關注變化 強化思想 探尋規律

[摘? 要] 中國高考正實現從能力立意到素養導向的歷史性轉變，如何備戰新高考復習？文章結合2021年“八省聯考”試題，重點從“關注四大變化，提升學科素養”“強化思想方法，提升數學能力”“研讀高考真題，探尋命題規律”三個方面，闡述新高考視域下三角函數內容的復習備考策略，旨在提高高三復習備考的針對性和時效性.

[關鍵詞] 關注變化;思想方法;真題規律

三角函數是高中數學六大主干知識之一，是高考中的熱點問題，命題比較注重基礎且考查要求呈現穩定性與連續性，盡管命題的背景上有所變化，但仍屬基礎、中檔題. 重點考查邏輯推理能力、運算求解能力，考查方程思想、數形結合思想、化歸與轉化等重要的數學思想.

從剛結束的新高考適應性考試（八省聯考）試題分析可以看出，三角函數部分的考查仍然延續了近幾年的穩定性，在穩定的基礎上適當創新，出現了多項選擇題（12題），三角函數與導數綜合題（12題、22題），而2020年新高考卷（山東卷）也出現了多項選擇題與結構不良型試題. 這充分表明：新高考試題從能力立意向素養導向的轉變比較明顯，試題已不再追求題目結構的完整，追求目標指向的開放性，增強了試題的綜合性與探究性，要求考生臨場思考發揮，目的在于更清晰、更準確地考查學生數學學科核心素養[1].

而新版的課程標準（2017年版）及新教材在三角函數內容部分也發生了一些變化，基于新高考、新課標、新教材發生的變化，本文重點從關注變化、強化思想、探尋規律三個角度探析三角函數內容復習備考策略，旨在對高三復習備考提供些許幫助.

[?]關注四大變化，提升學科素養

中國高考正實現從能力立意到素養導向的歷史性轉變，高考試題在考查基礎性與綜合性的同時，還應關注探究性與創新性. 基礎性與綜合性是試題穩定性的體現，而探究性與創新性則是變化的體現，也是考生順利完成考試的攔路虎. 因此，高三復習備考在聚焦核心知識、重要思想和方法的基礎上還要密切關注新課標、新教材、新高考發生的變化，對變化進行歸納、整理、反思、總結，然后進行針對性、系統性的強化訓練，從訓練中提升學生的數學素養.

1. 關注三角函數本質的考查

三角函數是基本初等函數，是研究周期性現象的基礎數學工具，在研究三角形邊角關系和圓等幾何圖形的性質時發揮著重要的作用. 之前對三角函數的圖像或性質的考查基本是通過輔助角公式將其轉化成單一函數的形式，用“五點法”或“整體法”進行研究，或者用 “換元法”將其轉化成二次函數的形式來研究，套路較為明顯. 而本次“八省聯考”的12題、22題則有意而避之，之前的套路方法明顯不奏效，須借助導數在研究函數中的作用來解決，表面看似三角函數與函數導數的綜合應用，增強了試題的綜合性與創新性，實質上是重視函數本質內容的考查，這與新教材把三角函數納入函數模塊主題是契合的.

例1：（2021年“八省聯考”12題）設函數f（x）=，則（? ）

A. f（x）=f（π+x）

B. f（x）的最大值為

C. f（x）在-

，0 單調遞增

D. f（x）在0，

單調遞減

例2：（2021年“八省聯考”22題）已知函數f（x）=ex-sinx-cosx，g（x）=ex+sinx+cosx.

（1）證明：當x>-時，f（x）≥0;

（2）若g（x）≥2+ax，求a.

評析：這兩題是三角函數與導數、不等式的綜合題，很好地起到了壓軸的作用. 主要考查三角函數的圖像與性質，利用導數研究函數的單調性、最值，不等式證明等知識，考查轉化與化歸思想、數形結合思想，運算求解能力、邏輯推理能力.

筆者認真研讀了近幾年的高考試題，發現2018年全國Ⅰ卷的16題也有異曲同工之處，也突出了對三角函數本質的考查.

例3：已知函數f（x）=2sinx+sin2x，則f（x）的最小值是_____.

評析：三角函數求最值問題，一般思路是將所給的函數化為單一函數f（x）=Asin（ωx+φ）的形式，然后采用“整體法”或“五點法”結合圖像加以求解，或者是換元轉化成二次函數的最值問題. 而本題這兩種思路都無法實施，這時如果回到三角函數的本質，它是基本初等函數，利用導數來研究函數的最值則能順利解決問題.

2. 關注向量的工具性作用

新課標在正弦定理和余弦定理部分是這樣說明的：借助向量的運算，探索三角形邊長與角度的關系，掌握余弦定理、正弦定理[2]. 而舊版課標是這樣說明的：通過對任意三角形邊長和角度關系的探索，掌握正余弦定理，并能解決一些簡單的三角形度量問題. 從變化中可以看出，新課標凸顯了向量在解三角形中的工具性作用. 在有些利用正余弦定理解三角形較為困難的題目中，尤其是已知條件較為分散且具備中點模型的三角形，若能借助向量來處理，往往能起到事半功倍的效果.

例4：在△ABC中，AB=3，設D是BC的中點，AD=2，cos∠BAC=，求△ABC的面積.

[A][B][C][D]

圖1

評析：本題是屬于條件分散的解三角形問題，無法直接利用正弦定理或余弦定理解決. 如何把分散的條件利用數學知識找到聯系就成了本題的關鍵，如果能充分利用D點是中點這個顯著特征，構建向量模型2=+，通過兩邊平方建立邊角關系，就顯得巧妙而簡潔了，能起到意想不到的效果. 當然本題還可以通過設參用方程的思想來解決，但是計算量相對比較大，也可以借助平面幾何知識通過補形變成平行四邊形，借助平行四邊形的性質把條件集中在一個三角形中，從而順利地解決問題.

3. 關注平面幾何知識的滲透

新高考刪除選考內容，意味著幾何證明選講部分內容不再單獨出現，但是很多的幾何圖形性質又能起到簡化運算的功能，體現多思少算的新高考理念，尤其是解析幾何等內容體現得尤為明顯. 因此，在解三角形的教學中應關注平面幾何知識的滲透，提升學生的直觀想象與數學運算素養.

例5：在銳角三角形ABC中，點D在線段AC上，AB=2，sin∠ABC=，BD=，AD=3CD，則cosC的值為________.

評析：本題與例4同是屬于條件分散的解三角形問題，不能直接利用正余弦定理解決，這是相同之處，不同的是D點不是中點了，故不能用中點模型之向量來構建邊角關系，可以通過基向量的運算把用與表示出來，即4=3+，兩邊平方即可建立邊BC的方程，從而利用余弦定理求邊BC，最后再用余弦定理求cosC的值. 但是這種解法對向量的運算要求及向量在解三角形中的工具性作用意識提出了較高要求，對學生來說有一定難度. 此時若借助平面幾何知識，過點P作AB的平行線交BC于點E，再利用BE∥AB的分線段成比例和同位角相等兩個性質，可以利用余弦定理計算BE的長度，從而計算BC，AC，最后再次利用余弦定理計算cosC的值. 縱觀本題的解決過程，作平行線來構建邊角關系成為了解題的關鍵.

4. 關注結構不良型試題的考查

新高考評價體系確立了高考中學科素養的考查目標，也正在實現從能力立意到素養導向的歷史性轉變. 突出考查的情境從學科知識化到真實情境化，試題條件從結構良好到結構不良，試題要素從單一到復合. 這在2020年的新高考卷中也體現得尤為明顯，特別是結構不良型試題的出現，增強了探究性與開放性，對學生知識的整體性、系統性提出了更高的要求，在后期的復習備考中要引起足夠重視并強化訓練.

例6：（2020年高考山東卷17題）在①ac=，②csinA=3，③c=b這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，若問題中的三角形存在，求c的值;若問題中的三角形不存在，說明理由.

問題：是否存在△ABC，它的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且sinA=sinB，C=，_______？

注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.

評析：本題是山東卷的一大亮點與特色，打破常規形式，目標的指向開放，考查了考生數學素養與臨場應變能力，很好地體現了新高考評價體系中素養導向的作用.

結構不良型試題的目標指向開放，探究韻味濃厚，應該全方位、多角度地加大訓練力度，本題是條件開放1個，可以變成條件開放2個甚至3個，采用組合形式選擇條件，提升選題的層次感，增加思維量，提升學生的數學抽象、數學運算、邏輯推理等學科素養.

例7：在△ABC中角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足（2a-c）cosB=bcosC.

（1）求角B的大小;

（2）現給出三個條件：①a=2c;②AC邊上的中線BD長為;③角B的平分線交邊AC于M，且BM=1. 從中選出兩個可以確定△ABC的條件，寫出您的選擇，并以此為依據求出△ABC的面積.

注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.

[?]強化思想方法，提升數學能力

美國教育心理學家布魯納指出：掌握基本的數學思想和方法，能使數學更容易理解和記憶，領會數學思想和方法是通向遷移大道的“光明之路”. 數學思想是對數學知識和方法本質的認識，數學方法是解決數學問題、體現數學思想的手段和工具. 數學思想和方法是學生形成良好認知結構的紐帶，是知識轉化成能力的橋梁，是數學的靈魂和精髓. 因此，要加強核心知識的理解，最關鍵的還是要在思想和方法上給予滲透，將核心知識在思想和方法的指引下合理地運用到位，只有具備思想的教學，才是有深度的、有靈魂的教學.

例8：（“八省聯考”18題）在四邊形ABCD中，AB∥CD，AD=BD=CD=1.

（1）若AB=，求BC.

（2）若AB=2BC，求cos∠BDC.

評析：本題屬基礎題，考查了平行四邊形的簡單性質，余弦定理在解三角形中的應用，方程思想、數形結合思想，數學運算及邏輯推理數學素養. 本題求解的關鍵是利用線線平行的性質得到兩內錯角∠ABD=∠BDC，通過內錯角相等，借助余弦定理來建立BC邊的方程，最后用余弦定理求出cos∠BDC的值. 是方程思想的典型應用.

這是非常典型的利用方程思想來解決問題的范例，通過“引入變量—尋找關系—構建方程—求解方程”四個步驟來解決問題. 只要是條件較為分散的解三角形問題，大多數需要充分挖掘隱含條件，通過引入邊參或者角參，借助方程思想才能順利地解決問題.

無獨有偶，本題的設置背景與考查思想和方法與2015年課標卷的理科17題如出一轍，只是把內錯角換成內外角，邊長的2倍關系通過角平分定理的性質給出了而已，其實質仍然是利用方程思想解決問題.

例9：（2015年新課標Ⅱ卷理17題）在△ABC中，D是BC上的點，AD平分∠BAC，△ABD面積是△ADC面積的2倍.

（1）求;

（2）若AD=1，DC=，求BD和AC的長.

數學思想和方法是數學知識轉化為能力的重要載體，也是檢測考生數學素養的重要體現. 在三角函數模塊的復習中，尤其要重視函數與方程思想、數形結合思想、轉化與化歸思想的應用.

因此，在復習備考中，要特別重視數學思想和方法的滲透，不能只講題型，不講思想和方法，不然的話，學生就只會套題型，不會自己獨立思考，當然也就沒有能力上的提高. 每道精選的例題都要有數學思想和方法的滲透，都要有數學思想和方法指導下的分析，還要有數學思想和方法上的總結，讓學生在體驗中學會思考，在思考中提升能力.

[?]研讀高考真題，探尋命題規律

教育部考試中心劉芃曾經這樣說過：“與其大量做題，不如抽時間認真研究往年的真題，往年的試題是精雕細琢的產物，它反映了對考試內容的深思熟慮，對設問和答案的精準把捏，對學生水平的客觀判斷. 研究這些試題，就如同和試題的命制者對話. ”的確如此，尤其是近年以來，全國卷試卷結構和試題難易度逐漸趨于平穩，因此上一年的高考真題也透露著下一年高考的重點方向，通過歷年高考真題的橫向與縱向對比、分析、思考、總結后，能探尋出一定的規律，對指導課堂教學有很大的幫助.

例10：（2014年課標卷理16題）已知a，b，c分別為△ABC的三個內角A，B，C的對邊，a=2，且（2+b）（sinA-sinB）=（c-b）sinC，則△ABC面積的最大值為_____.

例11：（2016年全國I卷17題）△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）=c.

（1）求C;

（2）若△ABC的面積為，求△ABC的周長.

例12：（2017年全國I卷17題）△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知△ABC的面積為.

（1）求sinB·sinC的值;

（2）若6cosB·cosC=1，a=3，求△ABC的周長.

筆者通過收集、對比、研究發現：雖然以上的三道題目的呈現方式不同，但題根都是余弦定理. 考查知識點相同，解決問題的方法相同;不同的是例12、例13是用方程思想解決余弦定理中的定值問題，而例11則是用不等式思想對余弦定理進行變形，解決最值、范圍問題. 因此，在余弦定理的教學中，不僅要深挖公式的正用、逆用、變用功能，更要挖掘等式中蘊含的數學思想——方程思想，還要樹立方程到不等式的變化意識來建構基本不等式模型，從而順利地解決一些有關周長、面積的最值或范圍問題.

高考真題是命題者依綱靠本、科學而精心設計的典型題目，它聚集了專家、優秀老師們的集體智慧，它不僅在一定程度上濃縮了課本上重要的基礎知識與基本技能，而且還蘊含著豐富的數學思想和方法，能夠折射出高考的基本走向和考查的深度與廣度. 為了避免題海戰術，讓學生真正跳出題海，只有教師跳入題海，潛心研讀高考歷年真題，方能領悟高考命題規律.

參考文獻：

[1]? 教育部考試中心. 中國高考評價體系說明[M]. 北京：人民教育出版社，2019.

[2]? 中華人民共和國教育部制定. 普通高中數學課程標準（2017年版）[S]. 北京：人民教育出版社，2018.