隨機發生非線性與測量時滯的濾波算法設計

高勝 計東海

摘 要：針對一類具有隨機發生非線性和一步測量時滯的時變系統的濾波問題。通過引入服從伯努利分布的隨機序列，描述隨機發生非線性與一步測量時滯。與此同時，引入事件觸發傳輸機制且對所提出系統進行增廣構造出濾波器。從而提出一種具有一步測量時滯與隨機發生非線性的濾波算法。使同時存在一步測量時滯、噪聲和隨機發生非線性的情況下，可以采用放縮找到濾波誤差協方差矩陣的上界，并且通過設計濾波增益矩陣使得該上界的跡達到最小。最后，利用matlab算例仿真，驗證所提出濾波算法的真實性與實用性。

關鍵詞：時變離散系統;一步測量時滯;隨機發生非線性;濾波

DOI：10.15938/j.jhust.2021.03.024

中圖分類號： O231

文獻標志碼： A

文章編號： 1007-2683（2021）03-0160-07

Design on Filtering Algorithm with Random Nonlinearity

and One-step Measurement Delay

GAO Sheng， JI Dong-hai

（School of Science， Harbin University of Science Technology， Harbin 150080， China）

Abstract：This paper studies the filtering problem of a class of time-varying systems with random nonlinearity and one-step measurement delay. The random nonlinearity and one-step measurement delay are described by introducing the random sequences obeying Bernoulli distribution. At the same time， the event-triggered transmission mechanism is introduced and the proposed system is augmented to construct a filter. In this paper， a filtering algorithm with one-step measurement delay and random nonlinearity is proposed. When one-step measurement delay， noise and random nonlinearity exist at the same time， the upper bound of the covariance matrix of filtering error is found by scaling， and the trace of the upper bound is minimized by designing the filter gain matrix. Finally， the validity and practicability of the proposed filtering algorithm are verified by matlab simulation.

Keywords：discrete time-varying systems; one-step measurement delay; random nonlinearity; filter

0 引 言

作為現代控制理論的一個重要分支，卡爾曼濾波[1]得到了國內外專家學者的廣泛研究。卡爾曼濾波是一種算法，且該算法具有遞推形式。卡爾曼濾波算法的優點在于，其本身是一種遞推估計算法，不需要存儲所有的觀測信息，只需上一個估計時刻以及當前時刻的信息即可求出當前時刻的估計值，而且計算相對方便，存儲量也相對較小。但在實際工程中，傳統的卡爾曼濾波的缺點又是顯而易見的。如受外界因素的影響，我們并不能充分了解噪聲的統計特性，從而無法實現對卡爾曼濾波的最優估計;處于實際運動環境中，所建立模型與實際問題一般具有差異性。事實上，與日漸完善的線性系統相比，在實際環境中，系統往往是非線性的，并且有很多都是隨機發生的。文[2]研究了一類帶有隨機非線性與測量丟失的濾波問題。此外，考慮到隨機發生概率的不確定性，文[3]探討了不確定概率下帶有隨機非線性的狀態估計問題。帶有隨機發生非線性的系統的卡爾曼濾波問題也引起了廣泛的關注[4-8]。

在實際問題中，由于信息在傳輸過程中存在環境或技術因素的影響，必然會引發傳感器的時滯現象，影響網絡化控制系統的性能，在非線性系統中表現的更為突出[9]。文[10]敘述了時滯現象的不確定性，通過已知概率信息，處理了具有時變系統的漸進均方穩定問題。對于如何解決系統中的時滯現象已成為近年來學者們研究的熱點[11-15]。其中，文[15]為填補網絡延遲對系統的影響，采用了模糊邏輯調劑方法。文[16]為求解隨機有界時滯的狀態估計問題嘗試性地通過增廣的方式設計出了最小方差估計器。此外，文[17]考慮同時具有時滯與測量數據丟失的網絡控制系統，探究了非脆弱L1濾波問題。

當數據通過媒介進行交換和傳輸時，由于網絡帶寬資源受限，往往會發生各類的網絡誘導現象。為了減少網絡傳輸壓力，節省網絡帶寬資源，在實際網絡化傳輸系統中，往往會加入相應的傳輸協議，如Round-Robin協議[18-20]，Try-Once-Discard協議[21-23]等，本文中所考慮的是事件觸發傳輸協議。在以往的研究中，研究者們考慮的往往都是時間觸發協議，但是時間觸發協議不能充分利用有限的網絡資源，而且在進行數據傳輸時，數據中包含的新信息特別有限，對原本就有限的網絡資源造成了極大浪費。不同于時間觸發，事件觸發的基本思想是“按需分配”，只有在系統滿足一定的條件時，數據才會進行傳遞。本文引入事件觸發協議，可以有效地利用通信資源和維護系統穩定。其中為針對時變的網絡誘導時滯，保證系統的有界輸入-有界輸出穩定性，文[24]提出了基于事件觸發機制的控制策略。文[25]又通過基于事件觸發機制的自適應差分調制方法，比較有效地解決了在數據丟失情形下的控制問題。

鑒于上述討論，本文目的是提出一種魯棒濾波方法，用于傳感器網絡上具有時滯、測量噪聲和隨機發生非線性的離散時變系統。利用伯努利分布隨機變量，描述一步測量時滯與隨機發生非線性現象。本文主要貢獻如下：①研究測量時滯、測量噪聲以及隨機發生非線性同時存在的情況下離散時變系統，所考慮的模型更具一般性;②給出了具有隨機發生非線性的系統的濾波方法，通過求解兩個類黎卡提差分方程，得到了濾波誤差協方差上界，并且設計了適當的濾波器參數使上界的跡達到最小。

2 模型建立

考慮具有隨機發生非線性和傳感器隨機一步測量時滯的離散時變動態系統：

x→k+1=A→kx→k+αkf→（x→k）+B→kω→k

y→k=C→kx→k+ν→k

yk=λky→k+（1-λk）y→k-1（1）

其中：x→k代表k時刻系統的狀態向量;y→k代表系統的測量輸出;f→（x→k）為非線性函數;ω→k是均值為零方差為Q→k的過程噪聲;ν→k是均值為零方差為R→k的測量噪聲;A→k、B→k、C→k均為已知的系統矩陣;αk和λk均為服從伯努利分布的隨機變量，分別刻畫隨機發生的非線性與隨機發生的一步測量時滯，并假設其滿足以下條件：

Prob{αk=1}=E{αk}=α-k Prob{αk=0}=1-α-k

Prob{λk=1}=E{λk}=λ-k Prob{λk=0}=1-λ-k（2）

其中α-k和λ-k分別代表已知的發生概率。

假設：非線性函數f→（x→k）滿足如下的利普希茨條件：

‖f→（x→k）-f→（z→k）‖≤l‖x→k-z→k‖（3）

為了計算簡便，進入如下形式的增廣：

xk=x→kx→k-1，f（xk）=f→（x→k）0，I-=00I0，Ak=A→k000，Bk=B→k0，Ck=C→k00C→k-1，νk=ν→kν→k-1，

Υk=[λkI （1-λk）I]，ω→k=ωk

得到增廣后的離散時變系統模型：

xk+1=A-kxk+αkf（xk）+Bkωk

y-k=Υk（Ckxk+νk）（4）

其中A-k=（Ak+I-），增廣后的測量噪聲νk具有如下的統計特性：

E{νk}=0

E{νkνTl}=Rkδk-l+Rk，k+1δk-l-1+Rk，k+1δk-l+1

其中，

Rk=R→k00R→k-1，Rk，k-1=00R→k-10，Rk，k+1=0R→k00

令Qk為ωk的協方差，也就是說Qk=Q→k。

在網絡傳輸過程中，為了減少網絡傳輸壓力，節省網絡帶寬資源，通常會引入相應的通信協議。在本文中，引入如下形式的事件觸發傳輸機制：

（yk+l-ykt）T（yk+l-ykt）>θ（5）

式中ykt是最近事件觸發時刻的測量輸出，θ是已知的調節閾值，那么離散時變系統在k時刻的實際輸出如下所示：

y～k=ykt，k∈{ki，ki+1，…，ki+1-1}

其中y～k為k時刻的實際輸出值。

針對上述增廣系統，構造如下形式的濾波器：

k+1|k=A-kk|k+α-kf（k|k）

k+1|k+1=k+1|k+Kk+1（y～k+1-Υ-k+1Ck+1k+1|k）（6）

式中：k|k是xk在k時刻的狀態估計;k+1|k是xk在k時刻的一步預測;k+1|k+1是k+1時刻的狀態估計;Kk+1是k+1時刻的濾波增益矩陣，[λ-k+1I（1-λ-k+1）I]=Υ-k+1。

本文主要有以下兩個目的。第一，針對具有隨機發生非線性的離散時變系統（1）設計形如式（6）的濾波器，得到濾波誤差協方差矩陣的上界，即找到正定矩陣∑k+1|k+1滿足如下關系式：

E{（xk+1-k+1|k+1）（xk+1-k+1|k+1）T}≤∑k+1|k+1（7）

第二，通過設計適當的濾波器增益矩陣Kk+1使得濾波誤差協方差矩陣上界的跡tr（∑k+1|k+1）達到最小。

2 主要結論

首先，介紹如下引理：

引理1[26]對于適當維數的的矩陣M，N，X和H，有如下結果：

tr{XM}X=MT，tr{MXT}X=M，tr{MXN}X=MTNT

tr{MXTN}X=NM，tr{XMXT}X=2XM

tr{MXNXTH}X=MTNTXNT+HMXN

tr{（MXN）P（MXN）T}X=2MTMXNPNT

其中P是任意的對稱矩陣。

引理2[27]對于兩個實列向量a，b∈Rn，則下面的不等式成立：

abT+baT≤εaaT+ε-1bbT

其中ε是已知的正數。

根據式（4）、（6），可得一步預測誤差表達式如下：

k+1|k=A-k|k+k[f（xk）-f（k|k）]+kf（xk）+Bkωk（8）

式中k=αk-k。

同樣地，得到濾波誤差表達式：

k+1|k+1=（I-Kk+1Υ-k+1Ck+1）k+1/k+Kk+1（k+1-yk+1）+

Kk+1Υ～k+1Ck+1xk+1-Kk+1Υk+1νk+1（9）

其中Υ～k+1=Υk+1-Υ-k+1。

引理3增廣系統（4）的狀態協方差矩陣Xk+1=E{xk+1xTk+1}具有如下上界：

Xk+1≤（1+ε）A-kXkA-Tk+（1+ε-1）l2tr（X-k）I+BkQkBTk

：=X-k+1（10）

上式中ε是已知的正數。

證明：增廣系統（4）的狀態協方差矩陣Xk+1=E{xk+1xTk+1}可計算如下：

Xk+1=A-kXkA-k+kE{f（xk）fT（xk）}+BkQkBTk+Λ1+ΛT1（11）

其中Λ1=E{αkf（xk）xTkA-Tk}

應用引理2可得

Λ1+ΛT1≤εA-kXkA-Tk+ε-1kE{f（xk）fT（xk）}（12）

將上式代入到式（11）中，得

Xk+1≤（1+ε）A-kXkA-Tk+（1+ε-1）kE{f（xk）fT（xk）}+BkQkBTk（13）

根據不等式性質得到

f（xk）fΤ（xk）≤‖f（xk）‖2I=f（xk）fΤ（xk）I（14）

E{f（xk）fΤ（xk）}≤l2E{xkxΤk}=l2tr（Xk）I（15）

將上式代入式（13），得到增廣系統的狀態協方差上界表達式

Xk+1≤（1+ε）A-kXkA-Tk+（1+ε-1）l2tr（Xk）I+BkQkBTk（16）

定理1 一步預測誤差協方差矩陣Pk+1|k=E{k+1|kTk+1|k}的遞推表達式如下

Pk+1|k=A-kPk|kA-Tk+2kE{[f（xk）-f（

k|k）]×[f（xk）-f（k|k）T]}+

k（1-k）E{f（xk）fT（xk）}+BkQkBTk+Λ2+ΛT2（17）

其中，Λ2=E{k[f（xk）-f（k/k）]Tk|kA-Tk}，Pk|k=E{k|kTk|k}為濾波誤差協方差。

證明：根據一步預測誤差表達式（8），利用E{k}=0，E{ωk}=0，很容易推得式（8），從略。

定理2：濾波誤差協方差Pk+1|k+1=E{k+1|k+1×Tk+1|k+1}的遞推表達式如下：

Pk+1|k+1=（I-Kk+1Υ-k+1Ck+1）Pk+1|k（I-

Kk+1Υ-k+1Ck+1）T+Kk+1E{（k+1-yk+1）（k+1-

yk+1）T}KTk+1+

E{（Kk+1Υ～k+1Ck+1xk+1）（Kk+1Υ～k+1Ck+1xk+1）T}+

Kk+1E{Υk+1νk+1νTk+1Υk+1}KTk+1+Λ3+Λ4+ΛT3+ΛT4（18）

其中Λ3=E{（I-Kk+1Υ-k+1Ck+1）k+1|k（k+1-yk+1）TKTk+1}，

Λ4=E{Kk+1（k+1-yk+1）νTk+1ΥTk+1KTk+1}

證明：考慮到E{Υ～k}=0和E{νk}=0，并且根據濾波誤差表達式（9），定理2容易得出，故而證明從略。

定理3對于正數η，μ1，μ2，如果如下的類黎卡提差分方程：

∑k+1|k=（1+η）A-k∑k|kA-Tk+（1+

η-1）2kl2tr（∑k|k）I+

k（1-k）l2tr（X-k）I+BkQkBTk（19）

∑k+1|k+1=（1+μ1）（I-Kk+1Υ-k+1Ck+1）∑k+1|k（I-Kk+1Υ-k+1Ck+1）T+

（1+μ-11+μ2）θKk+1KTk+1+Kk+1λ-k+1（1-λ-k+1）l2tr（X-k+1）×

Kk+1H-k+1Ck+1CTk+1H-Tk+1KTk+1+（1+μ-12）λ-k+1Kk+1H-k+1Rk+1H-Tk+1KTk+1（20）

在初始條件∑0|0=P0|0>0下有正定解∑k+1|k和∑k+1|k+1，則矩陣∑k+1|k+1是Pk+1|k+1的上界。

證明：對定理1式（17）中的交叉項Λ2應用引理1，可得

Λ2+ΛT2≤ηA-kPk|kA-Tk+η-12kE{[f（xk）-f（k|k）][f（xk）-f（k|k）T]}（21）

由式（17）可得

pk+1|k≤（1+η）A-kPk|kA-Tk+（1+η-1）2k×

E{[f（xk）-f（k/k）][f（xk）-f（k/k）]T}+

k（1-k）E{f（xk）fT（xk）}+BkQkBTk（22）

由于

[f（xk）-f（k）][f（xk）-f（k）]Τ≤

‖f（xk）-f（k）‖2I=

[f（xk）-f（k）]Τ[f（xk）-f（k）]I（23）

故而

E{[f（xk）-f（k）]Τ[f（xk）-f（k）]}≤

l2E{Τkk}=l2tr（Pk|k）I（24）

將上式代入式（22）得

Pk+1|k≤（1+η）A-kPk|kA-Tk+（1+η-1）2kl2tr（Pk|k）I+

k（1-k）l2tr（Xk）I+BkQkBTk（25）

同樣地，對于定理2式（18）中的交叉項Λ3和Λ4，應用引理2可得

Λ3+ΛT3≤μ1（I-Kk+1Υ-k+1Ck+1）Pk+1|k（I-Kk+1Υ-k+1Ck+1）T+

μ-11Kk+1E{（k+1-yk+1）（k+1-yk+1）T}KTk+1（26）

Λ4+ΛT4≤μ2Kk+1E{（k+1-yk+1）（k+1-yk+1）T}KTk+1+

μ-12Kk+1E{Υk+1νk+1νTk+1Υk+1}KTk+1（27）

將上述兩式代入（18）中，得

Pk+1|k+1≤（1+μ1）（I-Kk+1Υ-k+1Ck+1）Pk+1|k（I-Kk+1Υ-k+1Ck+1）T

（1+μ-11+μ2）Kk+1E{（k+1-yk+1）（k+1-yk+1）T}KTk+1+

Kk+1E{（Υ～k+1Ck+1xk+1）（Υ～k+1Ck+1xk+1）T}×KTk+1+

（1+μ-12）Kk+1E{Υk+1νk+1νTk+1Υk+1}KTk+1（28）

考慮到事件觸發表達式（5），上式的第二項可進行如下處理

Kk+1E{（k+1-yk+1）（k+1-yk+1）T}KTk+1≤θKk+1KTk+1（29）

將引理3應用到式（28）的后兩項：

Kk+1{Υ～k+1Ck+1xk+1xTk+1CTk+1Υ-Tk+1}KTk+1≤

λ-k+1（1-λ-k+1）l2tr（Xk+1）Kk+1H-k+1Ck+1CTk+1×H-Tk+1KTk+1（30）

Kk+1E{Υk+1νk+1νTk+1Υk+1}KTk+1≤

λ-k+1Kk+1H-k+1Rk+1H-Tk+1KTk+1（31）

其中H-k+1=[I，-I]。

將式（29）～（31）代入式（28），有

Pk+1|k+1≤（1+μ1）（I-Kk+1Υ-k+1Ck+1）Pk+1|k（I-Kk+1Υ-k+1Ck+1）T+

（1+μ-11+μ2）θKk+1KTk+1+λ-k+1（1-λ-k+1）×

l2tr（Xk+1）Kk+1H-k+1Ck+1CTk+1H-Tk+1KTk+1+

（1+μ-12）λ-k+1Kk+1H-k+1Rk+1H-Tk+1KTk+1（32）

定理3證畢。

定理4如果濾波估計增益按如下形式給出，則濾波誤差協方差矩陣上界∑k+1|k+1的跡可達到最小。

Kk+1=（1+μ1）∑k+1/kCk+1Υ-k+1{Ψk+1}-1（33）

其中

Ψk+1=（1+μ1）Υ-k+1Ck+1∑k+1|kCTk+1Υ-Tk+1+（1+μ-11+μ2）θI+

λ-k+1（1-λ-k+1）l2tr（Xk+1）H-k+1Ck+1CTk+1H-Tk+1+

（1+μ-12）λ-k+1H-k+1Rk+1H-Tk+1

證明：由式（20）中可知∑k+1|k+1

∑k+1|k+1=（1+μ1）（I-Kk+1Υ-k+1Ck+1）∑k+1|k（I-Kk+1Υ-k+1Ck+1）T+

（1+μ-11+μ2）θKk+1KTk+1+Kk+1λ-k+1（1-λ-k+1）l2tr（X-k+1）

Kk+1H-k+1Ck+1CTk+1H-Tk+1KTk+1+（1+μ-12）λ-k+1Kk+1H-k+1Rk+1H-Tk+1KTk+1

為了獲得濾波誤差協方差矩陣上界∑k+1|k+1的最小跡，對式（20）中∑k+1|k+1求偏導，并根據引理1可得：

tr（∑k+1|k+1）Kk+1=-2（1+μ1）（I-Kk+1Υ-k+1×Ck+1）∑k+1|kCTk+1Υ-Tk+1+2Kk+1{Ψk+1}（34）

令∑k+1|k+1Kk+1=0，可得Kk+1=（1+μ1）∑k+1/kCk+1×Υ-k+1{Ψk+1}-1。

根據上述定理結果和構造的時變濾波器，將求解時變離散系統濾波算法概括如下：

步驟1 設初始時刻k=0，給定一些必要的初始條件與信息

步驟2 根據式（6）計算一步預測k+1|k

步驟3 根據式（10）與式（19）計算X-k+1和∑k+1|k

步驟4 設計濾波器增益矩陣Kk+1

步驟5 計算狀態估計k+1|k+1

步驟6 計算濾波誤差協方差矩陣的上界∑k+1|k+1

步驟7 令k=k+1，繼續執行步驟2

上述算法具有如下優點：①狀態估計法包含預測與估計，具有一定的糾錯能力;②在估計過程中使用可用的隨機非線性、一步測量時滯與事件觸發協議等信息;③狀態估計具有遞推方法，可利用于在線實現。

3 算例仿真

在本部分中，給出算例仿真來說明本文所提出的算法的有效性。

系統參數取值如下：

A→k=0.80.5

-0.10.6+0.03sin（2k），B→k=0.30.5，C→k=0.51

選取非線性函數：

f→（x→k）=0.720.30.480.5x→1，kx→2，k+0.3sin（x→1，k+x→2，k）0.1x→1，ksin（2k）

此外，其他參數的選取如下：

ε=0.1，μ1=μ2=1，Q→k=0.36，R→k=0.5，α→k=0.85，λ-k=0.65。

在本部分仿真實驗中，選取系統的狀態初始值為x0|0=[0.2 0.2]T，濾波器的初始值為0|0=[0.6 0.6]T。系統狀態的協方差矩陣的初始值為X-0=2I2，估計誤差協方差矩陣的初始值為∑0|0=10I2。

在進行MATLAB算例仿真時，考慮如下兩種情形：情形I，當觸發閾值θ取值為0.1時，給出系統的狀態軌跡與濾波器的估計效果對比圖;情形II，當觸發閾值θ取值為0.7時，給出系統的狀態軌跡與濾波器的估計效果對比圖。最后，基于情形I和情形II，給出系統狀態與其估計誤差協方差矩陣上界的關系圖，MSE1表示1，k|k均方誤差，MSE2表示2，k|k均方誤差。具體仿真效果圖如下：

4 結 論

本文中，解決了具有一類具有隨機發生非線性和一步測量時滯的離散時變系統的濾波問題，為了刻畫一步測量時滯與非線性的隨機性，在文中引入兩列服從伯努利分布的隨機序列。除此之外，為了減少網絡傳輸壓力，節省網絡帶寬資源，引入了事件觸發傳輸機制。通過求解類黎卡提差分方程，得到濾波誤差協方差矩陣的上界，并且通過設計相應的濾波增益矩陣使得該上界的跡達到最小。

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（編輯：王 萍）