基于數據驅動的時間序列b值計算新方法(TbDD)：以2021年云南漾濞MS6.4地震序列為例

姜叢, 蔣長勝*, 尹鳳玲*, 張延保, 畢金孟, 龍鋒, 司政亞, 尹欣欣,5

1 中國地震局地球物理研究所, 北京 100081 2 天津市地震局, 天津 300201 3 四川省地震局, 成都 610041 4 北京市地震局, 北京 100080 5 甘肅省地震局, 蘭州 730000

0 引言

描述地震震級-頻度分布(FMD)的古登堡-里克特(G-R)關系中的b值，被證實與地殼中的差應力負相關(Wyss, 1973; Mori and Abercrombie, 1997; Toda et al., 1998)，使其成為間接反映地震孕育發生時空物理過程的重要參量，因此在地震危險性分析、地震工程和地球動力學研究中得到廣泛應用.除了在地表二維平面、考慮深度的三維空間、時-空間研究b值的非均質性分布和演化規律外(Wiemer and Wyss, 1997; Schorlemmer and Wiemer, 2005; Murru et al., 2007; Wang et al., 2021)，b值在地震時間序列中也同樣具有重要的應用價值.這是由于前震/余震被限制在與主震破裂尺度相關的震區內，干熱巖和頁巖氣開發等新型工業活動以及深部礦山開采等引起的誘發地震活動也被局限在注采區較小空間范圍內集中發生，因此可簡化為只需要考慮時間序列b值變化，這極大降低了研究的復雜性.目前時間序列b值已在誘發地震的最大震級Mmax估計(Hallo et al., 2014; Van Der Elst et al., 2016)、前瞻型預測的風險管控“交通燈系統”的構建(Ader et al., 2020)，以及天然地震的前震與主震識別(Van Der Elst, 2021)、強震前的前兆性變化(史海霞等, 2018; Xie et al., 2019)、后續強余震的風險分級(Gulia and Wiemer, 2019)等多場景應用中發揮關鍵作用.

但時間序列b值的計算始終面臨多方面的挑戰，包括傳統采用的固定地震數目和時間長度的固定窗口法(Hutton et al., 2010; Ogata, 2011)在計算規則設置上過強的人為主觀性，以及由于地震序列在時間上的叢集性和稀疏性造成對b值的突變難于準確識別，都使得時間序列b值的計算以及對震例的解釋存在較多爭議(Kamer and Hiemer, 2013).針對上述問題，Fiedler 等(2018)發展了一種利用貝葉斯因子來選擇模型并識別時間序列b值突跳點的方法，但在震級-頻度關系上仍選用了G-R關系.針對主震后大量余震缺失造成的完備震級以上可使用地震數目過少的問題，Van Der Elst(2021)發展了稱為“b-positive”的時間序列b值計算方法，用連續地震之間震級差的正子集來估算b值并規避了此問題.然而這些計算方法尚且不能將兩類問題同時解決，想要得到廣泛的認可仍有待更多的震例驗證和方法改進.

近年來數據驅動研究快速興起，其核心思想是利用大規模的隨機建模和模型優選，獲得無參數的客觀估算結果.將數據驅動技術引入地震活動參數計算的研究也已逐步開始.例如Kamer和Hiemer(2015)利用數據驅動技術和G-R關系估算了美國加州地區的b值空間分布，Sambridge等(2013)利用數據屬性推斷模型參數的空間分布信息，Nandan等(2017)發展了基于數據驅動的時空傳染型余震序列(ETAS)模型參數估算方法，Si和Jiang(2019)、Jiang等(2021)發展了基于數據驅動和OK1993模型的b值空間和時空分布計算方法.對比上述方法研究，時間序列b值的計算能否也引入數據驅動技術，并同時解決前述兩個瓶頸問題呢？為此我們做了方法研究，在本文中發展了“基于數據驅動的時間序列b值計算”(文中簡稱TbDD)方法，并進行了合成地震目錄的理論測試，以及應用于剛剛發生的2021年5月21日云南漾濞MS6.4地震序列中.本文的TbDD方法研究以及實際應用，試圖對科學認識2021年云南漾濞MS6.4地震序列的活動規律、震區應力狀態，以及在其他地震序列的危險性分析、工業開采誘發地震的地震災害風險管控提供科學分析方法.

1 基于數據驅動的時間序列b值計算

本文提出的TbDD方法的構建，包括震級-頻度分布函數的選擇、時間軸的隨機段落劃分、最佳模型選擇三個主要步驟.

步驟一：震級-頻度分布函數的選擇.為科學描述震級-頻度分布，尤其是為充分利用記錄不完整的、數量較大的小震級地震事件(Iwata, 2013; Omi et al., 2013)，目前國際上廣泛采用Ogata和Katsura(1993)給出的連續分布函數(簡稱OK1993模型).OK1993模型是在通常意義上的冪指數函數的震級-頻度分布λ0(m)基礎上，疊加了地震事件的檢測率函數q(m)，從而給出包括未被完整檢測的小震級事件的震級-頻度分布模型的一般表達式：

λ(m|β)=exp(-βm)q(m)，

(1)

式中的exp(-βm) 即為冪指數函數的FMD，m為地震事件的震級，冪指數β與b值之間為線性關系β=bln10，因此獲得β的估計值后即可直接折算b值.檢測率函數q(m)是取值在[0,1]范圍的正態累積分布函數，其表達式為：

(2)

式中的M是計算所用地震目錄的最大震級.參數μ是指檢測率為50%時的震級，σ表示相應的震級范圍，兩個參量一般可結合起來共同描述地震臺網記錄地震的完備程度.Iwata(2013)研究認為，由于OK1993模型是連續、漸變的非線性函數，可分別用98%置信水平下完整記錄的μ+2σ或者在99.9%置信水平下完整記錄的μ+3σ來近似描述最小完整性震級MC.

根據公式(1)和(2)可得到實際觀測地震的概率密度函數，表示為：

=e-β mq(m|μ,σ)/e(-β μ+β2σ2/2)/β

=βe-β(m-μ)-β2σ2/2q(m|μ,σ).

(3)

對于一組實際觀測地震事件{m1,m2,…,mn}，Ogata和Katsura(1993)給出了公式(3)對應的OK1993模型的對數似然函數：

(4)

可利用最大似然法對(4)式的對數似然函數進行擬合，獲得OK1993模型的三個參數[β,μ,σ].

步驟二：時間軸的隨機段落劃分.數據驅動技術思路實現的關鍵之一是構建大量的隨機“模型”.所謂的模型是指對研究的時空間進行隨機剖分，每一種劃分方案被稱為一個模型，這些模型將為后續的計算和最優模型的選擇創造條件.在二維空間/時-空間、三維空間的隨機剖分上，常采用Voronoi網格剖分方法自動生成隨機網格，例如政治投票分區和預測(Svec et al., 2007)、物流匹配和最優運輸(Rubner et al., 2000)等數據驅動技術思路的實現.由于本文的研究對象是時間序列，因此在模型構建上需要對時間軸上的起始時間t0與終止時間t1之間的[t0,t1]時段進行隨機的段落切分.

具體操作步驟為：(1)利用隨機數發生器在[t0,t1]時段生成隨機時間節點T={T1,T2,…,Tn}，n為時間節點的個數，由此將[t0,t1]時段切分為時段S={S1,S2,…,Sn+1}并構成了一個模型；(2)大量重復上述隨機過程w次，獲得時間軸上的w組劃分方案{Pi,i=1,2,…,w}，也即w個模型；(3)對每一個模型(每一組劃分方案)的時段S={S1,S2,…,Sn+1}，可對落入每個時段內的地震事件求取OK1993模型參數[β,μ,σ]，涉及的計算量為w×(n+1)次.

步驟三：最佳模型選擇.最終的參數計算是通過模型選擇來實現的.這是按照某種懲罰函數來約束和選擇一些最優模型.在地震活動參數的模型選擇中，Kamer和Hiemer(2015)、Nandan等(2017)、Si和Jiang(2019)均采用貝葉斯信息準則(Bayesian information criteria, 簡稱BIC)(Schwarz, 1978)來實現，本文也同樣采用BIC進行最優化模型選擇.BIC值由公式(4)的對數似然函數lnL(θ)，以及模型的自由度k、為計算使用的地震事件數目N計算獲得：

(5)

由于每個模型的每個時段的劃分是由起點時刻和終點時刻唯一決定，因此每個時段的參數由起點時刻、終點時刻、時段內的OK1993模型參數[β,μ,σ]組成，公式(5)涉及到的每個模型的整體自由度為k=5×(n+1).此外，每一個模型的BIC值是對所有時段內計算結果的求和Sum(BIC1,BIC2,…,BICn+1).

最佳模型是在w個模型中選擇一定比例的、BIC值最低的部分模型，例如通常選擇模型數量的5%或10%，一些研究也認為具體的數量選擇對最終結果影響不大(Si and Jiang, 2019).最終的參數值是對這些最佳模型的參數值在時間軸上計算的集合中值，用相應的絕對中位差(MAD)，即四分位距的一半來表示結果的不確定度.

2 方法的理論測試

2.1 合成地震目錄的生成

為驗證TbDD方法對時間序列b值計算的有效性，需要進行方法的理論測試，即構建合成地震目錄并測試計算結果對輸入參數的還原程度.為接近真實地模擬地震活動，在合成地震目錄時設定了與后續的實際地震觀測數據計算的2021年云南漾濞MS6.4地震序列一致的時間范圍、接近的生成地震數量，也對震級-頻度分布采用OK1993模型的概率密度函數.

本文在起始時間t0=2021-05-18 08∶00∶00，終止時間t1= 2021-05-26 15∶30∶00的時段內生成合成地震目錄.按照時長t1-t0的5/12、3/12、4/12比例順次分成三個時段、設定不同的OK1993模型合成地震目錄輸入參數，其中令三個時段均使用μ=0.8000和σ=0.2000，而β值則分別為0.60、0.85、0.50.分別利用公式(3)的概率密度函數在每個時段生成1000個地震事件，震級范圍為0～6.4.由于生成的是有限數量的隨機地震事件，對其再次進行OK1993模型擬合時獲得的參數往往與合成地震目錄輸入參數存在偏差，例如本研究中的三組參數分別為β=1.4125、μ=0.8186、σ=0.2081，β=2.0404、μ=0.7924、σ=0.2076以及β=1.1095、μ=0.8138、σ=0.2059，我們將這些新生成的合成地震目錄參數作為后續比較和評判的參考值.上述獲得的隨機地震事件的FMD和OK1993模型參數擬合值如圖1a—c所示，震級-時間分布(M-t)如圖1d所示，相應三個時段的b0值分別為0.6134、0.8861和0.4818.

圖1 對TbDD方法測試的理論地震目錄 (a)—(c)理論地震目錄的FMD以及OK1993模型擬合結果.三個子圖分別對應假設時段2021-05-18 08∶00∶00—05-26 15∶30∶00的前5/12、中間3/12、后4/12，均為1000個隨機生成事件.菱形為理論地震目錄的FMD，實曲線為OK1993模型擬合結果，理論地震目錄生成后的實際參數β、μ和σ分別被標注在各子圖上；(d)理論地震目錄的震級-時間分布(M -t).圓點為生成的地震事件，顏色與圖(a)—(c)中相應時段 的OK1993模型擬合曲線的顏色相一致，藍色虛線為三個時段對應的b值、與圖(a)—(c)的β /log10相一致.Fig.1 Synthetic earthquake catalogs for testing the TbDD method (a)—(c) The magnitude-frequency distribution (FMD) of the synthetic catalogs and the fitting results of OK1993 model. The three subgraphs respectively correspond to the first 5/12, the middle 3/12, and the last 4/12 of the hypothetical period 2021-05-18 08∶00∶00—05-26 15∶30∶00. The number of earthquakes in each time segment is 1000. The diamonds show the FMD of the synthetic catalogs. The solid curves represent the fitting results of OK1993 model. The actual parameters of synthetic catalogs are marked in each subgraph in the order of β, μ, and σ; (d) The magnitude-time distribution (M -t) of the synthetic catalogs. The dots indicate generated seismic events, whose colors correspond to that of the OK1993 model′s fitting curves of the same segment in figure (a)—(c). The blue dashed line denotes the b-values of the three time segments, which are consistent with β /log10 in figure (a)—(c).

2.2 理論測試結果

對生成的t0=2021-05-18 08∶00∶00至t1=2021-

05-26 15∶30∶00時段的合成地震目錄，我們根據時間序列的復雜程度，設定TbDD方法的時間節點的個數n=4，也即將計算所用的時間跨度隨機切分成5段.生成m=10000個模型，其中BIC值最小的1000個被選作最佳模型.獲得的計算結果如圖2所示，圖2a和2b中的紅色曲線為b值的集合中值，灰色區域為相應b值的絕對中位差.通過與合成地震目錄的輸入參數b0值比較可見，由TbDD方法獲得的b值基本可以恢復b0值，尤其是當b0值在差異較大的0.8861與0.4818之間突跳和在b0=0.6134與b0=0.4818時段內部時.這一結果展示了TbDD方法在恢復初始參數上的有效性.

為了與傳統的時間序列b值計算方法進行比較，我們采用了兩種方式進行測試：(1)采用固定地震數目的窗長和步長的固定窗口法，分別設置兩組窗長或步長為330個事件和180個事件，具體計算仍采用OK1993模型和最大似然法計算參數β并折算為b值；(2)采用180個事件的步長，但窗長不斷累積擴大，分別沿時間軸和逆時間軸選擇地震，采用OK1993模型和最大似然法計算參數β并折算為b值.上述兩種測試結果如圖2所示.

圖2 對理論地震目錄的TbDD方法計算結果 及其與固定窗口法的比較 (a) TbDD計算結果及其與330個事件的窗長和步長的固定窗口法的比較.黑色折線為固定窗口法計算獲得的b值； (b) TbDD計算結果及其與180個事件的窗長和步長的固定窗口法的比較.綠色折線和紫色折線為采用180個事件的步長進行累積窗長、分別沿時間軸和逆時間軸的b值.(a)和(b)中的紅色曲線為利用TbDD方法計算獲得的b值中值，計算采用5段劃分、10000次隨機剖分、1000個最佳模型，灰色區域為 相應的b值的MAD.藍色虛折線為理論地震目錄的b0值.Fig.2 The calculation results from the TbDD method and its comparison with the fixed window method by using the synthetic earthquake catalogs (a) The results of the TbDD are compared with that of the fixed window method of the window length and step length of 330 events. The black polyline indicates the b-values calculated by the fixed window method; (b) The results of the TbDD are compared with that of the fixed window method of the window length and step length of 180 events. The green polyline and the purple polyline indicate the b-values calculated along the time axis and against the time axis respectively, and both use a step of 180 events and a continuous accumulation window to select data. The red curves in (a) and (b) show the median values of the b-values calculated by the TbDD method. Five-segment division, 10000 random partitions and 1000 best models are used in the calculation. The gray area show the MAD of the corresponding b-values. The blue dashed polylines show the b0-values of the synthetic catalogs.

對比TbDD方法和傳統的固定窗口法獲得的b值結果可見，(1)當固定地震數目的窗長或步長較大時，在合成輸入參數穩定的時段也可獲得相對穩定的結果，例如圖2a的330個事件的窗長或步長.當固定地震數目的窗長或步長較小時，b0則會由于擬合OK1993模型不確定性的提高漲落較大.這對傳統的固定窗口法提出了較大的約束限制；(2)在b0值出現突跳的位置，傳統的固定窗口法同樣受限于窗長的大小，無法準確地恢復突跳變化.例如在差異較大的b0=0.8861與b0=0.4818之間突跳時，窗長分別為330個事件和180個事件的兩種設置均難以恢復這種突跳.甚至在采用累積窗長的順時間軸與逆時間軸的計算中，由于經過突升的b0=0.8861時段時，累積窗長已顯著大于該時段的長度，計算獲得的b值幾乎無法反映該時段的突升現象.這些均揭示了傳統固定窗口法的明顯弊端，同時也對比展示了TbDD方法的相應優勢.

3 2021年云南漾濞MS6.4地震序列的實際應用

我們將本文發展的TbDD方法用于實際的地震序列b值計算.據中國地震臺網測定，2021年5月21日21時48分，云南大理州漾濞縣附近發生MS6.4地震，震中位于25.67°N、99.87°E，震源深度8 km.此次地震前的5月18日、19日，震區發生兩組最大超過4級的前震活動，甚至在主震前半小時內的21時21分震區還發生了震級高達MS5.6的前震.本文使用的數據來自中國地震臺網中心的地震編目系統《統一快報目錄》，研究時段為2021-05-18 08∶00∶00至2021-05-26 15∶30∶00，研究區域設定為包含此次云南漾濞MS6.4地震序列的空間范圍25.45°N—25.83°N、99.70°E—100.15°E，震級范圍M≥ML0.0.此次地震序列較為發育，在上述研究時段和研究區域內發生MS3.0～3.9地震75次、MS4.0～4.9地震20次、MS5.0～6.9地震2次(MS5.6和MS5.2)，M≥ML0.0地震總次數達到2939次.圖3a給出了上述地震序列的震級-時間分布.

在將TbDD方法應用于云南漾濞MS6.4地震序列中，我們采用與理論測試相同的建模策略和參數設置.即設定時間軸的隨機段落劃分為5段，隨機生成m=10000個模型，并選取其中BIC值最小的1000個最優模型.獲得的b值的集合中值和MAD的結果如圖3b所示.為了展示云南漾濞MS6.4地震序列的最小完整性震級MC，圖3a還給出了計算獲得的μ值的集合中值，以及μ+2σ和μ+3σ的結果.由圖3b的TbDD方法計算的b值結果可見，在研究時段的云南漾濞MS6.4地震序列發生過程中b值總體低于1.0.在MS6.4主震發生前b值為0.7左右、主震前20小時還出現了0.1左右的下降.在主震發生后，b值起伏明顯、總體趨勢增加直至研究時段結束的0.8左右.圖中b值的起伏變化也伴隨著較大的MAD，參考圖2的合成地震目錄測試結果可以確認，這些時段b值的時間非平穩性，可能與震后余震區斷層上較為劇烈的應力調整有關(Xie et al., 2019; Jiang et al., 2021).

圖3 對2021年5月21日云南漾濞MS6.4地震序列 的TbDD方法計算結果及其與固定窗口法的比較 (a) 云南漾濞MS6.4地震序列的震級-時間分布(M -t)，黑色虛線為利用TbDD方法計算獲得的參數μ值中值，藍色虛線和實線分別為最小完備震級參考的μ+2σ和μ+3σ； (b) 利用TbDD方法計算獲得的b值結果.圖中紅色曲線為b值中值，灰色區域為相應的b值的MAD，計算采用5段劃分、10000次隨機剖分、1000個最佳模型； (c) 固定窗口法計算獲得的b值結果.在采用了300個事件的步長的情況下，黑色折線給出了300個事件的滑動窗口的方式的計算結果，綠色折線和紫色折線給出了計算結果采用累積窗分別沿時間軸和逆時間軸的計算結果.圖(b)和(c)中的垂虛線為與圖(a)中M≥ML4.0事件相對應的發震時刻.計算的時段為2021-05-18 08∶00∶00—05-26 15∶30∶00、所用事件的震級為M≥ ML0.0.Fig.3 The calculation results from the TbDD method and its comparison with the fixed window method for the Yangbi MS6.4 earthquake sequence of May 21, 2021 in Yunnan (a) The M -t of the Yangbi MS6.4 earthquake sequence in Yunnan. The black dashed lines show the median μ values calculated by the TbDD method, and the blue dashed lines and solid lines show the values of μ+2σ and μ+3σ for reference of the minimum completeness magnitude, respectively; (b) The b-values obtained by the TbDD method. The red curves and gray areas show the median and MAD of b-values, respectively. Five-segment division, 10000 random partitions and 1000 best models are used in the calculation; (c) The b-values calculated by the fixed window method. In the case of using a step length of 300 events, the black polyline shows the calculation result with sliding window of 300 events, the green polyline and the purple polyline show the calculation results using cumulative window along the time axis and against the time axis, respectively. The vertical dashed lines in figures (b) and (c) show the origin time corresponding to the events of M≥ML4.0 in figure (a). The calculated period is 2021-05-18 08∶00∶00—05-26 15∶30∶00, and the magnitude of the events is M≥ML0.0.

采用與合成地震目錄測試類似的方式，我們還給出了固定窗口法的b值計算結果，包括采用300個事件的步長和窗長，以及采用300個事件的步長、累積窗長、分別沿時間軸和逆時間軸的b值，相應的結果如圖3c所示.將上述固定窗口法的b值計算結果與TbDD方法的計算結果比較可見，采用固定步長和窗長得到的b值的總體變化過程和數值大小，與TbDD方法的計算結果接近；而采用兩個不同方向的累積窗長計算結果，在TbDD方法得到的b值起伏變化時段存在顯著差異，這也同樣驗證了此時段“真實”的b值應有起伏變化.

為了進一步驗證TbDD方法在建模規則上是否影響b值的計算結果，我們采用多種模式計算b值：(1)隨機生成m=10000個模型、選擇1000個最佳模型，但對時間軸分別進行3段、4段、6段的隨機劃分；(2)采用5段的時間劃分方式，但使用m=2000、m=1000和m=500個模型來計算，相應的最佳模型數量則分別為各自的總模型數量的10%.上述多種模式的TbDD方法建模計算結果如圖4所示.將這些結果進行比較，并與圖3b的結果比較發現，在隨機模型數量相同時，時間軸的隨機劃分段落越多，能夠揭示的b值隨時間的微觀起伏過程越多(圖4a)，但b值隨時間的總體趨勢一致.而在時間軸的隨機段落劃分相同時，隨機模型數量無論是10000個還是2000、1000或500個，對b值集合中值結果的影響不明顯，但MAD值將隨著隨機模型數量的增加而減小.這些多模式的計算結果間的比較，顯示了TbDD方法在計算時間序列b值時的高度穩定性.

圖4 對2021年5月21日云南漾濞MS6.4地震序列采用 多種計算模式設置的TbDD方法計算結果的比較 (a) 采用10000次隨機剖分和不同時間劃分方式的計算結果比較； (b) 采用5段的時間劃分方式和不同隨機剖分次數的計算結果比較.圖中的實線或虛線是b值的中值，各種顏色填充的區域是與同種顏色實線或虛線相對應的b值的MAD值.圖中實線或虛線為b值中值，各顏色區域為相應的b值的MAD.計算使用的序列時段為2021-05-18 08∶00∶00—05-26 15∶30∶00， 震級為M≥ML0.0.Fig.4 Comparison of the results of the TbDD method using multiple sets of calculation models for the MS6.4 Yangbi, Yunnan earthquake sequence (a) Comparison of calculation results by using 10000 random partitions and different time division methods; (b) Comparison of calculation results obtained from models of different random partition times using five-segments time division methods. The solid or dashed lines indicate the median of b-values, and the areas filled with various colors show the MAD of b-values corresponding to the lines with the same color. The calculated period is 2021-05-18 08∶00∶00—05-26 15∶30∶00, and the magnitude of the events is M≥ML0.0.

4 結論和討論

在廣泛用于余震區地震序列分析、工業開采區誘發地震危險性分析時間序列b值的計算中，為克服傳統計算方法計算規則設置的人為主觀性問題，本文借鑒基于數據驅動技術思路，利用震級-頻度分布的OK1993模型、時間軸的隨機劃分和隨機模型建立、BIC的最佳模型選擇等，構建了基于數據驅動的時間序列b值計算方法——TbDD.在經過合成地震目錄的理論測試、2021年云南漾濞MS6.4地震序列的實際應用分析后，獲得的主要認識如下：

(1)利用合成地震目錄的理論測試結果表明，本文新發展的TbDD方法可較為準確地恢復b值的突跳變化、穩定地獲得各時段的參考值，能夠克服傳統的固定窗口法在計算規則設置上的人為主觀性等瓶頸問題.

(2)對2021年云南漾濞MS6.4地震序列的實際應用表明，b值在MS6.4主震前為較低的0.7左右、震前20小時出現了0.1左右幅度的下降，表明震區在序列發生前處于較高的差應力水平狀態；b值在MS6.4主震發生后起伏明顯、總體趨勢增加至0.8左右，可能與震區較為劇烈的應力調整有關.

(3)TbDD方法計算的時間序列b值受隨機模型數量/計算量的影響較小，具備較強的穩定性，但大量的隨機模型可降低結果的不確定度；而對時間軸的隨機劃分段落設置可影響b值隨時間較為微觀的起伏變化.

本文在構建TbDD方法中，對震級-頻度關系選用了OK1993模型，這種連續函數由于充分利用了不完整記錄的大量地震事件(Omi et al., 2013)，相比使用“一刀切”的最小完整性震級以上地震的傳統的基于震級-頻度G-R關系的固定窗口法，甚至一些基于數據驅動技術的空間b值計算方法(Kamer and Hiemer, 2015)，在參數估計結果的統計顯著性、可靠性上更具有天然優勢.此外，最小完整性震級是隨著時間動態變化的，例如在主震發生后的短期內，大量的余震密集發生顯著降低了地震波形的信噪比、人工檢測地震的遺漏增加(Kagan, 2004; Hainzl, 2016)，都可造成最小完整性震級的升高或檢測能力的下降.因此在基于震級-頻度G-R關系的固定窗口法使用時，可使用的“一刀切”的最小完整性震級以上地震的數量大大降低.而TbDD方法在大量的數據驅動計算中，同時估算了b值和涉及檢測能力的參數μ和σ值，使得在最小完整性震級動態演變過程中也可最大限度地利用全部數據.

在應用TbDD方法建模過程中，使用更多的隨機段落劃分可以揭示部分b值時間變化的微觀起伏.當一個模型的隨機段落中最短的段落上樣本數過少、擬合OK1993模型誤差較大、BIC值升高，從而“拖累”這個模型難于被選為最優模型時，客觀上也限制了無法過度細分隨機段落.我們在TbDD方法用于2021年云南漾濞MS6.4地震序列的實際案例分析中，采用的5段劃分仍具有經驗性，未來在此類數據驅動方法的改進研究中，尋找客觀的真正智能化的模型構建策略可能是需要進一步努力的方向，包括利用Akaike貝葉斯準則(ABIC)等評價方法對分段數目參數進行優化.此外，本文提出的TbDD方法對隨機模型次數的弱依賴性表明，大規模計算與有限次數的計算在集合中值上差別不明顯，即使是數百次的隨機模型也可得到相對可靠的結果.但大規模計算可有助于減少MAD并確保集合中值的可靠性，這使得通過大量隨機模型進一步取得b值計算在精度上的優勢成為可能.

致謝本文屬于云南漾濞6.4級地震科學考察工作，地震序列研究工作組對本文給予了幫助.兩位評審專家提出了諸多建設性修改建議、對稿件質量提升幫助很大，在此一并表示感謝.