基于“金課”理念下高等數學的教學改革探索

譚雪梅

關鍵詞：金課;泰勒公式;極限

陳寶生部長在2018年召開的新時代中國高等學校本科教育工作會議上第一次提出“金課”，明確指出：大學生要有效“增負”，講有深度、有難度、有挑戰度的“金課”。高等數學作為各大高校理工類的公共必修課之一，在后續課程的學習及考研過程中占有重要的地位。高等數學這門課程的研究對象是函數，研究方法是極限，因此能夠熟練地掌握極限的計算方法顯得至關重要。泰勒公式內容比較抽象，形式也比較特殊，學生一般較難吃透泰勒公式的實質，更難掌握對此公式的靈活運用。因此，泰勒公式教學一直是高等數學教學過程及應用中的一個難點。為了使學生能夠更好地理解和運用泰勒公式求極限，本文結合作者多年教學經驗，旨在金課理念下以泰勒公式的教學及在求極限過程中的應用為例，探討高等數學課程的教學改革。

一、提出問題

在解決數學問題的過程中，我們總是要求學生用所學的已知的知識點來求未知的知識點，達到能夠將復雜的問題簡單化的目的。對函數的研究也是一樣，我們希望用簡單的函數來表示復雜的函數，在我們所學的函數中，多項式函數具有形式簡單，易于理解和易于計算等這些優點。因此文章首先給出泰勒公式研究的主要問題，是將復雜的函數如何用多項式近似的表示出來，水到渠成就成為我們著重考慮的問題，后續以及如何運用該公式來求極限，對于這些問題的回答，就是我們今天要介紹的泰勒公式。

二、解決問題

高等數學是大一新生的一門公共必修課程，大多數學生認知能力和邏輯思維能力都還停留在高中階段，他們在剛開始學習高等數學時，腦海中還沒有清晰的連續、逼近等概念。其實，利用多項式近似表示給定的某一函數的思想，在函數的連續和微分的學習中就有體現。

通過觀察圖形，我們可以得到，具有相同切線的多項式比只有交點的多項式逼近效果要好，也就是說一次多項式比零次多項式近似效果要好。那么自然地就會想到，多項式的次數越高，逼近函數的效果是否會越好？我們通過圖2來回答這個問題，此圖是利用多項式來逼近正弦函數的效果。

在這個圖形中，發現有一次，三次，五次及七次多項式，結論是在這些多項式中，用七次多項式來逼近正弦函數的效果更好。那么關鍵問題是如何求得這樣的多項式呢？于是引入泰勒中值定理如下：

定理：如果函數（x）在‰處具有n階導數，那么存在‰的一個鄰域，對于該鄰域內的任意x，有：

三、應用

利用泰勒公式來求極限時，大多數學生遇到的困難是不太確定函數展開的階數。我們需要注意極限的形式，然后根據題目的形式來確定泰勒公式展開的階數。這里，我將分成三種情況來舉例學習：

四、總結

在高等數學的學習中，解決數學問題往往需要有限、無限的相互轉換，在解決某些復雜數學問題時，往往是事半功倍的效果，這也對泰勒公式的存在具有重要意義。在實踐教學過程中，通過例子探討了泰勒公式在求極限時的應用，讓學生體會到了泰勒公式應用求極限的方便和實際性。