多導體傳輸線串擾概率分布計算方法

高 樂， 于全毅， 魏慶麗， 刁 庶

（吉林大學儀器科學與電氣工程學院，長春130061）

0 引 言

實驗設備中存在大量可視為多導體傳輸線（multiconductor transmission lines，MTLs）的平行多導線、微帶線等，隨著實驗設備的大量使用，近年來實驗設備中傳輸線的電磁兼容問題越來越受到研究人員的重視，其中串擾是多導體傳輸線之間由于電磁相互作用而產生的電磁干擾，嚴重時會影響設備的正常工作。針對多導體傳輸線的電磁兼容問題，Antonini等［1］、Paul［2］在多導體傳輸線理論的創建和完善方面做出了杰出的貢獻。Tesche等［3］基于電磁結構分析提出了Beam-Liu-Tesche（BLT）方程，實現了對傳輸線的終端響應分析。針對多導體傳輸線串擾的不確定性問題，傳統的蒙特卡洛法［4-6］已經實現了對傳輸線串擾的概率分布預測，但是蒙特卡洛法（Monte Carlo，MC）的計算成本十分昂貴。為了解決這一問題，Larbi等［7］采用可靠度法對多導體傳輸線的失效概率與靈敏度進行了分析。Fei等［8］結合隨機降階法對多導體傳輸線串擾的不確定性進行了量化分析。另外還有最大熵法［9］、隨機配置法［10］和干涉式混沌多項式法［11］等其他統計學方法成功應用于傳輸線電磁耦合的不確定性問題分析。

本文提出采用非干涉式的廣義混沌多項式展開法計算實驗設備中傳輸線串擾響應的概率密度函數，廣義混沌多項式展開法能夠有效地建立代理模型，基于代理模型對多導體傳輸線串擾的相關統計參數進行計算，并高效準確地得到多導體傳輸線串擾概率分布函數。

1 廣義混沌多項式展開法（Generalized Polynomial Chaos Expansions Method，gPCE）

Wiener［12］最早提出了混沌多項式理論，并基于Hermite正交多項式構建了混沌多項式，最初的混沌多項式中的變量均服從于正態分布，當輸入變量不服從正態分布時，Wiener混沌多項式的計算速度較慢，且計算得到的結果也不夠準確。Xiu等［13-14］通過Askey方案將輸入變量的分布類型推廣至更多傳統的分布類型，相較于最初的混沌多項式，該方法能夠有效地應用于其他分布類型，得到了應用范圍更加廣泛的廣義混沌多項式。非干涉式的廣義混沌多項式能夠將模型視為黑箱，僅需關注輸入變量與輸出變量間的映射關系，不需要對黑箱內部的函數關系進行改動，因此得到了廣泛的應用。

令原始模型Y＝y()ξ，采用gPCE對該模型進行展開：

式中：Φi()ξ為各個隨機變量所對應的一維標準正交多項式基函數的乘積；ci為各個展開項Φi()ξ的系數。

當采用廣義混沌多項式法對模型進行展開計算時，混沌多項式的項數是無窮的，為保證計算準確度與計算效率，應當人為的設定一個適當的截斷階數，將展開式中多項式的最高階數設置為P，減少混沌多項式展開項的項數。因此令截斷階數為P，截斷后的gPCE模型為：

令P階截斷后的混沌多項式的項數為Q，Q隨著截斷階數P與輸入變量維度d的增加而增長：

當構建好混沌多項式展開模型后，可以采用不同的計算方法對展開后的多項式的系數進行計算，在計算非干涉式混沌多項式時比較常用的方法為回歸法。本文采用回歸法中的隨機響應面法對展開項的系數進行計算。

隨機響應面法首先需要在標準隨機空間中選取有效的N個樣本點，式中S為被標記的量為樣本點。常用的采樣方案為Sobol采樣與拉丁超立方采樣以及蒙特卡洛采樣，Hosder等［15］認為采用兩倍于多項式項數的過采樣方案即可達到滿意的計算準確度。本文采用拉丁超立方采樣方案。

進行采樣后將標準隨機變量空間ξ中轉換至原隨機空間X，得到原隨機變量空間中的樣本點：XS＝，在X空間中調用原函數的響應模型g()

X，計算得到樣本空間X中的函數響應值為

采用最小二次回歸法對多項式的系數進行估算。令多項式系數向量為將樣本空間ξ與相應的函數響應值G分別代入式（2），可以得到

式中：

根據線性最小二次回歸法對多項式的系數進行求解，可以得到：

計算得到多項式系數后，即可通過蒙特卡洛法對廣義混沌多項式代理模型的相關統計參數進行計算，其中模型響應的平均值μ與標準差σ為：

2 數值算例

結合上一節中介紹的非干涉gPCE對多導體傳輸線串擾的數值算例進行計算，多導體傳輸線串擾模型如圖1（a）、（b）所示。

圖1 以地面為參考導體的傳輸線結構

該模型是典型的多導體傳輸線模型，由參考導體與傳輸線組成，其中參考導體為無限大的地面，傳輸線均為無耗均勻傳輸線，其中傳輸線a上帶有激勵源Es，且Es＝1 V。圖中：d為兩根傳輸線之間的橫向距離；h1、h2分別為兩根傳輸線距離地面的高度；R為傳輸線兩端的負載阻抗；r為傳輸線的半徑。為了方便進行仿真計算，令2根傳輸線的半徑相等，并且傳輸線的遠端與近端的端接阻抗也相同，均為50 Ω。

在實驗設備的生產與加工中，設備中的傳輸線的捆扎與布置具有一定的隨機性，導致上述的傳輸線對地高度h1、h2、傳輸線之間的橫向距離d以及傳輸線的半徑r具有不確定性，可能導致系統的電磁兼容性出現嚴重的問題，結合第1節中介紹的非干涉gPCE建立多導體傳輸線串擾的代理模型并對相關的統計參數進行計算。針對實驗設備中傳輸線可能存在的不確定性，本文將上述的傳輸線對地高度h1、h2、傳輸線之間的橫向距離d以及傳輸線的半徑r 4個變量設為隨機輸入變量，即變量維度n＝4，并令不同的變量服從對應的隨機分布：h1、h2服從服從服從N（0.4 mm，0.1 mm）。

以傳輸線b的遠端感應電流i2為例，采用非干涉gPCE建立圖中多導體傳輸線串擾的代理模型，對i2的相關統計參數進行計算。本文采用采樣點數為400的拉丁超立方采樣法。在采用gPCE進行計算時，模型的計算準確度與計算成本也會隨著截斷階數P的增加而增加。為了平衡計算準確度與計算效率之間的關系，需要選取合適的混沌多項式的截斷階數P，因此本文將選取部分截斷階數與MC的計算結果進行對比。接下來分別令截斷階數P為2、4以及6，對多導體傳輸線串擾的均值與標準差進行計算。將傳輸線所處的入射場的頻率范圍設置為10 MHz～1 GHz，將不同截斷階數P情況下gPCE的計算結果與傳統的MC法進行對比，MC的仿真次數為20 000次。對比結果如圖2（a）、（b）所示。

圖2 感應電流i2平均值與標準差對比

由圖2可見，對于傳輸線b的遠端感應電流i2的平均值與標準差計算結果來說，當多項式的截斷階數P＝2時，gPCE的計算結果與20 000次蒙特卡洛法的計算結果基本一致，并且隨著截斷階數P的增加，兩種方法之間的計算結果并沒有明顯的差異，說明當截斷階數P＝2時，gPCE的計算結果便達到了傳統的MC法的計算準確度，在接下來的計算分析中，將截斷階數P設置為2。

在計算得到10 MHz～1 GHz頻段中i2的平均值與標準差之后，針對該頻段中50、200以及800 MHz 3個頻點處i2的概率密度函數進行計算，同上文中一樣，將計算結果與傳統的MC法進行對比，對比結果如圖3所示。由圖3可見，利用gPCE計算得到的不同頻點處的概率密度函數與MC的計算結果基本一致，并且同時對比不同頻點處的計算時間，見表1。

表1 不同頻點處2種方法計算時間對比

圖3 不同頻點處感應電流i2概率分布函數對比

由此可見，gPCE不僅能夠有效地計算得到多導體傳輸線串擾的概率密度函數，并且相較于20 000次MC，gPCE所需要的計算時間更少，大幅提高了計算效率。同理，多導體傳輸線串擾各個頻點上的概率分布都可以通過上述的方法得到，并且在10 MHz～1 GHz區間，[μ＋3σ，μ－3σ]也可以作為串擾響應值的上下限，如圖4中的紅色曲線所示。

由圖4可見，MC法仿真得到的曲線大部分都包含在[μ＋3σ，μ－3σ]中，證明[μ＋3σ，μ－3σ]能夠有效地作為串擾響應值的上下限。通過上述計算分析，證明本文所采用的非干涉gPCE能夠準確、高效地計算多導體傳輸線串擾不確定性問題中涉及到的相關統計參數，如串擾感應電流（感應電壓）的平均值、標準差與概率分布函數，在工程應用中，可以結合本文所用方法，對實驗設備中的傳輸線位置進行合理的設計或調整，盡量減少實驗設備中傳輸線發生的電磁兼容現象。

圖4 感應電流i2變化范圍

3 結 語

本文采用非干涉gPCE法對多導體傳輸線串擾的不確定性進行了研究，并得到了準確的串擾的相關統計特征參數，驗證了非干涉gPCE的有效性。針對傳輸線對地高度h1、h2，傳輸線間的橫向距離d以及傳輸線半徑r等隨機輸入變量，建立傳輸線串擾的代理模型，并利用代理模型計算得到頻段10 MHz～1 GHz中感應電流的均值與標準差等統計參數，同時也計算得到不同頻點處的串擾概率分布情況。通過與傳統的MC對比可知，本文采用的方法能夠達到MC的計算準確度，并且明顯縮短了計算時間，證明本文提出方法在多導體傳輸線串擾概率分布計算方面是正確、高效的。