角平分線與等腰三角形的神奇聯系

宋愛華

角平分線與等腰三角形有著密不可分的聯系. 在許多幾何問題中，遇到等腰三角形就會想到頂角的平分線，遇到角平分線又會想到構造等腰三角形.

一、角平分線 + 平行線→等腰三角形

當一個三角形中出現角平分線和平行線時，我們就可以尋找到等腰三角形. 在圖1①中，若AD平分∠BAC，AD[?]EC，則△ACE是等腰三角形;在圖1②中，AD平分∠BAC，DE[?]AC，則△ADE是等腰三角形;在圖1③中，AD平分∠BAC，CE[?]AB，則△ACE是等腰三角形;在圖1④中，AD平分∠BAC，EF[?]AD，則△AGE是等腰三角形.

例1 如圖2，在△ABC中，AB=AC，在AC上取點P，過點P作EF⊥BC，交BA的延長線于點E，垂足為點F. 求證：AE=AP.

解析：要證AE=AP，可尋找一條角平分線與EF平行，聯想到AB=AC，于是，作AD平分∠BAC，如圖3，可得AD⊥BC，而EF ⊥ BC，則AD[?]EF，可得到△AEP是等腰三角形，從而AE=AP得證.

例2 如圖4，在△ABC中，∠BAC，∠BCA的平分線相交于點O，過點O作DE[?]AC，分別交AB，BC于點D，E. 試猜想線段AD，CE，DE的數量關系，并說明你的猜想理由.

解析：猜想AD + CE=DE.

由于OA，OC分別是∠BAC，∠BCA的平分線，DE[?]AC，可證△ADO和△CEO是等腰三角形，則DO=DA，EC=EO，從而AD + CE=DE得證.

例3 如圖5， AD平分∠BAC，E，F分別在BD，AD上，且DE=CD，EF=AC. 求證：EF[?]AB.

解析：要證EF[?]AB，已知AD平分∠BAC，可通過引輔助線構造出平行線，從而得到等腰三角形.

已知DE=CD，可聯想倍長中線，于是延長AD至M，使DM=AD，連接EM.

如圖6，可證△MDE ≌ △ADC，∴ME=AC，∠M=∠CAD.

又∵EF=AC，∴EF = ME，∴∠M=∠EFM，∴∠CAD=∠EFM，

又∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∴∠BAD=∠EFM，∴EF[?]AB.

二、角平分線 + 垂線→等腰三角形

當一個三角形中出現角平分線和垂線時，我們就可以尋找到等腰三角形. 如圖7，若AD平分∠BAC，AD⊥DC，則△AEC是等腰三角形.

例4 如圖8，BD是∠ABC的平分線，AD⊥BD，垂足為D. 試說明：∠BAD=∠DAC + ∠ACB.

解析：本題中有BD是∠ABC的平分線，AD⊥BD，延長AD交BC于E，如圖9，易證得等腰三角形ABE.

∵BD平分∠ABC，AD⊥BD，∴AB=BE，∴∠BEA=∠BAD.

又∵∠BEA=∠EAC + ∠C，∴∠BAD=∠DAC + ∠ACB.

例5 如圖10，已知在等腰直角三角形ABC中，AB = AC，∠BAC = 90°，BF平分∠ABC，CD⊥BD，交BF的延長線于點D. 試說明：BF = 2CD.

解析：本題輔助線的作法不易想到，如圖11，延長BA，CD交于點E，結合“三線合一”和全等三角形可證得結論.

∵BF平分∠ABC，CD⊥BD，

∴∠1 = ∠2，∠BDC = ∠BDE = 90°.

∵BD = BD，∴△BDC ≌ △BDE（ASA），∴BC = BE.

∵BD⊥CE，∴CE = 2CD.

∵∠BAC = 90°，∠BDC = 90°，∠AFB = ∠DFC，∴∠2 = ∠ACE.

又∵AB = AC， ∠BAF = ∠CAE = 90°，∴△ABF ≌ △ACE（ASA）.

∴BF = CE，∴BF = 2CD.