非線性(p,q)-差分方程非局部問題的正解

禹長龍 韓獲德 王菊芳 邢厚民

摘 要：為了完善非線性量子差分方程邊值問題的基本理論，研究了二階非線性（p，q）-差分方程非局部問題的可解性。首先，計算線性（p，q）-差分方程邊值問題的Green函數，研究Green函數的性質;其次，運用Banach壓縮映像原理和Guo-Krasnoselskii不動點定理，獲得二階三點非線性（p，q）-邊值問題正解的存在性和唯一性定理;再次，給出線性（p，q）-差分方程非局部問題的Lyapunov不等式;最后，給出2個實例，證明所得結果是正確的。結果表明，在賦予非線性項f一定的增長條件下，非線性（p，q）-差分方程非局部問題正解具有存在性和唯一性。研究結果豐富了量子差分方程可解性的理論，對（p，q）-差分方程在數學、物理等領域的應用提供了重要的理論依據。

關鍵詞：非線性泛函分析;非線性（p，q）-差分方程;非局部問題;Banach壓縮映像原理;Guo-Krasnoselskii不動點定理;正解

中圖分類號：O175.8?? 文獻標識碼：A

doi：10.7535/hbkd.2021yx04005

收稿日期：2021-04-28;修回日期：2021-06-06;責任編輯：張士瑩

基金項目：國家自然科學基金（11201112）;河北省自然科學基金（A201520811）;河北省教育廳基金（ON2017065）

第一作者簡介：禹長龍（1978—），男，河北陽原人，副教授，碩士，主要從事微分方程邊值問題、量子差分方程邊值問題以及數值計算等方面的研究。

E-mail：changlongyu@126.com

禹長龍，韓獲德，王菊芳，等.非線性（p，q）-差分方程非局部問題的正解[J].河北科技大學學報，2021，42（4）：352-359.YU Changlong，HAN Huode，WANG Jufang，et al.Positive solutions for nonlocal problems of nonlinear （p，q）- difference equations[J].Journal of Hebei University of Science and Technology，2021，42（4）：352-359.

Positive solutions for nonlocal problems of nonlinear （p，q）- difference equations

YU Changlong1，HAN Huode1，WANG Jufang1，XING Houmin2

（1.School of Science，Hebei University of Science and Technology，Shijiazhuang，Hebei 050018，China;2.College of Letter and Science，University of California，Berkeley，California 94720，USA）

Abstract：In order to improve the basic theory of boundary value problems for nonlinear quantum difference equations，in this paper，we study the solvability of nonlocal problems for second order three-point nonlinear （p，q）-difference equations.Firstly，the Green function of the boundary value problem of linear （p，q）-difference equation is calculated and the property of Green function is studied.Secondly，we obtain the existence and uniqueness of the positive solution for the problem by the Banach contraction mapping principle and the Guo-Krasnoselskii fixed point theorem in a cone.Next，we get the Lyapunov inequality for nonlocal problems of linear （p，q）-difference equations.Finally，two examples are given to illustrate the validity of the results.The results show that the existence and uniqueness of positive solutions for nonlocal problems of nonlinear （p，q）-difference equations are obtained，under the condition of nonlinear term f certain growth.The research results enrich the theory of solvability of quantum difference equations and provide important theoretical basis for the application of（p，q）-difference equation in mathematics，physics and other fields.

Keywords：

nonlinear functional analysis;nonlinear （p，q）-difference equation;nonlocal problem;Banach contraction mapping principle;Guo-Krasnoselskii fixed point theorem;positive solution

量子微積分，又名q-微積分，是一類無極限的微積分，最早于20世紀初期由JACKSON[1-2]正式提出。1912年，CARMICHAEL[3]研究了線性q-差分方程的一般理論。目前，有關線性q-差分方程的理論取得了很大進展[4-6]。眾所周知，線性q-差分方程的應用有其自身的局限性，相對而言，非線性q-差分方程有著更廣泛的應用，如正交多項式、基本超幾何函數、組合學、相對論、超幾何級數、復雜分析和粒子物理等。非線性q-差分方程邊值問題（BVPS）的研究可以追溯到2010年[7]。近些年來，關于非線性q-差分方程解的存在性的研究取得了很大進展[8-15]。

雙參數量子微積分又稱（p，q）-微積分，其作為q-微積分的拓展，起源于1990年[16]。近年來，關于（p，q）-微積分已經取得了一些研究成果[17-19]，但關于（p，q）-差分方程的研究結果尚少[20-22]，尤其是非線性（p，q）-差分方程邊值問題的研究仍處于起步階段。2019年，GHOLAMI[21]研究了（p，q）-差分方程邊值問題

（D2p，qu）（t）+f（t，u（t））=0， 0≤t≤1，αu（0）-βDp，qu（0）=0，γu（1）+δDp，qu（1）=0

解的存在性。基于上述基礎，筆者研究了一類二階非線性（p，q）-差分方程非局部問題

D2p，qu（t）+f（t，u（t））=0， t∈I，u（0）=0， u（1）=αu（η）（1）

的可解性，其中，I=[0，1]，0

1 預備知識

首先給出本研究用到的定義和相關定理。

定義1[19] 函數f（x）的（p，q）-導數：

Dp，qf（x）=f（px）-f（qx）（p-q）x，x≠0。

若f在x=0處可微，則Dp，qf（0）=f′（0）。

注：當p=1時，（p，q）-導數退化為q-導數：Dqf（x）=f（x）-f（qx）（1-q）x，x≠0。

定義2[19] 函數f（x）的（p，q）-積分：

∫f（x）dp，qx=（p-q）x∑.SymboleB@k=0qkpk+1f（qkpk+1x）。（2）

定理1[19] 設0

定義3[19] 設f是任意函數，a是實數，則

∫a0f（x）dp，qx=（q-p）a∑.SymboleB@k=0pkqk+1f（pkqk+1a）， pq<1;

∫a0f（x）dp，qx=（p-q）a∑.SymboleB@k=0qkpk+1f（qkpk+1a）， pq>1。

定義4[19] 設f是任意函數，a和b是2個非負實數且a

∫baf（x）dp，qx=∫b0f（x）dp，qx-∫a0f（x）dp，qx。

定理2[19]（（p，q）-微積分基本定理） 若F（x）是f（x）的原函數且F（x）在x=0處連續，則∫baf（x）dp，qx=F（b）-F（a），其中0≤a≤b≤.SymboleB@。

引理1[21] 交換積分次序公式，設函數f：I→R是連續的，則有

∫t0∫r0f（s）dp，qsdp，qr=∫tq0（t-pqs）f（s）dp，qs， pq<1;

∫t0∫r0f（s）dp，qsdp，qr=∫tp0（t-pqs）f（s）dp，qs， pq>1。

定理3[23] 設E是一個Banach空間，KE是一個錐。若ΩiE，i=1，2，0∈Ω1且Ω1Ω2，令A：K∩（Ω2＼Ω1）→K是一個全連續算子，且滿足

1）||Au||≤||u||，對u∈K∩Ω1，且||Au||≥||u||，u∈K∩Ω2，或者

2）||Au||≥||u||，對u∈K∩Ω1，且||Au||≤||u||，u∈K∩Ω2，

則A在K∩（Ω2＼Ω1）中有一個不動點。

2 主要結論

引理2 若y∈C[0，1]，且假設對任意t∈[1，1q]，有y（t）≡0，則（p，q）-差分方程邊值問題

D2p，qu（t）+y（t）=0，u（0）=0， u（1）=αu（η）（3）

有唯一解

u（t）=t（1-αη）∫1q0（1-pqs）y（s）dp，qs-αt（1-αη）∫ηq0（η-pqs）y（s）dp，qs-∫tq0（t-pqs）y（s）dp，qs=∫10G（t，pqs）y（s）dp，qs，

其中，G（t，pqs）為（p，q）-差分方程邊值問題（3）的Green函數，且

G（t，pqs）=11-αηpqs（1+αt-t-αη），??? pqs≤t， pqs≤η，t（1-pqs-αη+αpqs），t≤pqs≤η，t（αη-pqs）+pqs（1-αη），η≤pqs≤t，t（1-pqs），pqs≥t， pqs≥η。（4）

證明 對（p，q）-差分方程（3）兩邊從0到t兩次積分得：

u（t）=u（0）+tDp，qu（0）-∫tq0（t-pqs）y（s）dp，qs。（5）

由邊界條件u（0）=0，u（1）=αu（η）可得：

Dp，qu（0）=1（1-αη）∫1q0（1-pqs）y（s）dp，qs-α（1-αη）∫ηq0（η-pqs）y（s）dp，qs，

又由于t∈[1，1q]，有y（t）≡0，則

u（t）=t（1-αη）∫1q0（1-pqs）y（s）dp，qs-αt（1-αη）∫ηq0（η-pqs）y（s）dp，qs-∫tq0（t-pqs）y（s）dp，qs=∫10G（t，pqs）y（s）dp，qs。

證畢。

引理3 若0

1）G（t，pqs）≥0，（t，pqs）∈[0，1]×[0，1];

2）t∈1ξ，ξ-1ξ，G（t，pqs）≥σG（pqs，pqs），其中，σ=1-αξ（1-αη），ξ∈（2，+.SymboleB@）;

3）G（t，pqs）≤G（pqs，pqs）≤Θ，其中，

Θ=pq（1-pq）1-αη，12pq≤1，14（1-αη），12pq>1。

證明 1）經過簡單計算，易證G（t，pqs）≥0。

2）當1ξ≤t≤ξ-1ξ時，

G（t，pqs）G（pqs，pqs）=1+αt-t-αη1+αpqs-pqs-αη≥1-αξ（1-αη），???? pqs≤t，pqs≤η，tpqs≥1ξ，t≤pqs≤η，t（αη-pqs）+pqs（1-αη）pqs（αη-pqs）+pqs（1-αη）≥1-αξ（1-η），η≤pqs≤t，tpqs≥1ξ，pqs≥t，pqs≥η。

經計算可得，minξ∈（2，.SymboleB@）1-αξ（1-αη），1ξ，1-αξ（1-η）=1-αξ（1-αη），所以，

G（t，pqs）≥1-αξ（1-αη）G（pqs，pqs）。

3）由G（t，pqs）關于t的單調性易證結論成立。

證畢。

注：簡單計算知Θ≤14（1-αη）：=Θ1。

考慮空間Cp，q=C（[0，1]，R+），‖u‖=maxu，t∈I，u∈Cp，q。定義積分算子T：Cp，q→Cp，q，

Tu（t）=∫10G（t，pqs）f（s，u（s））dp，qs。

顯然，u是BVP（1）的解的充要條件為u是T的不動點。

定義錐K：

K=u∈Cp，q：u（t）≥0，min1ξ≤t≤ξ-1ξu（t）≥σ‖u‖。

定理4 若f：I×R+→R+是連續函數，L（t）∈L1p，q（I，R+），且 tL（t），t2L（t）∈L1p，q（I，R+），對t∈I，u1，u2∈R+滿足

|f（t，u1）-f（t，u2）|≤L（t）|u1-u2|。

若Γ<1，則BVP（1）有唯一正解，其中，

Γ=pq（A-pqB）1-αη，A=∫10sL（s）dp，qs，B=∫10s2L（s）dp，qs。

證明：令supt∈I|f（t，0）|=M0，M1=∫10pqs（1-pqs）1-αηdp，qs，選擇r>M0M11-δ，Γ≤δ≤1。令Br=

u∈Cp，q：‖u‖≤r，現證TBrBr。對任意的u∈Br，有

|Tu（t）|=∫10G（t，pqs）f（s，u（s））dp，qs≤∫10G（pqs，pqs）f（s，u（s））dp，qs≤

∫10G（pqs，pqs）（|f（s，u（s））-f（s，0）|+|f（s，0）|）dp，qs≤

∫10pqs（1-pqs）1-αη（|f（s，u（s））-f（s，0）|+|f（s，0）|）dp，qs≤

∫10pqs（1-pqs）1-αη（L（s）|u|+M0）≤‖u‖Γ+M0M1≤r。

因此，有‖Tu‖≤r，所以，TBrBr。

再證明T是壓縮的。對任意的t∈I，u，v∈Cp，q，有

|Tu（t）-Tv（t）|=∫10G（t，pqs）（f（s，u（s））-f（s，v（s）））dp，qs≤

∫10G（pqs，pqs）L（s）|u-v|dp，qs≤

‖u-v‖∫10pqs（1-pqs）1-αηL（s）dp，qs=

Γ‖u-v‖<‖u-v‖。

因此，‖Tu-Tv‖<‖u-v‖，所以T是壓縮的，根據Banach壓縮映像原理，T有唯一的不動點。證畢。

推論1 設f：I×R+→R+是連續函數，且L（t）∈L1p，q（I，R+），對t∈I，u1，u2∈R+滿足

|f（t，u1）-f（t，u2）|≤L（t）|u1-u2|。

若Γ1<1，則BVP（1）有唯一正解，其中，

Γ1=pq（1-pq）1-αηC，12pq≤1，14（1-αη）C，12pq>1，

且C=∫10L（s）dp，qs。

推論2 設f：I×R+→R+是連續函數，且L1（t）∈C（I，R+），對t∈I，u1，u2∈R+滿足

|f（t，u1）-f（t，u2）|≤L1（t）|u1-u2|。

若Γ2<1，則BVP（1）有唯一正解，其中，

Γ2=ΛM，Λ=maxt∈[0，1]L1（t），M=pq[q2（1-p）+p2（1-q）+pq]（1-αη）（p+q）（p2+pq+q2）。

引理4 T是一個正算子，且T（K）K。

證明 顯然，T（u）≥0，且有

min1ξ≤t≤ξ-1ξTu（t）=min1ξ≤t≤ξ-1ξ∫10G（t，pqs）f（s，u（s））dp，qs≥

σ∫10G（pqs，pqs）f（s，u（s））dp，qs≥

σmax0≤t≤1∫10G（t，pqs）f（s，u（s））dp，qs=

σ‖Tu‖。

所以，T（K）K。

為了方便，引入以下記號：

Φ（h）：=maxf（t，u）|（t，u）∈[0，1]×[0，h]，（6）

Ψ（h）：=minf（t，u）|（t，u）∈[1ξ，ξ-1ξ]×[0，h]，（7）

ω1：=1Θ1，ω2：=ω1σ。

顯然，0<σ<1，所以0<ω1<ω2。再證明BVP（1）解的存在性。

定理5 設存在正常數a和b，滿足Φ（a）≤aω1且Ψ（b）≥bω2，則BVP（1）至少有一個解u∈K，且min{a，b}≤‖u‖≤max{a，b}。

證明 因為0<ω1<ω2，由式（6）和式（7）易證a≠b。令Ω1：={u∈E‖u‖

首先，證明對u∈K∩Ω1，‖Tu‖≤‖u‖成立。

設u∈K∩Ω1，則0≤u（t）≤‖u‖=a，且

f（t，u）≤Φ（a）≤aω1，（t，u）∈[0，1]×[0，a]，

于是有

Tu（t）=∫10G（t，pqs）f（s，u（s））dp，qs≤

aω1∫10G（t，pqs）dp，qs≤

aω1∫10max0≤t，pqs≤1G（t，pqs）dp，qs≤

aω1ω-11=‖u‖。

所以，對于u∈K∩Ω1，有‖Tu‖≤‖u‖。

其次，證明對u∈K∩Ω2，‖Tu‖≥‖u‖成立。

設u∈K∩Ω2，則0≤u（t）≤‖u‖=b，且f（t，u）≥Ψ（b）≥bω2，（t，u）∈[1ξ，ξ-1ξ]×[0，b]，

于是有

Tu（t）=∫10G（t，pqs）f（s，u（s））dp，qs≥

bω2∫10G（t，pqs）dp，qs≥

bω2∫10min1ξ≤t≤ξ-1ξG（t，pqs）dp，qs≥

bω2σΘ1=‖u‖。

所以，對于u∈K∩Ω2，有‖Tu‖≥‖u‖。根據定理3可得，算子T有一個不動點u∈K，則BVP（1）至少有一個正解u∈K且min{a，b}≤‖u‖≤max{a，b}。

證畢。

推論3 設有限序列akn+1k=1，ak

證明 由定理5的簡單計算易證。

定理6 設0hω2，h∈[c，d]，則BVP（1）無正解，u*滿足c≤‖u*‖≤d。

證明 假設存在u*∈K是BVP（1）的一個正解，滿足c≤‖u*‖≤d，則

f（t，u）≤Φ（‖u*‖）≤‖u‖ω1，（t，u）∈[0，1]×[0，‖u*‖]。

由于u*是BVP（1）的一個正解，故有u*=Tu*，則

‖u*‖=∫10G（t，pqs）f（s，u*（s））dp，qs≤

max0≤t，pqs≤1∫10G（t，pqs）f（s，u*（s））dp，qs<

‖u*‖ω1ω-11=‖u*‖，

與條件（1）矛盾，所以BVP（1）無正解u*。類似可證第2種情形。證畢。

定理7 設k（t）∈C（I，R+），k（t）=0，t∈[1，1q]，u（t）∈C（I，R+）且u（t）是邊值問題

D2p，qu（t）+k（t）u（t）=0，?? t∈I，u（0）=0，u（1）=αu（η）（8）

的非平凡解，則Lyapunov不等式

∫10k（s）dp，qs≥4（1-αη）

成立。

證明 由引理2可知，邊值問題（8）等價于積分方程u（t）=∫10G（t，pqs）k（s）u（s）dp，qs，

于是

u（t）=∫10G（t，pqs）k（s）u（s）dp，qs≤14（1-αη）∫10k（s）u（s）dp，qs，

即‖u‖≤14（1-αη）∫10k（s）‖u（s）‖dp，qs。

由u（t）是平凡解可得，∫10k（s）dp，qs≥4（1-αη）。

3 應用舉例

例1 考慮非線性（p，q）-邊值問題

D214，12u（t）+t+111sin|u|=0， t∈I，u（0）=0， u（1）=12u（12）。（9）

事實上，p=14，q=12，α=12，η=12，f=t+111sin|u|。顯然，|f（t，u1）-f（t，u2）|≤111|u1-u2|，則Λ=111，ΛM=111×1163=163<1。因此，由推論2可知，邊值問題（9）有唯一正解。

例2 考慮非線性（p，q）-邊值問題

D213，34u（t）+t（1+sin|u|）12=0， t∈I，u（0）=0， u（1）=13u（23）。（10）

事實上，p=13，q=34，α=13，η=23，f=t（1+sin|u|）12。取ξ=4，經過計算可得，Θ1=928，ω1=289，ω2=314。

Φ（h）：=maxt（1+sin|u|）12|（t，u）∈[0，1]×[0，h]=1+h12，

Ψ（h）：=mint（1+sin|u|）12|（t，u）∈[14，34]×[0，h]=148，

選擇a=27，b=112，則Φ（a）=73≤aω1=84，且Ψ（b）=148≥bω2=156。由定理5可得，該BVP（10）至少有一個正解u*∈K滿足

112≤‖u‖≤27。

4 結 語

本文運用Guo-Krasnoselskii不動點定理和Banach壓縮映像原理，研究了非線性（p，q）-差分方程非局部問題正解的存在性、唯一性，給出了線性（p，q）-差分方程非局部問題的Lyapunov不等式，豐富了（p，q）-差分方程的可解性理論，為差分方程在李群、超幾何級數、空氣動力學、控制理論等領域的應用提供了理論參考。在未來的研究中，將利用分叉理論、臨界點理論、變分法等方法，深入探討雙參數（或分數階雙參數）量子差分方程的可解性及其應用。

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