用二重數學歸納法證明一個恒等式

劉天武

摘 要：主要探究一個階乘分解的恒等式，即k！=（-1）k（-1）i[Ci][k]（m-k+i）k，這表明階乘可以轉化為有限和的形式，我們利用二重數學歸納法來證明它。

關鍵詞：二重數學歸納法;恒等式;證明

一、二重數學歸納法

所謂二重數學歸納法（亦稱為參變歸納法）就是對其中一個用數學歸納法證明的過程中，再對另一個用數學歸納法證明。它可以作為教材中數學歸納法的進一步延伸。

二、恒等式的證明

定理 對任意固定的數m和正整數k，則成立如下公式

k！=（-1）k（-1）i[Ci][k]（m-k+i）k.

證明：容易知道，原不等式等價于證明

（-1）i[Ci][k]（m-k+i）k=（-1）kk！

?（-1）k-i[Ci][k]（m-i）k=（-1）kk！

?（-1）i[Ci][k][Cj][k]mj（-i）k-j=k！

?

（-1）k+i-j[Ci][k][Cj][k]ik-jmj=k！，

即證明（-1）k+i[Ci][k]ik+（-1）i[Ci][k]mk+

（-1）k+i-j[Ci][k][Cj][k]ik-jmj=k！.

由上式可知，mk的系數為零.

下面我們證明mj（1≤j≤k-1）的系數全為零，而常數項為k！，即證明

（-1）k+i-j[Ci][k][Cj][k]ik-j=0，（1）

（-1）k+i[Ci][k]ik=k！，（2）

先證明（1）式，在（1）中我們令k-j=t，則1≤t≤k-1，并且規定0a=0（a>0）.

則我們只需證明如（-1）i[Ci][k]it=0（1≤t≤k-1），先聲明，對于等式[Ck][n]=[Ck][n-1]+[Ck-1][n-1]，當k=n時，規定[Cn][n-1]=0.設f（k，t）=（-1）i[Ci][k]it，其中k，t均為正整數，且1≤t≤k-1，（k≥2）

（i）當k=2時，t只能為1，此時有f（2，1）=（-1）i[Ci][2]i=

-2+2=0.

當k=3時，t可能為1，亦可能為2.

若t=1，則有f（3，1）=（-1）i[Ci][3]i=0;

若t=2，則有f（3，2）=（-1）i[Ci][3]i2=0.

故f（k，t）=（-1）i[Ci][k]it，對k=2和3都成立.

（ii）當k=s時，若f（s，t）=（-1）i[Ci][s]it，對任意的1≤t≤s-1成立.

當k=s+1時，我們再對t作數學歸納法.

當t=1時，f（s+1，1）=（-1）i[Ci][s+1]i=（s+1）（-1）i[Ci-1][s]=

-（s+1）（-1）i[Ci][s]=0.

假設t=l時，f（s+1，l）=（-1）i[Ci][s+1]il=0成立.

當t=l+1時，

f（s+1，l+1）=（-1）i[Ci][s+1]il+1=（s+1）（-1）i[Ci-1][s]il

=（s+1）（-1）i（[Ci][s+1]-[Ci][s]）il=（s+1）（-1）i[Ci][s+1]il-

（s+1）（-1）i[Ci][s]il

=（s+1）f（s+1，l）-（s+1）（-1）i[Ci][s]il

=（s+1）f（s+1，l）-（s+1）f（s，l）=0.

因此f（k，t）=0對任意的正整數k，t，且1≤t≤k-1（k≥2）都成立，故（1）式得證.

再證明（2）式，對于（2）式，我們可以用普通的數學歸納法證明，

當k=1時，（-1）1+1C1111=1=1！.假設k-1時，

（-1）k-1+i[Ci][k-1]ik-1=（k-1）！成立.

當為k時，（-1）k+i[Ci][k]ik=k（-1）k+i+1[Ci][k-1]（i+1）k-1

=k（-1）k+i-1[Ci][k-1]（i+1）k-1

=k（-1）k+i+1[Ci][k-1]（i+1）k-1=k（-1）k+i-1[Ci][k-1]（[C0][k-1]ik-1+[C1][k-1]ik-2+…

+[Ck-2][k-1]i+[Ck-1][k-1]），

由恒等式（1），對于i的次數小于等于k-2且大于等于1的項全為零，最后一項為k（-1）k-1（-1）i[Ci][k-1]，亦為零，所以

（-1）k+i[Ci][k]ik=k（-1）k+i-1[Ci][k-1]ik-1=k（-1）k+i-1[Ci][k-1]ik-1

=k（k-1）！=k！.

故（2）式得證.這樣我們就證明了k！=（-1）k（-1）i[Ci][k]（m-k+i）k.