軌道長波不平順半測回法測量精度的研究(Ⅱ)

熊麗娟，朱 嫣,朱洪濤，王志勇，吳維軍，魏 暉

(1.南昌航空大學 航空制造工程學院，江西 南昌 330063；2.南昌大學 機電工程學院，江西 南昌 330031；3.南昌航空大學 飛行器工程學院，江西 南昌 330063；4.江西科技學院 智能工程學院，江西 南昌 330098)

我國鐵路近年來不斷提速，對軌道質(zhì)量提出了更高的要求。而軌道長波不平順是高速鐵路軌道質(zhì)量狀態(tài)的重要評價指標之一，也是影響列車運行安全與乘客舒適性的主要因素之一[1-2]。因此，鐵路提速意味著軌道長波不平順的檢測精度需要進一步提高。

本文繼《軌道長波不平順半測回法測量精度的研究(Ⅰ)》一文之后，進一步探討在半測回法(即在所測線路上只推行軌檢儀一遍)[3]中如何測取軌檢儀的實時姿態(tài)進行地球自轉(zhuǎn)補償，以克服按設(shè)計數(shù)據(jù)做地球自轉(zhuǎn)補償?shù)木窒藓瓦M一步提高半測回法長波測量的精度。

現(xiàn)將上篇文章中相關(guān)部分重申如下：

① 軌檢儀(圖1)上的高低光纖陀螺儀(FOG)測得的地球自轉(zhuǎn)分量為

圖1 軌檢儀示意

Zve=Ω[cosB(sinΘsinφcosA-cosΘsinA)-

sinBsinΘcosφ]

(1)

式中:Ω為地球自轉(zhuǎn)角速度，Ω=7.292 115×10-5rad/s[4]；B為軌檢儀所處位置的緯度；A為軌檢儀所處位置順里程方向的真方位角；φ為軌道坡度角；Θ為超高傾角。A、φ、Θ即為軌檢儀姿態(tài)角，見圖2。圖2中，坐標軸下標n代表當?shù)氐乩碜鴺讼担磳?dǎo)航坐標系，下標b代表載體坐標系。

圖2 軌檢儀姿態(tài)示意

② 軌檢儀軌向FOG測得的地球自轉(zhuǎn)分量為

Zhe=Ω[cosB(sinΘsinA+cosΘsinφcosA)-

sinBcosΘcosφ]

(2)

③ 軌檢儀在第i個測點處高低FOG和軌向FOG的地球自轉(zhuǎn)補償模型可表達為

(3)

式中:ωvi為高低FOG修正值；ωvi_m為高低FOG直接測得值；Zv0_m為高低FOG在軌檢儀推行起點處測得的零偏；Zve0為高低FOG在軌檢儀推行起點處的地球自轉(zhuǎn)分量，按式(1)計算；Zvei為高低FOG在第i個測點處的地球自轉(zhuǎn)分量，按式(1)計算；下標首字符為h的量代表軌向FOG的相應(yīng)值，軌向FOG在起點和第i個測點處的地球自轉(zhuǎn)分量按式(2)計算。

1 使用實時姿態(tài)角增量解算長波

因為要使用實時姿態(tài)角進行地球自轉(zhuǎn)補償，所以先計算軌檢儀姿態(tài)角——真方位角、坡度角和超高傾角[3]，而相鄰測點間的真方位角增量與坡度角增量恰為相鄰測點間軌道平面曲線轉(zhuǎn)角與豎曲線轉(zhuǎn)角，這有利于長波數(shù)據(jù)的精確計算。

在相對測量中，無論短波還是長波，其不平順都是與軌道平面曲線或豎曲線上的設(shè)計弦測值比較所得，因此其長短波的計算都理應(yīng)基于軌道平面曲線或豎曲線轉(zhuǎn)角而作。但由于鐵路上多數(shù)軌道平面都近似呈水平狀態(tài)，故現(xiàn)行的相對測量往往直接將軌向FOG和高低FOG在相鄰測點間輸出的角速度積分作為軌道平面曲線和豎曲線上的轉(zhuǎn)角進行長短波計算，至多因考慮“高低與軌向之間相互影響”再做一次修正。這種近似對短波數(shù)據(jù)影響不大，但對長波影響較為明顯。因為在10～20 m的線路范圍內(nèi)，F(xiàn)OG敏感軸的方向確實沒有多大變化，但在70 m甚至120 m范圍內(nèi)，情況就相當不一樣了。而且，短波精確與否的比照值常常是手工拉弦測量值，并非軌道水平面投影曲線的弦測值，這就使短波測量上的誤差更不易被發(fā)現(xiàn)。相比之下，長波難以進行手工拉弦測量比對，且一旦出錯便會與設(shè)計值相去甚遠，這才使得其測量問題更易被發(fā)現(xiàn)。

軌檢儀推行過程中，其軌向和高低兩個FOG的敏感軸方向?qū)嶋H一直在變化。將不同方向的角速度積分疊加，所得量雖具有角度量綱，但一般情況下并無明確物理意義[5]。

如圖3所示，當軌檢儀在圓曲線上勻速推行時，其軌道面是一個圓錐面；如果這一段線路上坡度為零，該軌道中線即在水平面上，其豎曲線將是水平線，左右軌高低值均應(yīng)為零。此時，只有高低FOG測出的角速度為零，現(xiàn)行的相對測量才會得出高低為零的正確結(jié)果；但很明顯，高低FOG輸出的角速度不會為零，而是ω高低。如此，現(xiàn)行相對測量方法所測得的每小段豎曲線轉(zhuǎn)角將為一非零恒定值，其描繪的豎曲線將是一條圓曲線，而根據(jù)該轉(zhuǎn)角所求得的長波高低值更加不會是零。這一切顯然與實際相差甚遠。

圖3 軌檢儀圓曲線上勻速推行示意

由上述分析可知，欲獲得精確的長波測量值，必須使用姿態(tài)角增量求解，即用真方位角增量求長波軌向、坡度角增量求長波高低，而不能僅使用軌向、高低FOG的直接積分值近似。這樣看來，若能測取軌檢儀的實時姿態(tài)角，則不僅可用于補償?shù)厍蜃赞D(zhuǎn)，其增量還能進行更準確的“以小推大”長波計算，可謂一舉兩得。

2 軌檢儀姿態(tài)角的測算方法

通常姿態(tài)角的求解至少需要測量載體三個維度上的角速度，比如圖1中軌檢儀在xb、yb、zb三個方向上的角速度。但本文的硬件試驗基礎(chǔ)，即江西日月明GJY-T-EBJ-3型軌檢儀僅在yb和zb兩方向配有FOG，在xb向并無FOG測量角速度。但該軌檢儀姿態(tài)角中的超高傾角系由其傾角傳感器直接測得。因此，由兩個FOG加上已知的超高傾角求解真方位角和坡度角是有可能的。

2.1 求解xb向角速度積分μx

GJY-T-EBJ-3型軌檢儀做相對測量時，相鄰測點間距為0.125 m。對于鐵路長波測量而言，這一采樣間距已經(jīng)足夠小，使得每0.125 m上的軌檢儀角速度可視作常數(shù)。相鄰測點間yb和zb方向的角速度積分系由高低陀螺積分小板和軌向陀螺積分小板直接輸出，分別將其記為μy和μz，即

μy=ωvΔtμz=ωhΔt

(4)

2.1.1 對地角速度積分與歐拉角間關(guān)系

假設(shè)軌檢儀從位置b0到b1走了0.125 m，偏航角為α1、俯仰角為β1、橫滾角為γ1，那么固結(jié)在軌檢儀上的載體坐標系從b1狀態(tài)到b0狀態(tài)的坐標變換矩陣為

(5)

因為從b0到b1是非常小角度的轉(zhuǎn)動，所以將式(5)中的sinα1近似為α1、sinβ1近似為β1、sinγ1近似為γ1，而cosα1、cosβ1、cosγ1近似為1，再兼之忽略微小量之間的乘積，則式(5)簡化為

(6)

此歐拉角[α1β1γ1]T不是0.125 m上的角速度積分μ，但已知μ可求解該歐拉角。

(7)

式中:E隨時間t變化，可寫作E(t)，而[ωRωvωh]T在0.125 m路程對應(yīng)時間Δt內(nèi)可視為常數(shù)。假設(shè)軌檢儀在b0位置時為時間零點，則當t∈[0, Δt]時，式(7)可寫作常微分方程的一般形式

(8)

式中：函數(shù)f(E(t))即為式(7)第二個等號右邊部分。該微分方程的初始條件顯然是E(0)=[0 0 0]T，將其簡寫作E0。

采用四階Runge-Kutta經(jīng)典格式[6]求解式(8)，得

(9)

式中：E(Δt)為[α1β1γ1]T。

2.1.2 歐拉角與姿態(tài)角增量的關(guān)系

(10)

(11)

2.1.3 導(dǎo)出μx的計算公式

由上文可知，從軌檢儀上的高低FOG、軌向FOG和傾角傳感器可以測得μy、μz和γ1(即超高傾角增量ΔΘ)，那么根據(jù)式(9)中的第三行可解得

(12)

2.2 姿態(tài)角的一、二、三、四子樣旋轉(zhuǎn)矢量算法

2.2.1 姿態(tài)角計算方法概述

式(11)已經(jīng)給出一種姿態(tài)角計算方法，其隸屬于姿態(tài)角的四階Runge-Kutta算法，但因在公式推導(dǎo)過程中做了一些近似簡化，所以與準確的四階Runge-Kutta算法(以下簡稱RK4算法)相比，精度有所不如。

對于已知每0.125 m區(qū)間的角速度積分求解姿態(tài)角這一命題，使用旋轉(zhuǎn)矢量法要比使用RK4算法更為合宜。軌檢儀姿態(tài)角的具體解算方法見圖4，主要使用了四子樣旋轉(zhuǎn)矢量優(yōu)化算法(簡寫作RV4)，個別地方還使用了單子樣(簡寫作RV1)、雙子樣(簡寫作RV2)和三子樣旋轉(zhuǎn)矢量優(yōu)化算法(簡寫作RV3)。前3個測點由于不具備四個子樣，無法使用RV4算法，故分別使用RV1、RV2和RV3算法；第4個測點之后則全部使用RV4算法迭代求解。雖然此處RV1、RV2、RV3算法的更新間隔較RV4算法短，但計算精度并沒有0.5 m更新一次的RV4算法精度高[7]。

圖4 各測點姿態(tài)角算法示意

目前，多子樣旋轉(zhuǎn)矢量姿態(tài)算法方面的文獻有很多，除了四子樣經(jīng)典優(yōu)化算法，還有五子樣[8]、六子樣[9]甚至八子樣優(yōu)化算法[10]。但通過試驗比較發(fā)現(xiàn)，五子樣、六子樣的優(yōu)化算法在長波測量中的使用效果并不比經(jīng)典RV4算法更好[11]，故此處依然主要使用RV4算法。

2.2.2 一、二、三、四子樣旋轉(zhuǎn)矢量算法

將第 (i-1) 個測點到第i個測點的角速度積分用μi(i=1, 2, 3, …)表示，第 (i-4) 個測點到第i個測點的四子樣旋轉(zhuǎn)矢量用ψi(i=4, 5, 6, …)表示，則其計算公式如下：

(13)

第0到1個測點的單子樣旋轉(zhuǎn)矢量ψ1不需要另外計算，即為角速度積分值μ1。

第0到第2個測點的二子樣旋轉(zhuǎn)矢量用ψ2表示，其計算公式為

ψ2=μ1+μ2+2·(μ1×μ2)/3

(14)

第0到第3個測點的三子樣旋轉(zhuǎn)矢量用ψ3表示，其計算公式為

ψ3=μ1+μ2+μ3+9·(μ1×μ3)/20+

27·[μ2×(μ3-μ1)]/40

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

2.3 實時姿態(tài)解算與地球自轉(zhuǎn)補償?shù)娜诤?/h3>

實時姿態(tài)角的解算既是為獲得姿態(tài)角增量計算長波，也是為了根據(jù)實際姿態(tài)補償?shù)厍蜃赞D(zhuǎn)，提高長波測量精度；也唯有正確補償了地球自轉(zhuǎn)，所求得的姿態(tài)角才會準確。因此，實時姿態(tài)解算與地球自轉(zhuǎn)補償之間需要融合起來，相互為用。

圖5是實現(xiàn)兩者融合算法的主要流程。圖中六邊形框內(nèi)是車載全站儀、上、下位機之間傳輸?shù)臄?shù)據(jù)，最左列方框內(nèi)進程全在下位機中實現(xiàn)，起點姿態(tài)角與緯度由免置平車載全站儀測得[13-14]，其余方框內(nèi)進程在上位機中實現(xiàn)。加黑三角標記的方框提示所得數(shù)據(jù)為重要數(shù)據(jù)，測量過程中需保存。

完成圖5所示流程后，軌檢儀推過線路上各測點的姿態(tài)角就已知了，相鄰測點間的姿態(tài)角增量由前后姿態(tài)角直接相減得到。

圖5 實時姿態(tài)解算與地球自轉(zhuǎn)補償流程圖

3 試驗結(jié)果

文獻[3]的試驗是基于“高速鐵路線路實際線形一般與設(shè)計線形不會有太大出入”的假設(shè)，根據(jù)設(shè)計數(shù)據(jù)進行地球自轉(zhuǎn)補償，本文則根據(jù)實測軌檢儀姿態(tài)角和緯度進行地球自轉(zhuǎn)補償，并更理性地使用姿態(tài)角增量進行長波計算。現(xiàn)將前一方法稱作基于設(shè)計姿態(tài)補償?shù)陌霚y回法 (簡稱設(shè)補半測回法)，將后者稱為基于實時姿態(tài)補償?shù)陌霚y回法 (簡稱實補半測回法)。

3.1 狀況不良線路試驗結(jié)果

理論上，當實際線路與設(shè)計線形偏差較大時，設(shè)補半測回法對長波的測量精度較低，而實補半測回法精度則不受實際線路偏差大小的影響。現(xiàn)將這兩者以及原半測回法(即不補償?shù)厍蜃赞D(zhuǎn)的半測回法)共同應(yīng)用于一條狀況不良的普速線路——該試驗線路包含一完整的單曲線，曲線半徑800 m，曲線總長148 m，右轉(zhuǎn)7°1′ 7.44″，緩和曲線長50 m，超高75 mm，直緩點在0.025 km處。此線路的70 m長波設(shè)計值和按設(shè)計資料預(yù)測的長波順逆差見圖6。用原半測回法、設(shè)補半測回法和實補半測回法測得的長波順逆差見圖7。

圖6 狀況不良線路長波設(shè)計值與原半測回法順逆差預(yù)測值

圖7試驗結(jié)果系使用日月明公司的275號軌檢儀測量所得，該軌檢儀上FOG零漂指標為不大于0.3(°)/h (1σ)，其起點零漂測量程序使用的有效位數(shù)相對較少。對比圖7(a)與圖6(b)，發(fā)現(xiàn)雖然原半測回法的實測順逆差和預(yù)測順逆差趨勢基本相似，但數(shù)值上還是頗有差異。如果測量無誤，則說明鐵路實際線形偏離設(shè)計值較遠。

正如文獻[3]中所分析的那樣，當半測回法的順逆差較大時，也就意味著其測量誤差較大。因此對比圖7中原半測回法、設(shè)補、實補半測回法的長波順逆差，可以間接比較三種半測回法的長波測量精度。很明顯，實補半測回法的長波順逆差是三者中最小的，其高低差基本已在零線附近波動，而軌向差還是比較偏離零線，這很可能是FOG起點零偏測量精度偏低所致。

圖7 狀況不良線路三種半測回法之長波實測順逆差(275號)

改用8209號軌檢儀(其配置有零漂指標不大于 0.1(°)/h (1σ)的無骨FOG，且起點零偏測量中的有效位數(shù)增加)再在此普速線路上進行試驗，試驗結(jié)果見圖8。這次發(fā)現(xiàn)，8209號機原半測回法的長波順逆差與圖6的預(yù)測順逆差吻合度較高。比較圖7和圖8中的試驗結(jié)果可知，275號機使用原半測回法時所產(chǎn)生的較大順逆差應(yīng)是源于起點零偏和FOG測量精度均偏低的緣故。在這兩方面精度都有所提高的8209號機所測得的實補半測回法長波順逆差，如圖8(b)所示，其絕對值不超過1.25 mm、峰峰值不超過1.98 mm，比其原半測回法的順逆差(絕對值達3.71 mm)小了近2/3。可見實補半測回法的長波精度確實較先前提升很多。

圖8 狀況不良線路原半測回法和實補半測回法長波順逆差比較(8209號)

接下來使用8209號軌檢儀在此普速線路上用基于實時姿態(tài)的一測回法(即使用姿態(tài)角增量解算長波的一測回法)進行了多次試驗。由于一測回法基本消除了起點零偏測量誤差以及各測點的地球自轉(zhuǎn)零偏誤差，故取其70 m長波均值(見圖9)作為檢驗半測回法測量精度的相對真值。

圖9 狀況不良線路上基于實時姿態(tài)的一測回法70 m長波均值(8209號)

8209號軌檢儀使用原半測回法和實補半測回法所測得的長波誤差見圖10。由圖10(a)可知，原半測回法的高低誤差高達近40 mm，如此巨大的誤差主要應(yīng)是緣于原半測回法使用了FOG直接積分值而非姿態(tài)角增量進行長波計算。正如第1章中分析的那樣，將FOG直接積分近似為平面曲線或豎曲線轉(zhuǎn)角有可能在長波測量上引起明顯的粗大誤差。圖10(b)則表明，實補半測回法的長波測量誤差是非常小的，無論順里程還是逆里程推行，其最大誤差都未超過1.11 mm，實現(xiàn)了比現(xiàn)有70 m長波Ⅰ級精度要求(允許誤差3 mm)更高的水準。

圖10 狀況不良線路原半測回法和實補半測回法長波誤差比較(8209號)

3.2 狀況良好線路試驗結(jié)果

文獻[3]給出了昆玉客運專線正線的JD2曲線段上原半測回法和設(shè)補半測回法的試驗結(jié)果。該線路屬新建成的有砟高速鐵路線路，與設(shè)計線形偏差較小，因此繼續(xù)使用實補半測回法在其上試驗，考察此方法在線形偏差較小線路上是否能比設(shè)補半測回法的精度高。

重申昆玉線試驗段曲線資料如下：曲線半徑4 504.548 m，曲線總長733.446 m，右轉(zhuǎn)7°2′ 22.5″，緩和曲線長180 m，超高45 mm，直緩點在42.904 727 km處。此次試驗所使用的依然是文獻[3]試驗用機(5168號軌檢儀)，其高低FOG零漂指標為不大于0.5(°)/h (1σ)，軌向FOG零漂指標為不大于0.2(°)/h (1σ)，下位機起點零偏測量的有效位數(shù)較少。

該線路上實補半測回法的長波順逆差見圖11，其發(fā)展趨勢與設(shè)補半測回法的基本一樣，整體偏離零線的值也基本一樣，但其高低差的振蕩幅值有所降低。仔細分析實補法和設(shè)補法的順逆差數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)實補法的高低順逆差絕對值和峰峰值相對設(shè)補法均有所降低，但其軌向順逆差只是峰峰值降低，絕對值卻稍有增加。究其原因，可能是軌檢儀起點零偏測量精度不夠，而每次測量時誤差又有所不同所致。

圖11 昆玉線實補半測回法長波順逆差(5168號)

昆玉線上使用基于實時姿態(tài)的一測回法所測得的70 m長波均值見圖12，以此作為相對真值檢驗原半測回法和設(shè)補、實補半測回法的精度。

圖12 昆玉線上基于實時姿態(tài)的一測回法70 m長波均值(5168號)

昆玉線上原半測回法和設(shè)補、實補半測回法所測得的長波誤差見圖13。圖13很好地表明，從原半測回法到設(shè)補法、再到實補法，其長波測量精度是逐步提升的。在此狀況良好線路上，原半測回法誤差顯然比狀況不良線路上的小了很多；當然，該誤差也有部分來自直接使用角速度積分求解長波，因此其大小與線路曲線半徑和超高亦有關(guān)。由圖13(c)可知，雖然所使用的5168號軌檢儀其高低FOG精度偏低、穩(wěn)定性不好，但如忽略長波高低在43.5 km附近的粗大誤差，實補法的順推或逆推長波誤差均基本維持在2 mm左右。而這2 mm的誤差，極大部分還是由起點零偏測量不準問題所引起。

圖13 昆玉線三種半測回法的長波誤差(5168號)

綜上所述，實補半測回法在補償?shù)厍蜃赞D(zhuǎn)和長波精確計算上的效果比設(shè)補半測回法更好，尤其在偏差較大的線路上。

4 結(jié)論

本文研究了在半測回法中如何測取軌檢儀實時姿態(tài)進行地球自轉(zhuǎn)補償?shù)膯栴}，并提出應(yīng)使用姿態(tài)角增量進行長波精確求解。

(1)闡明了現(xiàn)有相對測量中使用FOG角速度積分“以小推大”求解長短波可能帶來的問題，指出應(yīng)當使用方位角增量和坡度角增量求解長短波的軌向和高低。

(2)建立了在僅有高低和軌向FOG以及傾角傳感器條件下測算橫滾角速度積分進而求解姿態(tài)角的數(shù)學模型。

(3)提出了求解軌檢儀實時姿態(tài)角的一、二、三、四子樣旋轉(zhuǎn)矢量優(yōu)化算法。

(4)將軌檢儀實時姿態(tài)解算與FOG地球自轉(zhuǎn)實時補償有效融合，編寫了基于實時姿態(tài)補償?shù)陌霚y回法的軟硬件程序。

(5)分析三種半測回法——原半測回法、設(shè)補與實補半測回法在不同狀況線路上的試驗結(jié)果，證明實補半測回法的長波精度比前兩種方法高，比設(shè)補半測回法更能保證長波測量誤差在Ⅰ級精度允許范圍(3 mm)之內(nèi)，尤其是在線路線形偏差較大時。

(6)實補半測回法測量長波時，如要保證其Ⅰ級精度，需要使用零漂指標不大于0.3(°)/h (1σ)的FOG、示值誤差在0.1°以內(nèi)的傾角傳感器和確保FOG起點零偏測量過程中的有效位數(shù)。