基于某葉型的任意中弧線葉型造型方法研究

劉才麗

（中國航發湖南動力機械研究所，中小型航空發動機葉輪機械湖南省重點實驗室，湖南株洲 412002）

為適應發動機高推重比的發展目標，壓氣機的級壓比和負荷不斷提高，高負荷風扇是一個重要的發展方向。高負荷風扇壓氣機的主要特點之一就是葉型負荷大，包括進口馬赫數高、葉型彎角大，常規葉型如雙圓弧、多圓弧葉型已很難適應新的要求。

任意中弧線葉型是高負荷風扇壓氣機采用的造型方法之一，國內外開展了一系列的設計研究工作。Frost G R等人開發出了任意中弧線葉型葉片造型程序[1]，該方法建立在通流計算的基礎上，根據流線曲率法氣動設計計算得到的氣流角，結合經驗的攻角、落后角來確定葉型的中弧線。再將厚度分布疊加到中弧線上，得到葉型的坐標。北航的桂幸民老師[2]對Frost G R等人的方法進行了適當的改進，使其能同時適用于軸流、斜流和離心壓氣機葉片的設計。

已有的任意中弧線造型方法均是基于通流計算的結果，利用通流計算的結果得到中弧線的表達式，通流計算程序非常復雜。由于任意中弧線葉型造型方法的唯一特點體現在中弧線面的形成上，它的中弧線由多段多項式構成，因此作者考慮利用已有的性能較好的葉型，對其中弧線進行數學變換，得到類似此葉型的任意中弧線葉型的中弧線公式。此方法不再需要進行通流計算，因而造型方法相對簡便。利用此方法可以進行已有葉型的改進設計研究。文中將以外文文獻給出的某兩級軸流風扇和某離心葉輪為例，進行任意中弧線葉型造型方法研究。

1.確定方法

1.1 設計思路

本文設計方法的總體思路是通過對已有某葉型的中弧線曲線進行數學變換，得到任意中弧線葉型中弧線的表達式；對原有的厚度曲線進行變換，得到任意中弧線葉型厚度分布表達式；再將厚度分布疊加到中弧線上，得到基元葉型的表達式。

對中弧線的變換主要是對中弧線直接求導，得到沿弦線各站位的幾何構造角分布。將幾何構造角代入到任意中弧線葉型中弧線表達式中，同時利用邊界條件，求出表達式中的未知系數，得到中弧線表達式。

對厚度曲線的變換主要是通過分析厚度曲線，得到最大厚度點的X坐標以及最大厚度值。再利用前后緣的半徑值，同時利用邊界條件，最終求得任意中弧線葉型厚度分布的表達式。

在早期的葉型設計中，葉型頭部幾乎全部采用圓形頭部的設計，經過長期的研究發現，橢圓形頭部比圓形頭部有更好的性能。因此，作者給出一種橢圓形頭部設計方法，并將此方法加入到任意中弧線葉型設計方法中，使得此任意中弧線葉型設計方法擁有更好的性能。

1.2 確定方法

由確定方案的思路可知，任意中弧線葉型設計方法主要包括3部分，分別是中弧線、厚度分布以及橢圓形頭部，下面將分別進行介紹。

1.2.1 中弧線

本文中所用的任意中弧線葉型采用多段四次多項式中弧線，四次多項式解析表達式如下：

每一段的方程有5個未知系數，因此需要5個邊界條件來確定這5個未知系數的值。首先，規定各中弧線段兩端的二階導數為零。

第一個中弧線段兩端的邊界條件如下：

第二個中弧線段兩端的邊界條件如下：

第三段，第四段……，都和第二段的邊界條件一致。

由公式（2）和公式（3）可知，公式（2）是公式（3）的特例，區別在于：第一段中y1=0是一個給定的值，而后面各段中的y1是由前面一段四次多項式計算出來的值。

公式中的x1、x2由設計者確定，北航的桂幸民[2]認為，生成任意中弧線葉型的時候，葉片的前緣和后緣必須有一個計算站，除此之外，葉片排的內部應該再另外加上4個計算站，所以，一般應有6個計算站。這里，采用桂幸民的方法，中弧線由6個計算站組成，即將葉片的中弧線等分成5段。

同時，設計者需在每段的首尾處給定正切值tanβk1和tanβk2，各個β值由對原有葉型的中弧線求導得來。

由于公式（2）是公式（3）特例，因此，這里只需對公式（3）求解即可。將邊界條件（3）帶入到方程（1）中求解，求解的結果如下：

從第一段開始，當求出本段多項式的系數a，b，c，d，e后，將系數帶回公式（1），求得本段末尾處的y值，并將這個值作為下一段的邊界條件。

1.2.2 厚度分布

本文中所用的任意中弧線葉型厚度分布采用兩段三次多項式樣條函數。第一段樣條函數用于定義前緣至最大厚度點，第二個樣條函數用于定義最大厚度點至尾緣。在相交點，兩方程的厚度、一階導數和二階導數值均相等。現在的壓氣機葉片一般都在高馬赫數工況下工作，最大厚度點一般都在50%弦長以后，為防止前緣處的厚度分布發生負曲率，令前緣處二階導數為零。前緣厚度等于前小圓半徑，尾緣厚度等于尾緣半徑。

兩段三次多項式厚度分布曲線，每段需要4個邊界條件來求解4個未知系數。每段給定的邊界條件如下：

第一段：

第二段：

注意，這里y代表基元葉型的半厚度，T代表最大厚度，參數z代表最大厚度點在中弧線上的位置。

第一段厚度分布曲線，用簡單的三次多項式來表示：

將邊界條件公式（5）代入到方程（7），4個未知系數解出如下：

并且可以求得當x=Z時：

對第二段厚度分布曲線，用另一個三次多項式表示如下：

將邊界條件公式（6）、（9）代入到方程（10），求得4個未知系數為：

因為兩段厚度分布曲線的方程均是三次多項式，所以，方程中有可能存在拐點。第一段厚度分布曲線，其中一個邊界條件是令前緣處的二階導數為零，所以，從前緣點到最大厚度點這一部分不存在拐點。對于第二段厚度分布曲線，存在一個最小值Z（最大厚度點位置），使得方程的拐點不出現在葉片表面上。給出Z最小為：

當前、后緣厚度相等時Zmin=0.5。隨著后緣同前緣厚度比的增加，Zmin也逐漸加大。

1.2.3 橢圓頭部

本文所用的任意中弧線葉型厚度分布采用橢圓形頭部設計。

如圖1所示，其中，O點是中弧線前緣點，直線F1F2是中弧線在前緣點的切線，線段de與直線F1F2垂直，將de方向作為橢圓的縱半軸，直線F1F2方向作為橢圓的長半軸。F1、F2是橢圓的兩個焦點。O點的坐標是（x0，y0）；葉片長半軸、短半軸a/b=const.

圖1 橢圓形頭部

直線F1F2與橫坐標的夾角為α。那么：

F1、F2的坐標為：

位于橢圓上任意一點M（x，y），由橢圓的定義可知，M點距兩個焦點的距離之和等于常數2a,所以有

約簡之后則有：

對一個單獨的變量x，這是一個一元二次方程mx2+nx+p=0，求解一元二次方程得到：

式（20）為最終求解得到的橢圓的表達式。

2.算例分析

利用以上介紹的任意中弧線葉型造型方法，對某兩級軸流風扇和某離心葉輪進行造型分析。

2.1 兩級軸流風扇

首先分析某兩級軸流風扇，造型對象為國外發表的某兩級風扇[3]。風扇的設計點流量為83.55kg/s，設計壓比2.8，設計點絕熱效率83.9%。風扇轉子葉片和靜子葉片均采用多圓弧葉型設計。

采用以上介紹的任意中弧線葉型造型方法，對此風扇再造型，最終得到的任意中弧線葉型再造型風扇如圖2所示。

圖2 任意中弧線葉型再造型風扇

用NUMECA軟件對其進行數值模擬。數值計算結果如表1所示，將數值計算結果與原風扇性能進行對比，結果如下。

表1 原風扇和任意中弧線再造型風扇性能對比

從表1可看出，任意中弧線葉型再造型風扇相比原風扇效率和裕度均有提高。

2.2 離心葉輪

為驗證此任意中弧線葉型造型方法同樣適用于離心葉輪，現對NASA報告[4]上給出的某低速離心葉輪進行造型分析。

最終得到的任意中弧線葉型再造型離心葉輪如圖3所示。

圖3 任意中弧線葉型再造型離心葉輪

用NUMECA軟件對其進行數值模擬。數值計算結果如表2所示，將數值計算結果與原始的離心葉輪性能進行對比，結果如下。

表2 離心葉輪和任意中弧線再造型葉輪性能對比

從表2可看出，任意中弧線葉型再造型離心葉輪相比原葉輪壓比和效率均有提高。

3.結論

本文提到的任意中弧線葉型造型方法適用于已知葉型數據的情況，工程上可以用于已有葉型數據的改進設計研究。由文中可知，這種造型方法對于軸流和離心壓氣機均適用，再造型葉片性能相比原葉片性能均有提高。給出的任意中弧線葉型造型方法，為更好地研究任意中弧線葉型的性能提供基礎。