基于有限元的靴軌系統動力學建模及參數影響規律研究

張 靜，左小紅，靳守杰，馮 超,劉志剛

(1.西南交通大學 機械工程學院， 四川 成都 610031； 2.西南交通大學 電氣工程學院，四川 成都 611756；3.廣州地鐵集團有限公司，廣東 廣州 510335；4.廣州地鐵設計研究院股份有限公司，廣東 廣州 510010)

集電靴-接觸軌供電系統(以下簡稱靴軌系統)以其使用壽命長、可靠性高、維修費用低等優點得到越來越廣泛的應用[1]。隨著城市軌道交通運行速度的不斷提升，集電靴與接觸軌的動力沖擊及靴軌系統的振動均會增大，將直接影響靴軌系統的使用壽命和供電穩定性。為使靴軌系統在運行時接觸力波動較小，取流更平穩，亟需考慮靴軌參數的合理匹配，開展靴軌動態性能研究。

集電靴屬于移動部件，接觸軌屬于固定設施，集電靴與接觸軌通過滑動接觸進行取流，因此可將靴軌系統等效為移動載荷作用于梁上的振動系統。文獻[2]采用ANSYS?軟件，分析梁在移動力下的振動響應，利用小波多分辨率，識別出單個和多個裂紋的位置。文獻[3]將移動質量的慣性作為附加的動態剛度矩陣，采用Wittrick-Williams方法，求解梁的響應特征。文獻[4-5]采用有限元法(Finite Element Method，FEM)，通過Newmark積分將控制方程轉化為動力學方程，求解繩索、歐拉梁和鐵木辛科梁的振動。文獻[6]采用模態疊加法，完成移動質量-梁系統固有頻率的求解。上述文獻的研究均將移動載荷視為力或者質點，但靴軌系統中的集電靴實際上是包含質量、剛度和阻尼的機構，而且也需要對靴軌系統間的接觸力完成求解。因此，可考慮靴軌系統的特殊結構，借鑒傳統移動載荷作用下梁的有限元建模思路，建立適合靴軌系統的有限元模型，分析靴軌系統在不同運行條件下的接觸特性。

對于靴軌系統，已有研究主要集中在對靴軌系統運行參數的測量方案設計和靴軌系統的建模兩方面。在測量方案設計方面，文獻[7]以武漢地鐵集電靴為研究對象，設計了集電靴動態接觸力的測量方案，并對集電靴進行力學分析，得出了應變片應變和靜態接觸力的關系式。文獻[8-12]設計了靴軌接觸力、滑靴位移和滑靴加速度等動力學參數的測量方案，基于試驗數據對靴軌動態性能進行了簡單的分析與評價。上述文獻的測量方案可為靴軌系統的分析和評價提供數據支持，但僅通過測量數據，難以分析靴軌系統動態運行時的接觸特性，因此，有必要結合有限元建模與現場實測數據分析靴軌系統的接觸特性。在靴軌系統建模方面，文獻[13-14]通過建立靴軌系統模型，對靴軌系統進行仿真研究，分析了不平順和車輛振動對靴軌受流穩定性的影響。文獻[15-16]對實際工程中的集電靴與接觸軌進行動態參數識別，得到了集電靴與接觸軌的有限元模型。文獻[17-18]針對集電靴和接觸軌端部彎頭進行建模，分析列車提速情況下集電靴振動特性的影響因素。以上文獻均將接觸軌視為剛體，未考慮接觸軌和絕緣支架的彈性形變對滑動接觸特性的影響。

本文采用虛位移原理，推導集電靴質量塊等效模型，根據應變能和動能相等，獲得接觸軌支撐結構的等效模型，考慮系統運動載荷的復雜邊界條件，采用ANSYS?有限元軟件，建立精確的靴軌系統耦合模型。通過對比仿真計算結果與廣州地鐵實測數據，驗證了靴軌系統有限元模型的正確性和有效性。最后，研究不同列車運行速度、接觸軌跨距、滑靴質量、支撐剛度、接觸剛度對靴軌動態接觸力的影響規律，為改善靴軌受流質量提供理論依據。

1 集電靴模型

以集電靴為研究對象，其主要包括滑靴、擺臂、彈簧、底座等組成部分。當集電靴工作時，滑靴貼合接觸軌下表面的不銹鋼滑行，隨著集電靴沿線路方向運行，集電靴的擺臂轉角將會發生微小的變化，造成靴軌接觸力的變化。由于集電靴安裝底座與機車轉向架固定連接，其橫向位移相比垂向較小，可忽略不計。故本文只考慮集電靴和接觸軌的垂向運動。集電靴結構如圖1所示。

圖1 集電靴結構示意圖

根據虛位移原理可得

( 1 )

式中：k為扭轉彈簧的剛度；c為扭轉彈簧的阻尼；Ib為擺臂的轉動慣量；m為擺臂的質量；M為滑靴的質量；θ為扭轉彈簧的轉角；u1為擺臂的豎向位移；u2為滑靴的豎向位移；Fc為靴軌之間的接觸力；F0為受電靴處于水平工作位置時，扭轉彈簧的初始抬升力。

由于θ比較小，可認為sinθ=θ，因此可得

( 2 )

式中：L1為擺臂質心到扭軸的距離；L2為滑靴質心到扭軸的距離；u1為擺臂的垂向位移；u2為滑靴的垂向位移；θ為擺臂相對初始位置的轉角，數值與扭轉彈簧轉角相等。其中，u1和u2的關系為

u1/u2=L1/L2

( 3 )

將式( 2 )和式( 3 )代入式( 1 )可得

( 4 )

由于δu20，因此有

( 5 )

由式( 5 )可以看出，集電靴是一個單自由度的彈簧-阻尼振子，因此，可以建立它的等效模型為一質量塊模型，如圖2所示。

圖2 集電靴等效模型

集電靴動力學方程為

( 6 )

式中：m1=m(L12/L22)+(Ib/L22)+M；c1=c/L22；k1=k/L22；us為集電靴在接觸點處的垂向位移。

2 接觸軌系統模型的建立

接觸軌系統主要由鋼鋁復合軌、支撐結構(絕緣支架和支架底座)、中間接頭和膨脹接頭等零部件組成。本文采用梁單元模擬鋼鋁復合軌，質點單元、彈簧單元和阻尼單元模擬支撐結構，質點單元模擬中間接頭和膨脹接頭，建立精確的接觸軌系統模型。

2.1 鋼鋁復合接觸軌模型

接觸軌的軸向(沿線路方向)尺寸遠小于橫向(垂直于軸線方向)尺寸，且受到集電靴的垂向作用力，從而產生彎曲變形，故選用梁單元建立接觸軌模型，其截面有限元模型如圖3所示。圖3中，鋼鋁復合接觸軌由兩種材料組成，藍色、紫色部分分別代表鋁合金和不銹鋼材料，不銹鋼帶直接與受流器進行接觸。

圖3 接觸軌截面有限元模型

2.2 接觸軌支撐結構模型

接觸軌支撐結構主要包括絕緣支架和支架底座兩部分，如圖4(a)所示。為簡化計算，本文僅考慮集電靴和接觸軌的相互作用，利用應變能等效原理和動能等效原理將接觸軌絕緣支架等效為含有集中質量的彈簧，支撐結構的力學模型如圖4(b)所示。

圖4 接觸軌支撐結構力學模型

其中，絕緣支架橫梁AB和立柱BC長度分別為l3和l2，支架底座CD長度為l1。絕緣支架橫梁的抗彎剛度為E3I3，截面面積為A3，線密度為ρ3；絕緣支架立柱的抗彎剛度為E2I2，截面面積為A2，線密度為ρ2；支架底座的抗彎剛度為E1I1，截面面積為A1，線密度為ρ1。

(1)絕緣支架等效剛度和等效質量

由文獻[8]，根據應變能相等原理和卡式定理，可得等效剛度kj為

( 7 )

根據動能等效定理，可得等效質量mj為

( 8 )

式中：k2、k3分別為E2I2、E3I3。

絕緣支架等效模型如圖5所示。

圖5 絕緣支架等效模型

(2)支架底座等效剛度和等效質量

采用懸臂梁模擬支架底座的模型。設懸臂梁的單位長度質量為ρ1，彈性模量為E1，截面慣性矩為I1，長度為l1。由懸臂梁撓度公式和等效剛度定義，可得懸臂梁端部的等效剛度為

( 9 )

式中：E1I1為懸臂梁抗彎剛度；l1為懸臂梁長度。

根據材料力學和振動力學可知，支架底座的等效質量為

不銹鋼陰極板自采用以來，被證明是一種可靠的陰極銅生產技術，陰極板在電解精煉中的使用壽命可超過15年，因此被認為是一種固定資產，而不是一種耗材，但由于使用年限及機械碰撞等綜合因素影響，陰極板的懸垂度將逐漸發生偏移[6-7]。

(10)

2.3 接觸軌系統模型

基于已建立的各種等效模型，將接觸軌的中間接頭和膨脹接頭等效成質點，建立的接觸軌力學模型如圖6所示。圖中，mz為中間接頭等效質量；mp為膨脹接頭等效質量；meq為絕緣支架和支架底座的等效質量；keq為絕緣支架和支架底座的等效剛度。

圖6 接觸軌力學模型

通過組裝相鄰梁單元、彈簧單元和質量單元，可得接觸軌的動力學方程為

(11)

3 靴軌系統耦合模型

3.1 靴軌耦合系統接觸模型

集電靴與接觸軌通過接觸力Fc進行耦合。本文選擇罰函數法，描述靴軌之間的耦合作用力，靴軌接觸力根據接觸剛度ks和滲透位移Δx=us-uc計算，如式(12)所示。圖7為接觸模型，假設接觸軌在接觸點處的垂向位移為uc，滑靴在接觸點處的垂向位移為us，若uc

圖7 接觸模型

圖8 靴軌耦合系統有限元仿真模型

圖9 靴軌耦合動力學模型

(12)

3.2 靴軌耦合系統計算過程

根據上述建立的集電靴模型和接觸軌模型，聯立式( 6 )和式(11)可得靴軌耦合動力學方程為

Mscxsc+Cscxsc+Kscxsc=Fsc

(13)

式中：Msc=diag(MC,m1)；Csc=diag(CC,c1)；Ksc=diag(KC，k1)；xsc=[uC,us]；Fsc為外力向量。

圖10為靴軌耦合模型的接觸力求解過程。在動態求解的每個時間步內，根據時間和列車運行速度計算接觸力在接觸軌上的作用點和大小，使用Newmark法求解靴軌耦合動力學方程，獲得接觸軌和集電靴的節點位移增量。其中接觸力的大小采用罰函數法，通過接觸軌接觸點的位移和集電靴滑靴的抬升進行計算。利用牛頓-拉夫遜法保證接觸力的精確度，直到Δu(t)小于收斂值才進入下一個時間步，并將接觸力輸出進行保存，同時更新集電靴的位置。

圖10 靴軌耦合系統接觸力求解流程

3.3 靴軌耦合模型的驗證

獲取廣州地鐵五號線從滘口到文沖上行路段之間的接觸軌不平順和接觸力的實測數據。地鐵接觸軌不平順波形如圖11所示，統計結果見表1，接觸力的實測數據見表2。

圖11 接觸軌不平順波形

表1 接觸軌不平順統計值 mm

表2 仿真結果和實測數據比較

由表2可以看出，速度為80 km/h時，接觸力仿真結果與實測數據存在差異，但誤差均在允許范圍內，說明本文建立的靴軌系統仿真模型是合理的。

4 靴軌系統的力學特性

4.1 不同結構參數的影響規律研究

為獲得穩定的受流質量，滑靴與接觸軌之間需存在一定的接觸力。當接觸力過小，接觸電阻變大，將產生較大的能耗和電熱，易造成滑靴與接觸軌的脫離，導致靴軌離線并產生電弧，造成靴軌接觸面的燒蝕；反之，接觸壓力過大，滑靴和接觸軌之間的磨耗將增大，縮短靴軌的使用壽命。因此，為提高靴軌系統受流質量，必須研究列車運行速度、接觸軌跨距、滑靴質量等參數對受流質量的影響。

(1)列車運行速度的影響

接觸軌跨距為5 m、跨數為20跨時，分析不同運行速度對靴軌接觸力運行狀態的影響，如圖12、圖13所示。

圖12 不同運行速度下靴軌接觸力波形

圖13 不同運行速度下接觸力變化

由圖12可知，在列車運行過程中，靴軌之間的接觸力以跨距為周期，接觸力的最大值均出現在定位點處，最小值出現在跨中，在40、80、120 km/h速度下這種現象更加明顯。此外，集電靴在0～120 km/h速度范圍內，接觸力最小值均大于0，未發生靴軌離線現象，集電靴和接觸軌之間的接觸狀態良好。

由圖13可知，隨著運行速度的提升，接觸力的波動總體上是增加的，但是在運行速度為40 km/h的情況下，接觸力的標準差、最大值和最小值出現了極值，這是由于在該運行速度下，跨距激勵頻率和集電靴的一階固有頻率接近，發生了共振現象。跨距激勵頻率可以表示為

(14)

式中：f為跨距激勵頻率，Hz；v為集電靴運行速度，km/h；l為跨距長度，m。

當集電靴運行速度為40 km/h時，接觸軌的跨距激勵頻率為2.22 Hz，而集電靴的固有頻率為2.25 Hz，兩者頻率非常接近，從而產生了共振現象。因此，在列車運行時，應該避免運行在共振速度下。

(2)接觸軌跨距的影響

傳統觀點認為集電靴的運行速度與接觸軌跨距有關。當速度較低時，可采用較大的跨距，反之，則采用較小的跨距。為了研究跨距的變化對靴軌系統動力特性的影響，在120 km/h運行速度下，分析不同跨距值時接觸力的變化趨勢，仿真結果如圖14所示。通過分析可知，跨距為3 m時，接觸力的標準差最小，動態受流質量最好；跨距為9 m時，動態受流質量明顯變差。

圖14 不同跨距下的靴軌接觸力波形圖

由圖15可知，隨著接觸軌跨距的增加，接觸力的標準差、最大值增加，最小值減小，當跨距增加到9 m時，最小值降低到零，說明靴軌離線，不滿足靴軌受流要求。當跨距大于5 m時，接觸力標準差、最大值曲線的斜率急劇增加，靴軌的動態性能急劇惡化。因此，接觸軌跨距的設置應小于8 m。

圖15 不同跨距下的接觸力變化圖

(3)滑靴質量的影響

在運行速度為120 km/h、跨距為5 m、跨數為20跨時，不同滑靴質量下靴軌接觸力曲線如圖16所示，接觸力的最大值、最小值、平均值以及標準差與滑靴質量的關系，如圖17所示。

圖16 不同滑靴質量下的接觸力曲線

圖17 滑靴質量影響下的接觸力變化

由圖16可以看出，隨著滑靴質量的增加，接觸力波動越來越劇烈。由圖17可知，在列車運行過程中，隨著滑靴質量的增加，接觸力的最大值和標準差逐漸增大，集電靴的振動越劇烈，受流質量變差。因此，在保證集電靴的結構滿足強度要求下，盡量使用密度小、導電率高的材料制造集電靴的擺臂及滑靴，從而減輕系統的振動劇烈程度，提高靴軌系統的受流質量。

(4)支撐結構剛度的影響

由于在線路施工過程中接觸軌與軌道之間不平行，需要調節支架底座的長度，使得接觸軌與軌道平行或接近平行，由此，會造成支撐結構的等效參數不同，需要研究支撐結構剛度對接觸力的影響。

在運行速度為120 km/h、跨距為5 m、跨數為20跨時，改變接觸軌支撐結構的等效剛度，研究不同剛度下的接觸力波動情況，接觸力最大值、最小值和標準差如圖18所示。

圖18 支撐剛度影響下的接觸力變化

由圖18可以看出，隨著支撐剛度的增加，接觸力的最大值、標準差和平均值均呈減小的趨勢，最小值呈增大的趨勢。最大值和標準差減小，最小值增大，這對改善靴軌受流是有利的。支撐剛度從1.0×105N/m增加到4.0×105N/m時，標準差從55 N下降到29 N；而支撐剛度從4.0×105N/m增加到3.0×107N/m時，標準差從29 N下降到15 N，雖然增加支撐剛度對靴軌受流質量有改善，但是當支撐剛度增加到4.0×105N/m時，繼續增加接觸剛度對提升受流質量影響不大。

(5)靴軌接觸剛度的影響

滑靴接觸面的粗糙度及滑靴和接觸軌本身的彈性決定了靴軌接觸剛度，列車在運行過程滑靴與接觸軌的滑動摩擦會改變滑靴接觸面的粗糙度[19]。所以，接觸剛度并不是一個定值，接觸剛度會隨著列車運行里程的改變而變化。因此，需要研究接觸剛度對靴軌受流質量的影響。

在其他條件不變，改變接觸剛度時，研究接觸力的最大值、最小值以及標準差與靴軌接觸剛度的對應關系，接觸力隨接觸剛度變化如圖19所示。

圖19 接觸剛度影響下的接觸力變化

由圖19可以看出，靴軌接觸剛度越大，接觸力的最大值越大，最小值越小，標準差越大；當接觸剛度在0.05ks(其中ks=1×106N/m)和1ks之間時，接觸剛度增大，接觸力標準差變化不大。

4.2 參數影響規律驗證

為驗證集電靴在不同運行速度下靴軌接觸力的變化規律，采用廣州地鐵五號線從滘口到文沖上行路段之間不同運行速度下的實測靴軌接觸力統計值，對本文所得規律進行驗證，見表3。

表3 不同速度下靴軌接觸力統計值

根據表3可得不同運行速度下的接觸力變化，如圖20所示。

圖20 不同運行速度下接觸力變化

由圖20可知，隨著運行速度的提升，接觸力的波動總體上是增加的，但是在運行速度40 km/h情況下，接觸力的標準差、最大值和最小值均出現了極值。此規律和文中數值仿真結果相吻合，只是實測數據的數值相比于仿真數值偏大，原因在于現場存在諸多干擾因素，導致靴軌接觸力偏大。

5 結論

本文以靴軌受流系統為研究對象，推導集電靴和接觸軌支撐結構的質量塊等效模型，采用罰函數接觸算法，考慮接觸軌的支撐結構、中間接頭和膨脹接頭等實際零部件，建立精確的靴軌耦合模型，通過仿真結果與廣州地鐵實測數據對比，驗證了靴軌模型的準確性和可靠性。在此基礎上，研究列車運行速度、接觸軌跨距、滑靴質量、支撐剛度等參數和靴軌接觸力之間的關系，得出以下結論：

(1)隨著列車運行速度的提升，靴軌受流系統的振動越來越劇烈。

(2)當運行速度為40 km/h時，跨距激勵頻率和集電靴的固有頻率非常接近，靴軌系統容易發生共振，此時容易造成集電靴的破壞，為避免集電靴的損壞，列車應避免長期處于共振速度狀態下運行。

(3)隨著接觸軌跨距的增加，受流質量逐漸變差，當跨距達到10 m時，靴軌之間多次出現離線。

(4)滑靴質量的增大和支撐剛度的減小都會惡化靴軌受流質量，選用質量較小的滑靴，剛度較大的支撐結構有利于靴軌受流。