勾股定理創新題賞析

劉頓

2020年湖北省隨州市的中考數學試卷中有這樣一道試題：

勾股定理是人類最偉大的十個科學發現之一，西方國家稱之為畢達哥拉斯定理. 在我國古書《周髀算經》中就有“若勾三，股四，則弦五”的記載，我國漢代數學家趙爽為了證明勾股定理，創制了一幅“弦圖”（如圖1），后人稱之為“趙爽弦圖”，流傳至今.

（1）①請敘述勾股定理;②勾股定理的證明，人們已經找到了400多種方法，請從下列幾種常見證明方法中任選一種來證明該定理.（以下圖形均滿足證明勾股定理所需的條件）

（2）①如圖4、圖5、圖6，以直角三角形的三邊為邊或直徑，分別向外部作正方形、半圓、等邊三角形，這三個圖形中面積關系滿足S1 + S2 = S3的有 個.

②如圖7所示，分別以直角三角形三邊為直徑作半圓，設圖中兩個月形圖案（陰影部分）的面積分別為S1，S2，直角三角形的面積為S3，請判斷S1，S2，S3的關系并證明.

（3）如果以正方形一邊為斜邊向外作直角三角形，再以該直角三角形的兩直角邊為邊分別向外作正方形，重復這一過程得到如圖8所示的“勾股樹”. 在如圖9所示的“勾股樹”的某部分圖形中，設大正方形M的邊長為定值m，四個小正方形A，B，C，D的邊長分別為a，b，c，d，已知∠1 = ∠2 = ∠3 = ∠α，則當∠α變化時，回答下列問題：（結果可用含m的式子表示）

①a2 + b2 + c2 + d2 = ;

②b與c的關系為 ，a與d的關系為 .

仔細研究題目，會發現該題的文字與圖形都是我們平時所接觸過的，該題只是將這些文字與圖形歸結到一個題目中來，要求我們解決平時不曾要求解決的問題.

解析：（1）①如果直角三角形的兩條直角邊分別為a，b，斜邊為c，那么a2 + b2 = c2. （在直角三角形中，兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方. ）

②在圖1中，大正方形的面積等于四個全等的直角三角形的面積與中間小正方形的面積的和，即c2 = [12]ab·4 + （b - a）2，化簡得a2 + b2 = c2. 在圖2中，大正方形的面積等于四個全等的直角三角形的面積與中間小正方形的面積的和，即（a + b）2 =? c2 + [12]ab·4，化簡得a2 + b2 = c2. 在圖3中，梯形的面積等于三個直角三角形的面積的和，即[12]（a + b）（a + b） = [ 12]ab·2 + [12]c2，化簡a2 + b2 = c2.

（2）①在圖4中，設直角三角形的邊長從小到大分別為a，b，c，

則由勾股定理得a2 + b2 = c2，∴S1 + S2 = S3;

在圖5中，設三個半圓的直徑從小到大分別為a，b，c，

則S1 = [12π·a22] = [18π]a2，S2 = [12π·b22] = [18π]b 2，S3 = [12π· c22] = [18π]c 2，∴S1 + S2 = [18π]（a2 + b2），

∵a2 + b2 = c2，∴[18π]（a2 + b2） = [18π]c 2，∴S1 + S2 = S3;

在圖6中，設等邊三角形的邊長從小到大分別為a，b，c，則S1 = [34]a2，S2 = [34]b 2，S3 = [34]c 2，

∵S1 + S2 = [34]（a2 + b2），a2 + b2 = c2，∴[34]（a2 + b2） = [ 34]c 2，

∴S1 + S2 = S3.

滿足S1 + S2 = S3的圖形有3個，故應填3.

②結論為S1 + S2 = S3.

∵S1 + S2 = [12π·a22] + [12π·b22] + S3 - [12π· c22]，∴S1 + S2 = [18π]（a2 + b2 - c2） + S3，

∵a2 + b2 = c2，∴S1 + S2 = S3.

（3）①如圖9，設中間的兩個正方形分別為正方形N和正方形T，正方形A、正方形B、正方形C、正方形D、正方形N、正方形T、正方形M的邊長分別為a，b，c，d，n，t，m，

由（1）（2）結論可知，面積關系為SA + SB = SN，SC + SD = ST，SN + ST = SM，

∴a2 + b2 = n2，c2 + d2 = t2，n2 + t2 = m2，∴a2 + b2 + c2 + d2 = m2，

故應填m2.

②如圖10，連接SP，過Q分別作FG和SP的垂線，垂足分別為H和K，

由直角三角形和正方形的性質，結合∠1 = ∠2 = ∠3可得：

△QRS ≌ △FHE ≌ △SKE，△PXY ≌ △EHG ≌ △EKP，

∴FH = QR=a，GH=XY=d，RS=EK=PX=b=c，而FH + GH=m，

即b=c，b + d=m，

故應填b=c，b + d=m.