RV減速器擺線針輪齒形參數對嚙合剛度的影響

張昕 于廣濱 亓士遠 李建偉

摘 要：為研究擺線針輪齒形參數對嚙合剛度的影響，基于Hertz理論構建了擺線針輪傳動副的嚙合剛度模型，對此模型進行理論計算與嚙合仿真分析，從而得到嚙合剛度隨時間變化的曲線，明確此方法的正確性。并結合提出的可行方法以及改變擺線針輪的重要參數，利用Workbench瞬態動力學分析模塊仿真后導入到Matlab軟件中，得到針齒半徑等重要參數對嚙合剛度的影響規律。結果表明：針齒半徑對嚙合剛度影響較小，而針齒與擺線輪的嚙合偏心距對擺線針輪嚙合剛度影響較大，在實際工程應用中需著重控制。

關鍵詞：RV減速器;Hertz理論;擺線針輪;偏心距;嚙合剛度

DOI：10.15938/j.jhust.2021.03.006

中圖分類號： TH132

文獻標志碼： A

文章編號： 1007-2683（2021）03-0038-07

Influence of Tooth Profile of Cycloidal Pin of RV Reducer

on Meshing Stiffness

ZHANG Xin， YU Guang-bin， QI Shi-yuan， LI Jian-wei

（School of Mechanical and Power Engineering， Harbin University of Science and Technology， Harbin 150080， China）

Abstract：In order to study the influence of the tooth shape parameters of the cycloidal pin on the meshing stiffness， the meshing stiffness model of the cycloidal pinion drive pair is constructed based on Hertz theory. The theoretical calculation and meshing simulation analysis of the model are carried out to obtain the meshing stiffness versus time curve. To clarify the correctness of this method， combined with the proposed feasible method and changing the important parameters of the cycloidal pin wheel， the Workbench transient dynamics module is simulated and imported into Matlab software to obtain the influence of important parameters such as the needle tooth radius on the meshing stiffness. The results show that the pin tooth radius has little effect on the meshing stiffness， and the meshing eccentricity of the pin gear and the cycloidal wheel has a great influence on the meshing pin gear stiffness， which needs to be controlled in practical engineering applications.

Keywords：RV reducer;Hertz theory;cycloidal pin;eccentric distance;meshing stiffness

0 引 言

如今“工業4.0”概念的提出，就意味著人類社會正在向智能化邁進，而用機器人工作代替人工成為智能化社會的代表，所以大力發展機器人的研發與生產就變得尤為重要。在機器人所有的部件中，RV（Rotary Vector）減速器為其核心部件。此種減速器采用漸開線齒輪傳動與擺線針輪行星傳動相結合的2K—V型傳動形式，具體結構如圖1所示。此減速器的主要特點為體積小、結構緊湊且傳動較大，現在已經廣泛的應用于智能機器人、航空航天領域中，用以實現機械運動的準確傳遞，完成精密復雜的工作。

RV減速器具有兩級減速結構，第一級是太陽輪和行星輪之間的變速，稱作正齒輪變速。第二級是擺線針輪擺動產生的緩慢旋轉變速，稱為差動齒輪

變速。其中，起到主要作用，同時也較為復雜的部分是第二級擺線輪減速傳動機構[1-2]，此部分對整體傳動精度影響較大，所以對此傳動部分進行深入研究是非常有必要的。擺線針輪的嚙合傳動作為一種多對齒傳動，其受力分析異常復雜，其屬于靜不定問題[3-5]。因此，如何精確得到輪齒對的嚙合剛度、進而確定各嚙合輪齒間的載荷分配問題成為了研究的關鍵，更是進行動力學分析和強度計算的基礎。

有關于齒輪嚙合剛度計算方法，已發表文獻中所涉及到的方法有材料力學法、石川法、有限元法以及彈性力學法和試驗法[6-7]，本文專門針對高重合度擺線針輪其齒形特點與傳動特性，考慮到真實過渡曲線以及齒形曲線，采用一種Hertz公式法求得擺線齒輪時變嚙合剛度。

本文首先利用三維建模軟件建立擺線針輪實體模型，轉換為通用格式后導入ANSYS中進行瞬態動力學仿真分析，驗證了與嚙合齒數相關公式及模型的正確性，而后著重研究了擺線針輪基本齒形參數改變對嚙合力和嚙合剛度的影響，繪制了不同參數擺線輪的嚙合力及嚙合剛度曲線，得到了基本齒形參數與嚙合力以及嚙合剛度的關系。

1 擺線輪齒廓方程與受力分析

1.1 擺線輪輪廓生成

與標準針齒嚙合，并且和針齒共軛且無嚙合間隙的擺線輪齒形，稱之為標準擺線輪齒形。選用擺線輪的幾何中心作為坐標原點，通過原點并與擺線輪齒槽對稱軸重合的軸線作為x軸，如圖2所示，得到擺線輪的標準齒形方程式為：

xe=[rp-rrpφ-1（K1，φ）]cos（1-iH）φ-

[e-K1rrpφ-1（K1，φ）]cosiHφ

ye=[rp-rrpφ-1（K1，φ）]sin（1-iH）φ+

[e-K1rrpφ-1（K1，φ）]siniHφ

式中：

rp為針齒分布圓半徑，mm;

rrp為針齒半徑，mm;

iH為擺線輪和針齒相對傳動比，

iH=zpzc;

zp為針齒數，個;

zc為擺線輪齒數，個;

φ為轉臂相對某一針齒中心矢徑的轉角，即嚙合相位角;

e為偏心距;mm;

K1為短幅系數，K1=ezprp。

在實際應用中，當擺線輪與針齒嚙合傳動時，為補償制造誤差，以及保持合理的側隙便于拆裝與保證潤滑，擺線輪與針輪齒之間必須要留有嚙合間隙。因此，實際應用的擺線輪不能采用標準齒形，必須進行修形，修形后的實際擺線輪比理論輪廓稍小一些。擺線輪常見的修形方法有等距修形法、移距修形法兩種或其組合[8]。

以上提到的兩種修形方法只需用rrp+Δrrp，rp-Δrp，代替標準齒廓方程中的rrp、rp，即可得到修形之后的擺線輪齒廓方程[9]：

xe=[rp+Δrp-（rrp+Δrrp）φ-1（K′1，φ）]

cos[（1-iH）φ-δ]-arp+Δrp[rp+Δrp-

zp（rrp+Δrrp）φ-1（K′1，φ）]cos（iHφ+δ）

ye=[rp+Δrp-（rrp+Δrrp）φ-1（K′1，φ）]

sin[（1-iH）φ-δ]-arp+Δrp[rp+Δrp-

zp（rrp+Δrrp）φ-1（K′1，φ）]sin（iHφ+δ）

式中K′1為有移距修形時齒形短幅系數。

K′1=ezprp+Δrp

其余符號含義與單位同上，但應當注意的是Δrp與Δrrp的值有正負之分，當以負值代入時，則為負移矩。修形之后的擺線輪三維輪廓曲面如圖3所示：

1.2 擺線針輪嚙合載荷分配模型

RV減速器中擺線針輪的運動狀況較為復雜：擺線輪安裝在曲柄軸上，當曲柄軸輸入扭矩時，曲柄軸帶動兩個擺線輪做圍繞針齒中心的運動，即為公轉運動。針齒與針齒殼固定連接，擺線輪與針齒相互接觸從而發生自轉，擺線輪既有自轉又隨曲柄軸做公轉，公轉角速度即為此RV減速器輸出角速度。針齒外殼由若干個針齒均勻分布在半徑為rp的圓周上，擺線輪齒的齒數比針齒數少一個，所以擺線針輪傳動為少齒差傳動的一種形式[10]，由此可建立如圖3所示的運動受力分析模型[11-13]：

由圖可知，擺線輪公轉轉動中心為Op，自轉轉動中心為Of，e為偏心距并且針齒受力為Fi，文[2]可知第i個針齒接觸作用力臂長為

li=OpP·sinφi1+K21-2K1cosφi（1）

2 擺線針輪嚙合接觸模型

2.1 HERTZ法求嚙合剛度原理

理論上，擺線針輪嚙合時是通過線接觸進行傳遞的[14]。考慮到彈性變形之后，其接觸位置的彈性變形實際是一個很小的面區域。對于擺線輪與針齒嚙合，可以假設接觸位置的兩彈性體變形為直線，如圖5所示，因此可以按Hertz公式進行計算。

abi=rzS3/2Ti+ρr，S=1+K′1-2K1cosφi，

Ti=Ki（1+zp）cosφi-（1-K21zp）

其中：ai為綜合曲率半徑;L為接觸變形區域長度的一半;F為接觸點所受的力;abi為擺線輪第i個接觸點處的當量曲率半徑;φi為嚙合相位角;rz為針齒中心圓半徑;zz為針齒數;ρz為針齒曲率半徑。由于擺線輪和針輪所用材料一致，故取：

μ1=μ2=μ=1=0.3

E1=E2=E=206Gpa

式中：μ1，μ2為擺線輪和針輪材料的泊松比;

E1，E2為擺線輪和針輪材料的彈性模量。

化簡式（1）得：

L=8Fiai（1-μ2）πbE（2）

其中，Fi為第i個接觸點所受的力。

由圖4可知接觸變形后，由勾股定理得針齒滿足：

（rz-tz）2+L2=r2z（3）

式中，tz為針齒的接觸變形量。

化簡得：

tz=rz-r2z-L2=L2rz+r2z-L2（4）

利用泰勒公式，又因L的大小遠小于tz，即忽略高階無窮小[15-16]，并把式（2）帶入，可得第i個針齒的徑向變形量tzi為：

tzi=4Fiai（1-μ2）πbErz（5）

由此得單個針齒的剛度

k1=Fitz=πbErz4ai（1-μ2）（6）

同理，第i個擺線輪齒的徑向變形量tbi為：

tbi=4Fiai（1-μ2）πbEabi（7）

則擺線輪齒的接觸剛度為：

k2=πbEabi4ai（1-μ2）（8）

當擺線針輪傳動單對齒嚙合時，綜合剛度k為擺線針輪齒法向接觸剛度與針齒法向接觸剛度的串聯形式，模型如圖6所示，

所以單齒對嚙合剛度為：

k=k1k2k1+k2（9）

把k1、k2代入并化簡：

k=πbERzS3/24（1-μ2）（RzS3/2+2rzT）（10）

2.2 擺線針輪嚙合剛度數學模型

擺線針輪傳動的特征之一就是重合度比較大，理論上可以達到針齒數的一半[17]。并且，由以上對擺線針輪的受力分析可知，整輪的嚙合剛度與同時參與嚙合的齒數有關，并且為角度的函數關系，所以要想得到擺線針輪的綜合剛度，不能簡單進行每個齒剛度的疊加。

此外，在傳動過程中考慮到各種誤差以及潤滑需要，都需要對擺線針輪進行等距修形或移距修形。因此，這也會引起初始嚙合側隙，使得同時嚙合的齒對數減少，達不到理論同時嚙合齒數[18]。初始的嚙合側隙為：

Δ（φ）=Δrrp1-sinφi1+K2-2Kcosφi-

Δrp（1-Kcosφi-1-K2sinφi）1+K2-2Kcosφi（11）

擺線針輪傳遞某一轉矩時，由于擺線輪與針齒發生接觸變形，當擺線輪轉過β角，在嚙合點法線方向的位移為

δ=liβ（12）

當擺線針輪被轉矩作用時，輪齒的變形曲線與初始間隙分布曲線交點之間的區間[φa，φb]就為實際參與嚙合的輪齒范圍，即同時嚙合的齒數為

z=lnt（Δφ/2πzp）（13）

式中

Δφ=φb-φa

與此同時還要考慮到齒輪加工誤差和裝配誤差等各種因素帶來的影響，所以在嚙合剛度公式中加入系數λ（λ一般取0.7），因此擺線針輪整輪等效扭轉剛度為

K=λ∑bi=akl2i（14）

式中，li為擺線輪第i點的力臂。

3 擺線針輪時變嚙合剛度有限元分析

3.1 擺線針輪三維模型建立

因擺線輪齒面是高階曲面，所以建立模型時必須應用數值計算得到擺線輪輪廓曲線[19-20]。本文應用SolidWorks三維建模軟件，根據擺線輪齒廓的標準齒形方程構建參數化實體模型，其中零件包括擺線輪2片、針齒40個、針齒殼1個、偏心軸2個。具體參數：針齒數40mm;針齒半徑3mm;擺線輪齒數39個;偏心距2.2mm;擺線輪齒寬16mm;短幅系數0.675。

此外，為了便于在后續ANSYS運算中簡便提高分析效率，使網格質量更高，所以本文在建模時忽略一些非重要因素，如忽略軸承的影響，以及刪除模型中較小的圓角和倒角，三維實體模型如圖7所示。

3.2 有限元結果與分析

添加齒輪的材料，具體參數如表1所示。

將三維實體模型導入Workbench中，應用Edge Sizing工具劃分網格，Method選擇Hex Dominant六面體優先。由于直接在擺線輪齒面上生成的網格質量不高，不利于結果分析，所以采用一種“點-線-面-體”的方法，建立輔助分割面，將實體劃分為六面體，以實現結構化六面體單元劃分。為了使結果盡可能的準確，在齒寬和齒厚方向上劃分較密集的網格，如圖8所示。

因此最后得到的網格節點數為765154，單元數為165658。為了簡化計算，將輸入軸定義為剛體，在進行分析時不考慮其變形情況。載荷為額定輸出載荷 3N·m，加載位置為針齒殼上，加載方式為將

轉矩轉化為圓周方向的力，并均攤到針齒殼的所有節點上。

除此此外，還要對擺線輪和針齒殼進行約束。把針齒殼和針齒看做一個整體，做軸向約束和徑向約束，擺線輪只做軸向約束，求解后的應力云圖如圖9所示。

待仿真完成后，將Workbench仿真數據導入到MATLAB中，得到嚙合位置與擺線針輪齒面受力及嚙合剛度關系曲線，如圖10、11所示。

由曲線趨勢可以看出，仿真所得的擺線輪嚙合剛度與在Matlab中編寫計算程序得到的理論分析法嚙合剛度基本趨勢一致，偏差較小，所以可以證明我們所建立的擺線針輪模型準確，仿真結果可信。

所以，為了更好的研究分析擺線針輪嚙合剛度問題，確定其剛度與自身尺寸以及外部環境之間的關系，基于之前的建模理論，我們繼續進行進一步研究。因為針齒分布圓半徑對嚙合剛度的影響較小，所以，我們只對偏心距與針齒半徑進行分析，其應力云圖及參數變化與剛度關系如圖所示。

4 結 論

通過對RV減速器第二級傳動機構的一系列分析，我們可以得到如下結論：

在實際嚙合過程中，擺線針輪機構一定要進行等距修形和移距修形，是擺線輪與針輪之間存在一定的間隙，并不是無縫嚙合，所以當計算嚙合剛度是要充分考慮初始間隙的影響。對擺線針輪的受力情況進行分析，并結合赫茲理論計算出所創建模型的嚙合剛度，再利用有限元仿真軟件求出其嚙合剛度與理論計算結果進行比較，驗證了其理論與仿真方法的正確性。改變對擺線針輪嚙合剛度影響較大因素的參數值，進行多次仿真分析并繪制剛度隨時間變化的曲線圖。基于擺線針輪基本齒形參數及嚙合力與嚙合剛度的關系，并結合圖14與圖15，不難得知偏心距對嚙合剛度影響較大，即合理控制偏心距，對擺線針輪嚙合傳動以及RV減速器整機的扭轉剛度起到關鍵作用。

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（編輯：王 萍）