柱面SH波作用下管道的動應(yīng)力集中研究

路世偉，孫金山，劉洪宇，周傳波

(1.長江大學城市建設(shè)學院，湖北 荊州 434023；2.江漢大學湖北(武漢)爆炸與爆破技術(shù)研究院，武漢 430056； 3.中國地質(zhì)大學(武漢)工程學院，武漢 430074)

在過去的幾十年，隨著地下空間的大力開發(fā)，越來越多的地下工程采用鉆爆法開挖。爆破地震波對臨近管道的安全產(chǎn)生了顯著的影響，深入分析管道在爆破地震波作用下的動力響應(yīng)特性具有重要的理論和實用價值。

Pao等[1-2]對地下結(jié)構(gòu)在平面波作用下的響應(yīng)進行了廣泛的研究，從理論上研究了無界彈性介質(zhì)中圓形孔洞和襯砌隧道在平面波作用下的動應(yīng)力集中系數(shù)(DSCF)。Lee等[3-4]基于Fourier-Bessel展開和多極坐標研究了不同深度的圓柱腔對平面P波和SV波的散射和衍射。Wang[5]，Liu等[6-7]研究了半飽和空間中管道對彈性波的散射。王曉煒[8]對取水隧洞內(nèi)外爆破振動進行了安全分析。Smerzini等[9]研究了SH波入射時地下洞室對地面運動的影響。Lin等[10]研究了平面縱波作用下平面彈性半空間圓形地下隧道的動力響應(yīng)。付佳等[11]研究了平面SH波作用下土-隧道相互作用。Xu[12]在莫爾-庫侖準則的基礎(chǔ)上，研究了以魯新煤礦為背景的單線環(huán)形隧道爆破振動安全判據(jù)。

在過去，爆破地震波一般被視為平面波，適用于震源較遠的情況。然而，鉆爆法有時必須在現(xiàn)有地下結(jié)構(gòu)附近進行。平面波的假設(shè)已不再適用，必須考慮波前的曲率。因此一些研究者開始研究圓柱波的傳播。Yi等[13]研究了柱型縱波作用下圓形襯砌隧道的動應(yīng)力集中。Lu等[14-15]研究了柱面P波作用下圓形無襯砌隧道的動應(yīng)力集中和振動速度分布。到目前為止，關(guān)于柱面SH波對地下結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)的理論研究還很少。

筆者選擇爆破地震波中的柱面SH波作為研究對象，基于Fourier-Bessel展開推導(dǎo)了柱面SH波作用下管道內(nèi)壁上動應(yīng)力集中系數(shù)的解析解。以寶通禪寺地下通道爆破開挖為例，討論了爆心距和入射波頻率對DSCF的影響。最后，給出了波陣面曲率的影響可以忽略的爆心距閾值。

1 管道與土體的動力相互作用分析

1.1 簡化模型

我們假設(shè)一個線狀波源位于O1，圓形管道軸線與O2重合，內(nèi)半徑為a，外半徑為b，O1O2之間的距離為r0，并在O1與O2分別建立坐標系O1x1y1與O2x2y2(見圖1)。P為土體中任意一點，與O1、O2的距離分別為r1、r2，在O1處產(chǎn)生的柱面SH波的位移函數(shù)為[16-17]

(1)

圖1 柱面SH波Fig.1 Cylindrical SH-wave

通常，當圓柱形SH波到達管道時，會在土壤中產(chǎn)生向外傳播的反射SH波(W(r))，在管道中產(chǎn)生向外和向內(nèi)傳播的折射SH波(W(f))。它們的位移可以表示成如下形式：

Ensinnθ2]exp(-iωt)

(2)

Gnsinnθ2]exp(-iωt)

(3)

為求入射波、反射波、折射波疊加后的位移函數(shù)，我們必須將O1x1y1坐標系中的入射波勢函數(shù)轉(zhuǎn)換到O2x2y2坐標系下的表達形式，轉(zhuǎn)換公式如下[13-14]：

(4)

將公式(4)代入公式(1)可得：

(5)

1.2 邊界條件

令W1=W(i)+W(r)和W2=W(f)，考慮管道與土體之間的接觸面模型為理想接觸，那么邊界條件可以表示成如下形式：

(6)

柱面SH波的位移和應(yīng)力具有如下關(guān)系：

(7)

代入式(6)中即可求得Bn、Cn、Dn、En、Fn、Gn的結(jié)果。

2 工程試驗

寶通禪寺地下通道近距離下穿混凝土污水管，采用鉆爆法開挖，通道頂部距離污水管最近距離只有0.69 m，管道材料密度2 400 kg/m3，剪切模量12.61 GPa，內(nèi)半徑a為400 mm，外半徑b為465 mm，周圍土層密度為1 980 kg/m3，剪切模量為150 MPa。通過相關(guān)研究可知，爆破地震波主頻為200 Hz以下。故本文選擇f=10～200 Hz，r0=(3～10)b來分析SH波入射情況下管道動力響應(yīng)特性。

為方便分析和得到一般性的結(jié)論，本文定義動應(yīng)力集中系數(shù)DSCF和歸一化爆心距r*如下：

(9)

r*=r0/b

(10)

2.1 收斂性分析

由于解析解為無窮級數(shù)，級數(shù)截斷項數(shù)會直接影響計算結(jié)果的精確性。本文選擇入射波頻率為10 Hz和200 Hz，r*=3兩種情況進行收斂性分析，不同截斷項數(shù)時動應(yīng)力集中系數(shù)DSCF分布結(jié)果如圖2所示。

圖2 不同截斷項數(shù)時DSCF隨角度θ2變化Fig.2 Variation of DSCF with θ2 under different number of truncated terms

由圖2可知，DSCF隨著項數(shù)的增加迅速收斂，當項數(shù)超過10項時，DSCF的變化基本可以忽略不計。為保證更廣范圍內(nèi)的計算精度，本文選擇截斷項數(shù)為20項。

2.2 入射波頻率和爆心距的影響

為研究入射波頻率f和歸一化爆心距r*對動應(yīng)力集中系數(shù)分布情況，分別繪制了f為10、50、100、200 Hz時動應(yīng)力集中系數(shù)分布曲線(見圖3)。

圖3 DSCF分布Fig.3 Distribution of DSCF

由圖3可知，由于管道與周圍土層剪切模量差異較大，管道上的動應(yīng)力集中系數(shù)普遍較大，這說明管道剪切模量越大，管道承受的動應(yīng)力也越大。當f=10、50、100 Hz時，DSCF在迎爆側(cè)和背爆側(cè)均出現(xiàn)了較大值，而當f=200 Hz時，DSCF主要在迎爆側(cè)出現(xiàn)了較大值，這表明隨著入射波頻率的增加，入射波的繞射能力減小，其攜帶的能量被迎爆側(cè)反射的越多。當f=10、50 Hz時，DSCF最大值隨r*的增大而迅速減小，當r*>5時DSCF最大值趨于穩(wěn)定；當f=100、200 Hz時，DSCF最大值隨r*的增大基本不發(fā)生變化。這表明從動應(yīng)力集中系數(shù)DSCF分布的角度來講，當r*<5時，柱面波與平面波的差異較大，但當r*>5時柱面SH波基本可以認為與平面SH波等價。

為更詳盡地了解DSCF最大值與歸一化爆心距r*和入射波頻率f之間的關(guān)系，繪制了不同頻段DSCF最大值的分布圖(見圖4)。

圖4 不同頻段時DSCF最大值分布Fig.4 Distribution of maximum DSCF in different frequency range

由圖4可知，當r*=3時，DSCF在16、48 Hz時出現(xiàn)了非常大的峰值，這說明16、48 Hz接近管道的前2階自振頻率。當入射波頻率較低(10～100 Hz)時，DSCF最大值隨r*的增大迅速減小，變化趨勢較為明顯，而當入射波頻率較高(100～200 Hz)時，DSCF最大值隨r*的變化趨勢并不明顯，這也表明低頻入射波對管道的安全更為顯著，特別是入射波頻率與管道自振頻率接近時，管道受到的影響最為嚴重。

3 結(jié)論

1)基于波函數(shù)展開法推導(dǎo)了柱面SH波與管道相互作用時動應(yīng)力集中系數(shù)的表達式。

2)由于管道與周圍土層剪切模量差異較大，管道上的動應(yīng)力集中系數(shù)普遍較大。

3)從動應(yīng)力集中系數(shù)DSCF分布的角度來講，當歸一化爆心距r*<5時，柱面波與平面波的差異較大，但當r*>5時,柱面SH波可以認為與平面SH波等價。

4)低頻入射波對管道的安全更為顯著，特別是入射波頻率與管道自振頻率接近時，管道受到的影響最為嚴重。