基于拓撲優化的齒輪輕量化設計方法研究

谷芳，吳華杰，崔國起

（天津大學內燃機研究所，天津 300072）

1 前言

齒輪是汽車傳動裝置中最常見的一種零部件，具有結構緊湊、效率高、工作可靠、壽命長等特點。隨著汽車零部件輕量化要求越來越高，設計出既要保障結構強度和振動特性，又要最大限度輕質量的齒輪結構，變得十分重要。齒輪的齒形結構主要由受力狀況和傳動參數決定，一旦外部受力和傳動參數確定，對齒形結構的優化余地不大。但齒輪的中心輻板結構有很大的優化空間。可以通過選擇最佳的輻板形狀，來滿足結構的強度和振動特性要求。傳統的腹板結構設計，往往是參考已有的齒輪結構進行經驗性設計。這種依靠經驗完成的齒輪設計，具有一定的不確定性，很難獲得齒輪輻板的最佳材料分布。尤其是對齒輪這種運動零部件來說，除了要考慮結構強度影響，還要考慮其振動特性。

拓撲優化是產品概念設計階段常用的優化方法，也是最具有應用前景和最能體現產品創新性的結構優化技術。通過尋找最佳的結構布局，得到質量最輕、性能最好的設計，這在產品輕量化設計中，是至關重要的一個環節。目前，國內學者采用拓撲優化的方法，對齒輪結構優化開展了一系列的研究，但大多數是基于靜強度分析的單目標優化設計或尺寸參數優化設計。針對齒輪這種運動零部件來說，顯然是不夠的。其使用壽命和可靠性，除了與齒間嚙合力有關，還與系統的振動特性有很大關系。單目標優化僅能改善某一方面的性能，但對總體性能的控制還有所欠缺。為此，本文提出一種基于強度分析和模態分析的多目標齒輪拓撲優化方法，綜合考慮齒輪剛度和固有頻率，以期獲得更符合實際運行工況的齒輪結構。

2 齒輪輕量化設計原則

影響齒輪傳動的重要結構指標有兩項：一個是齒輪的固有頻率；一個是齒輪的結構強度。前者影響齒輪嚙合傳動的系統振動和噪聲程度，后者是齒輪有足夠的強度來完成傳動任務的保障。因而，對齒輪的輕量化設計要兼顧上述兩項技術指標。為此，優化后的齒輪結構應同時滿足一定條件下的固有頻率最大和整體柔度最小（剛度最大），才是最佳的設計方案。具體的齒輪拓撲優化設計流程如圖1所示。

圖1 齒輪拓撲優化設計流程

3 某直齒輪拓撲優化設計實例

3.1 齒輪結構參數及有限元網格模型

以某直齒輪為研究對象，齒輪結構參數，見表1。齒輪材質為結構鋼，彈性模量210GPa，泊松比0.3，密度7900kg/m3。齒輪幾何結構及模型分區如圖2所示。本次優化僅針對齒輪的腹板結構進行優化設計，因此將齒輪分成輪齒區、約束區和優化區，其中僅優化區可以進行減重設計，輪齒區和約束區為非優化區，不參與拓撲優化計算。

圖2 齒輪幾何結構及模型分區

表1 齒輪結構參數

齒輪的嚙合運動使接觸點受到集中力載荷，該集中載荷使齒輪受到關于中心軸的扭矩載荷。另外，齒輪孔與主軸之間通過鍵連接，在此假定中心軸為固定約束條件。利用Ansys workbench網格劃分工具，對模型進行網格劃分，得到六面體單元7788個。如圖3所示。

圖3 齒輪網格結構

3.2 基于模態分析的齒輪拓撲優化

首先對齒輪的原始結構進行模態分析。齒輪內孔與傳動軸之間常以鍵連接，本案例針對齒輪孔內柱面進行約束，即約束齒輪內圓柱面的徑向、軸向和法向位移。通過分析發現，該齒輪的第六階模態振型表現為繞中心軸旋轉的形式，其固有頻率為3481Hz，見圖4。

圖4 原齒輪結構旋轉模態

考慮到齒輪的外激勵頻率大多與結構的旋轉狀態有關系，當結構的旋轉固有頻率和外激勵頻率相接近，會引起“共振”。因此，本案例以原齒輪的第六階模態固有頻率最大化為優化目標，以優化前后設計區的體積比≤0.4為約束條件，進行拓撲優化分析。

優化后的齒輪結構及整合齒輪結構如圖5所示。圖中數值大的表示必須保留的區域，數值小的部分表示可以去除的區域。圖6是優化后齒輪的旋轉模態，比原結構模態的固有頻率略有下降。由于固有頻率與結構質量負相關，因而齒輪質量的減少會導致模型剛度下降，進而表現為固有頻率降低。優化后齒輪總體質量降低10.65%。

圖5 基于模態分析的齒輪拓撲優化結構

圖6 拓撲優化后的旋轉模態

3.3 基于靜力學分析的齒輪拓撲優化

齒輪在嚙合傳動中輪齒受到了接觸應力，結構的改變往往影響齒輪的嚙合強度。優化后的齒輪結構必須有足夠的剛度來克服嚙合傳動時產生的接觸應力。為此采用基于靜力學分析的齒輪拓撲優化是必要的。齒輪在傳動中的載荷工況為繞中心軸的轉矩，邊界約束條件為繞中心軸的旋轉自由度為free，其他自由度均為固定。以設計區體積比≤0.4，以柔度最小化（剛度最大化）為設計目標。

圖7為基于靜力分析的齒輪拓撲優化結果及其整合結構。通過分析發現，隨著齒輪輪輻質量降低，齒輪的整體柔度有所上升。優化后齒輪總體質量降低11.07%。

圖7 基于靜力分析的齒輪拓撲優化結果

3.4 齒輪多目標拓撲優化模型

通過對齒輪進行基于模態分析或靜力分析的拓撲優化仿真，發現兩種優化方法均能降低齒輪的整體質量，但考慮到齒輪的結構剛度與質量正相關，而固有頻率與質量負相關，為了同時兼顧齒輪的剛度和固有頻率，采用多目標優化方法，對齒輪結構進行了拓撲優化設計。考慮到齒輪剛度在實際傳動過程中起到的穩定性作用較為重要，選擇靜力分析目標函數與模態分析目標函數的加權因子之比為3:1。優化目標與約束條件不變。

圖8為基于多目標拓撲優化后的齒輪結構及其整合結果。表2對比了優化前后齒輪各項性能指標的變化。通過多目標拓撲優化后，齒輪腹板質量減重42.3%，齒輪總體質量下降10.92%，減重效果明顯。由于齒輪腹板質量的降低，齒輪的旋轉固有頻率降低，柔度增加。但通過對比齒輪在運行過程中的齒根應力發現，在目前在齒輪腹板減重42.3%的情況下，優化后的齒根應力僅增加了7%左右（見圖9），結構強度下降幅度尚可接受。針對齒輪固有頻率的討論，需要結合齒輪具體的使用工況，結合外激勵頻率。如果目前的優化頻率遠離激勵外頻率，則這一結果可以接受，若接近外激勵頻率。則需要對齒輪結構進行新一輪的調整，以保證齒輪在運行中遠離共振頻率。具體的優化方法與上述內容相同。

表2 優化前后齒輪性能比較

圖8

圖9

4 結語

本文在同時考慮了齒輪的結構強度和動力學特征的情況下，基于多目標拓撲優化方法對齒輪進行優化設計，既實現了齒輪的輕量化設計目的，又保證了齒輪的結構強度和振動安全性，具有較強的工程應用價值。同時，本文提出的基于結構強度分析和模態分析的多目標齒輪拓撲優化設計方法，具有一定的普適性，可以推廣到其他需要考慮強度和動力特征的零部件輕量化設計中。