巧添輔助線妙解等腰題

宋愛華

等腰三角形具備“三線合一”（頂角平分線、底邊上的中線和底邊上的高互相重合）的性質.? 我們在解決等腰三角形的相關問題時，若能適當添加輔助線，在已知和未知之間“牽線搭橋”，實現問題的轉化，就能利用“三線合一”這一性質使問題迎刃而解.

一、利用“三線合一”作輔助線

若有等腰三角形的底邊中點，常作底邊上的中線，或根據題目特點作底邊上的高或頂角的平分線. 添加的輔助線要有利于條件的轉化和問題的求解.

例1（2020·重慶）如圖1，在△ABC中，AC = 2[2]，∠ABC = 45°，∠BAC = 15°，將△ACB沿直線AC翻折至△ABC所在的平面內，得△ACD. 過點A作AE，使∠DAE = ∠DAC，與CD的延長線交于點E，連接BE，則線段BE的長為（ ）.

A. [6] B. 3 C. [23] D. 4

分析：根據角度可分析得出△CAE是等腰三角形，利用“三線合一”可作底邊上的高線，這里直接延長BC，交AE于F，可得BF⊥AE.

解：由翻折可得：∠DAC = ∠BAC = 15°，∠ADC = ∠ABC = 45°，

∵∠DAE = ∠DAC，∴∠EAD = ∠DAC = 15°，

∴∠CEA = ∠ADC - ∠DAE = 45° - 15° = 30°，∠EAB = 45°，∠EAC = 30°，

∴∠CEA = ∠EAC，∴CA = CE.

延長BC交AE于F，如圖2.

∵∠ABC = 45°，∴∠BFA = 90°，即BF⊥AE.

∵CA = CE，BF ⊥ AE，∴AF = EF.

在Rt△AFC中，∠EAC = 30°，∴FC = [12]AC = [12] × 2[2] = [2]，

∴AF = [AC2-FC2] = [（22）2-（2）2] = [6].

在Rt△AFB中，易得AF = FB = [6]，∴AB = [BF2+AF2] = [（6）2+（6）2] = [23].

∵BF⊥AE，AF = EF，∴BE = AB = [23]. 故選C.

例2 如圖3，在△ABC中，∠BAC = 90°，AB = AC，D為BC的中點，點E，F分別是AB，AC上的點，且BE = AF. 試說明：DE = DF.

分析：要證DE = DF，可尋找兩個三角形全等. 本題中△ABC為等腰直角三角形，且有底邊上的中點，故可連接AD，利用“三線合一”得出角的關系，進而為證明全等創造條件.

解：如圖3，連接AD. ∵AB = AC，D為BC的中點，

∴∠BAD = ∠DAC = [12]∠BAC = 45°，AD⊥BC，∴∠ADB = 90°.

∵AB = AC，∠BAC = 90°，∴∠B = ∠C = 45°.

∴∠B = ∠BAD = ∠BAC，∴BD = AD.

∵∠B = ∠DAC = 45°，且BE = AF，∴△BDE ≌ △ADF（SAS）. ∴DE = DF.

二、逆用“三線合一”構造等腰三角形

當發現三線中具備兩線時，巧作輔助線，構造等腰三角形，然后利用全等相關知識去解決問題.

例3 如圖4，四邊形ABCD中，AB[?]CD，E是BC的中點，DE平分∠ADC，求證：AD = CD + AB.

分析：題中未直接給出兩線的條件，需要證明其中一個條件或者通過作輔助線構建另一個條件.

解：延長DC，AE交于F，過點E作EN⊥FD，EM⊥AD，垂足分別為N，M.

易證△CEF ≌ △BEA（ASA），

∴FE = AE，FC = AB，易證S△AED = S△FED.

∵DE平分∠ADC，∴EN = EM，∴DF = AD.

∴AD = DF = CD + CF = CD + AB.

三、利用“三線合一”說明線段的和差關系（構造三線法）

當條件中只具有高線時，可作輔助線構造等腰三角形，轉化已知條件去解決問題.

例4 如圖5，在△ABC中，AD⊥BC于點D，且∠ABC = 2∠C. 試說明：CD = AB + BD.

分析：如何運用“∠ABC = 2∠C”這一條件是解題關鍵，我們可以構造出一個等腰三角形ABE，既可以將∠ABC進行轉化，又可以利用“三線合一”的性質.

解：如圖5，以點A為圓心、AB長為半徑畫弧，交CD于點E，連接AE，則AE = AB，

∴∠AEB = ∠ABC.

∵AD⊥BC，∴AD是△ABE中BE邊上的中線，∴DE = BD.

∵∠ABC = 2∠C，∴∠AEB = 2∠C.

∵∠AEB = ∠CAE + ∠C，∴∠CAE = ∠C，

∴CE = AE = AB，∴CD = CE + DE = AB + BD.

1. 已知：如圖6，在△ABC中，AB = AC，E在AC上，D在BA的延長線上，AD = AE，連接DE. 求證： DE⊥BC.

2. 已知：如圖7，AD平分∠BAC， CD⊥AD，D為垂足，AB>AC. 求證：∠2 = ∠1 + ∠B.

提示：

1. 過點A作BC的平行線，交DE于P.

2. 延長CD，交AB于點E.