集中載荷作用截面的應力分析研究

王子豪，舒香澍

（南京航空航天大學航空學院，江蘇 南京 210000）

集中載荷的概念廣泛應用于剛體力學、梁板殼等理論,在彈性理論中也有應用。但我們知道,在線彈性理論下的空間問題或平面問題中,有限的集中力將在作用點附近產生無限大的應力和位移。這個解明顯地與它的前提小變形矛盾。

材料力學教材中，將集中力等效為作用面積遠小于構件尺寸的分布載荷處理，并得出在集中載荷作用兩側內力發生突變的結果，但并未給出該截面內力的準確值。本文將這種等效的分布載荷視為作用于兩側截面的“分布載荷”，這是因為在每一側該“分布載荷”作用范圍為無窮小、平均載荷集度為無窮大，而分布載荷在此作用范圍的積分為有限值，不妨將該“分布載荷”視為作用于兩側截面的集中力分析。

1 一個重要的反思

引例：簡支梁中點處作用一集中力（圖1），如何求解集中力作用處的內力（剪力）？

圖1

在工程上，集中力是作用面積遠小于構件尺寸的分布載荷，因此，對于此例，建立自右向左的x軸，并給出分布載荷集度函數。

同時注意到簡支梁的結構、載荷都關于集中力對稱，從而梁的內力、變形都會關于集中力對稱。因此，可以認為等效分布載荷也關于集中力對稱。

于是，利用力的簡化定理，向集中力作用處橫截面簡化，不難解出剪力等于零的答案。

在理想情況下，取梁上任意橫截面（除集中力作用處）求得剪力大小為。若將集中力等效為作用面積遠小于構件尺寸的分布載荷，那么，無論將分布載荷作用范圍縮小到何種程度，在此作用范圍內梁的橫截面上的剪力仍然會受到分布載荷的作用而改變，從而導致在此范圍內的變形發生改變，這是不允許的，因為由以下討論可知，在分析集中力作用處剪力大小的過程中，梁在集中力附近微段的變形是決定剪力大小的重要因素，不相等的變形，勢必會導致分析結果的錯誤。 同時，即便分布載荷作用范圍極小，但其集度的平均值極大，依然會對梁的變形造成可觀的影響，因此這種“等效”的差別是不可忽略的。所以歸根結底，將集中力“等效”為作用范圍足夠小的分布載荷依然是停留在對分布載荷問題的討論，并未過渡到集中力，這種等效并不成立！

另外，截面剪力一定等于突變處兩側剪力的平均值嗎？上述結果求得的剪力為零一定是因為該結構和載荷的特殊性嗎？

舉個反例，假設集中力作用于簡支梁的由三等分點（圖2），那么，梁的變形不再關于集中力對稱（這里的“對稱”只考察距集中力范圍內的情況），在這種非對稱情況下，集中力所等效出的分布載荷完全可以不再限制于對稱分布。于是，分別取均布載荷、形如直角三角形的分布載荷的情況研究（圖2）。

圖2

依上述求解過程，發現這兩種分布載荷所對應的集中力作用處的剪力并不相同，前者取突變兩側的平均值，而后者會因為集中力兩側分布載荷的合力不相同而導致此處剪力不為平均值，所以第一個問題的答案是否定的。但是，集中力作用處橫截面上的剪力是唯一的，因此集中力只能對應一類分布載荷，這類分布載荷與集中力滿足合力方程，并且利用這些分布載荷求出的集中力作用處的剪力一定是唯一的。同時應注意到梁的變形已經確定，即這一類分布載荷中只有一個符合變形條件。

回到理想情況，如何分析上述的等效不成立問題？借由工程實際的啟示，現欲尋求集中力的“分布載荷”，但是，此時的“分布載荷”必須滿足兩個條件，分別是力的外效應與內效應的等效，所謂外效應，即滿足在剛體范疇下的力系的等效；所謂內效應，即力對梁的變形狀況的等效。

2 求解思路

在此主要分析內效應的等效，即對任意無限接近集中力的橫截面，都可以找到一分布載荷，使分布載荷的作用范圍小于橫截面與集中力的距離。在這種敘述方式下，可以保證各橫截面的剪力大小都等于，但分布載荷的作用范圍卻在“運動”，呈現出不斷變小、趨近于零的狀態。

那么，這種“運動”意味著什么？因為我們所尋找的“分布載荷”會使所有的橫截面都與等效前的狀態一致，但是，以上的要求卻斷定我們無法找到通常意義上的分布載荷（即作用范圍固定的分布載荷）。聯系工程實際：集中力作用處剪力的唯一性會約束集中力所等效的分布載荷的選取，于是，我們推斷：這種“分布載荷”是這些分布載荷中最特殊的一種。其特殊性表現為作用范圍為集中力作用處的兩側截面（圖3）。

圖3

下面給出做出此推測的原因：將這一類分布載荷以及梁從集中力作用處截開，考慮截開后的左側梁，再由第一個推測：無論理想還是實際，集中力作用處剪力是相等的，左側梁的“分布載荷”分量與這一類分布載荷分量具有相同的外效應，從而得出“分布載荷”是其中之一的結論。其二，為保證與理想情況的變形情況（內效應）完全相同，“分布載荷”只能作用于兩側截面。

對于實際情況，已經由剪力的唯一性對集中力的分布載荷的選取進行了約束，但仍未考慮變形對這一類分布載荷的約束，并解出分布載荷。

對于理想情況，已經由剪力相同的推測導出理想集中力可等效為分別作用于兩側截面上的分力的結論，但仍未解出兩個分量。

為便于利用已學的胡克定律進行解釋，這里不再討論剪力，而是引入一個類似的軸力問題（圖4）。

圖4

其中，軸向集中力作用于桿件右三等分處。

由平衡方程、變形協調方程、胡克定律求解出兩側的約束力大小分別為。

圖5

3 結論

綜上所述，對于集中載荷作用下的簡支梁以及兩端固定的細長桿，將桿件從作用截面截開，集中載荷等效為作用于兩側截面的集中力，這兩個力分別與截開后兩桿上的約束力平衡，所以截面內力為零。

4 應用

這個理論也為我們尋找分布載荷的集中力位置提供了理論依據：無論分布載荷的具體分布情況，集中力作用點的位置一定可以將兩邊分布載荷劃分為兩邊合力大小相等。

但是，這個應用有較大的局限性。于有限大小的集中力，用線彈性理論求得的在集中力附近的應力場和位移場，肯定與實際情況相差甚遠,不能應用，而在遠離集中力的地方，線彈性理論解與實際情況相差不多。這時，集中力和與它相應的解可以在圣維南含義下近似應用。

其中比較值得注意的是，在剛體力學中,集中力偶屬于集中載荷。定義是一對大小相等、方向相反的集中力。且在剛體力學理論，力偶是可以沿著平面平移而對結果不造成影響的矢量。在線彈性理論中，力偶如果繼續能夠沿著平面平移，對應力場和位移場的結果分析會造成十分重大的影響。所以，應該放棄集中力偶而代之于集中力對的概念。