB2”即是該圓半徑的平方. 在本例中，可直接由此求得圓的半徑為3.

探究2：將“∠APB為直角”用數(shù)量關(guān)系表示為“PA2+PB2=AB2”，即由學(xué)生熟悉的勾股定理，得到第三種類型.

類型三：兩定點(diǎn)A，B，動(dòng)點(diǎn)P滿足PA2+PB2=AB2，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是以AB為直徑的圓.

設(shè)

AB

=2a（a>0），以AB所在直線為x軸，AB中點(diǎn)為原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系.設(shè)P（x，y），由PA2+PB2=AB2，得（x+a）2+y2+（x-a）2+y2=（2a）2 ②. 化簡(jiǎn)得x2+y2=a2. 同樣地，②式的右邊（2a）2改為其他常數(shù)，也可能是圓. 即若PA2+PB2=λ，可得（x+a）2+y2+（x-a）2+y2=λ，化簡(jiǎn)得x2+y2=-a2.

推廣2：兩定點(diǎn)A，B，動(dòng)點(diǎn)P滿足PA2+PB2=λ（λ為常數(shù)），且2λ>AB2，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是圓.

從初中圓的一條幾何性質(zhì)出發(fā)，通過(guò)改變條件的表現(xiàn)形式，改裝成高中的符號(hào)語(yǔ)言，在用“坐標(biāo)法”研究軌跡方程的過(guò)程中，把握?qǐng)A方程的本質(zhì)，深度探究，將結(jié)論從特殊到一般進(jìn)行推廣.教師在簡(jiǎn)單的基礎(chǔ)知識(shí)復(fù)習(xí)中，追本溯源，展現(xiàn)知識(shí)生成過(guò)程，通過(guò)改編、推廣或加強(qiáng)命題，基于學(xué)生的學(xué)段和學(xué)情，螺旋式上升地設(shè)計(jì)教學(xué)，使教學(xué)具有深度.

[?]在課外拓展中深度延伸

例4：（2004年人教A版必修2，第124頁(yè)B組練習(xí)題3）已知點(diǎn)M與兩定點(diǎn)O（0，0），A（3，0）的距離比為，求點(diǎn)M的軌跡方程.

分析：設(shè)點(diǎn)M（x，y），由=，得（x+1）2+y2=4.

通過(guò)該題，將特殊問(wèn)題一般化，得到第四種類型.

拓展1（類型四）：兩定點(diǎn)A，B，動(dòng)點(diǎn)P滿足=λ（λ>0，且λ≠1），則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是圓，稱為阿波羅尼斯圓.

例5：（2020年龍巖市高中畢業(yè)班質(zhì)量檢查理科16題）現(xiàn)有△ABC，AC=4，sinC=2sinA，則當(dāng)△ABC的面積最大時(shí)，AC邊上的高為_(kāi)_________.

分析：由正弦定理，sinC=2sinA?BA=2BC. A，C為定點(diǎn)，因此，點(diǎn)B的軌跡是阿波羅尼斯圓. 如圖5，建立直角坐標(biāo)系.A（-2， 0），C（2， 0），B（x，y） ，由BA=2BC，可求得點(diǎn)B的軌跡為圓E，方程為

x-2+y2=. 當(dāng)BE⊥x軸時(shí)，△ABC的面積最大，AC邊上的高為該圓的半徑.

教師還可以要求優(yōu)秀學(xué)生課外閱讀、了解阿波羅尼斯圓的性質(zhì).

拓展2：如圖6，設(shè)M，N分別為線段AB按定比λ分割的內(nèi)分點(diǎn)和外分點(diǎn)（即==λ），則MN為阿波羅尼斯圓的直徑，且MN=AB.

在例5中，由BA=2BC，得定比λ=2. 由拓展2，可知該阿波羅尼斯圓的直徑是.△ABC的面積最大時(shí)，AC邊上的高為圓的半徑.

以教材為背景，對(duì)教材展開(kāi)充分的思考和研究，將一些與課內(nèi)學(xué)習(xí)的知識(shí)相關(guān)聯(lián)的但無(wú)法在課堂上解決的問(wèn)題“拋”出，在課外拓展中深度延伸，力爭(zhēng)獲得教材背后所蘊(yùn)含的知識(shí)外延. 課外拓展能促進(jìn)知識(shí)的深化和遷移，為優(yōu)生數(shù)學(xué)思維和能力的提升提供空間.

微專題更注重知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，通過(guò)更深層的邏輯關(guān)系建立更深刻、更系統(tǒng)的知識(shí)體系. “微專題教學(xué)”在追求精準(zhǔn)教學(xué)的同時(shí)，應(yīng)關(guān)注深度教學(xué).教師利用微專題，確定準(zhǔn)確的教學(xué)目標(biāo)，深化教學(xué)設(shè)計(jì)，對(duì)知識(shí)、結(jié)論進(jìn)一步發(fā)掘和拓展;重視教學(xué)過(guò)程中不斷地驅(qū)動(dòng)學(xué)生的思考，促使學(xué)生主動(dòng)探究，以此強(qiáng)化學(xué)生對(duì)已掌握的知識(shí)進(jìn)行更深層次的應(yīng)用.在微專題中開(kāi)展深度教學(xué)，能有效促進(jìn)學(xué)生從憑經(jīng)驗(yàn)的淺層學(xué)習(xí)到有思考的深度學(xué)習(xí)，實(shí)現(xiàn)“因微而深”的教學(xué)效果，更能培養(yǎng)學(xué)生的高階思維;反之，基于學(xué)生深度學(xué)習(xí)基礎(chǔ)上的深度教學(xué)更能提高學(xué)生的探究能力，將核心素養(yǎng)落實(shí)到實(shí)處.? 二者的融合使得教學(xué)相長(zhǎng)，相得益彰.