矩形水池底板基床系數的探討

胡慶 俞靖端

中國市政工程中南設計研究總院有限公司 武漢430010

引言

文克爾地基模式是目前較為實用的水池-地基共同作用的主要模擬方法之一。其假定地基單位面積上所受的壓力P與地基的豎向位移y成正比：P＝Ky，式中K為基床系數，即地基上某點的沉降只與該點土作用的壓力有關。文克爾地基模式下，合理地選擇基床系數K值對計算成果的精確性和可靠性有著重要意義。

基于文克爾假定的水池有限元計算建模中，通常在底板底部設置豎向彈簧，并在底板四個角點施加水平位移約束，作為水池結構的邊界條件。而文獻［1］通過比較分析得出：在底板四個角點施加水平位移約束是不合理的，而在底板四個角點施加不動鉸支座的邊界條件是合理的，能反映底板與地基變形的實際分布趨勢。

然而在底板四個角點施加不動鉸支座，會引起四角應力集中，導致底板、壁板局部內力特征失真。在底板設置豎向彈簧的基礎上，同時在底板設置水平彈簧從而限制結構的水平向位移，從常理上更貼合實際。本文對基床系數的取值、矩形水池在不同邊界條件下的有限元分析作相應探討。

1 基床系數的取值

1.1 垂直基床系數取值

根據《巖土工程勘察規范》（GB 50021—2001（2009））［2］中第10.2.6 條，豎向基床系數Kv可根據平板荷載試驗（K30 法）按下式計算：

式中：p為p-s曲線線性段壓力；s為p對應的沉降量。

K30平板載荷試驗是用直徑為30cm的荷載板測定下沉量為1.25mm時基床系數的試驗方法。

在建筑及市政行業工程建設的地勘報告中，通常不提供巖土的基床系數。設計人員往往通過規范或手冊來查詢基床系數經驗值，然而規范或手冊中的基床系數經驗值僅有大致范圍，設計人員只能自行取值，同種巖土基床系數經驗值范圍較大，會造成較大偏差，從而影響結構的計算精度。

地勘報告中一般都提供巖土計算地基沉降的參數壓縮模量（Es）。根據建筑地基基礎設計規范（GB 50007—2011）［2］中第5.3.5 條，地基變形量按下式計算：

式中：s為沉降量（mm）；Ψs為沉降計算經驗系數；n為地基變形計算深度范圍內所劃分的土層數；P0為相應于作用的準永久組合時基礎底面處的附加壓力（kPa）；Esi為基礎底面下第i層土的壓縮模量（MPa）；zi、zi-1為基礎底面至第i層土、第i-1 層土底面的距離（m）；為基礎底面計算點至第i層土、第i-1 層土底面范圍內平均附加應力系數。

根據式（1）、式（2）及K30 法的已知沉降量，經驗系數Ψs取1，巖土壓縮層厚取5 倍的壓板直徑為1.5m，即可解出巖土垂直基床系數Kv。根據多項實際工程的地勘報告中巖土數據，選取了其中較為典型的五種巖土，計算得出基床系數Kv見表1。其中垂直基床系數經驗值Kv摘自《城市軌道交通巖土工程勘察規范》（GB 50307—2012）［4］中附錄H。

表1 計算基床系數與經驗基床系數的比較Tab.1 Comparison between calculated coefficient and empirical coefficient of subgrade bed

根據表1 可知，通過規范中的基床系數原位測試試驗方法結合沉降計算公式，體現了基床系數與壓縮模量Es（室內試驗結果）的正向關系，在一定條件下基床系數Kv＝3.3Es，雖未考慮地區經驗因素，但得出的垂直基床系數Kv在經驗值范圍內，其取值較為合理。

1.2 水平基床系數取值

在均勻土層中，正常固結土，由于土在不同應力水平下的變形能力也不同，如圖1 所示，豎向荷載作用下，圍壓為σcx（σcy＝σcx），而到了水平方向，圍壓則變成了σcz，一般來說σcx、σcy要比σcz小，較高側向壓力情況下的土應該更強一些，從這個角度出發，同一位置，豎向與水平向受荷載深度一樣的土的水平基床系數Kh高于垂直基床系數Kv。

圖1 均質土中豎向自重應力Fig.1 Vertical dead weight stress in homogeneous soil

據規范［4］提供的基床系數經驗值，其80%巖土Kh／Kv比值分布在1～1.2 范圍，考慮到作為邊界條件Kh取值要求精度不高，故取Kh＝Kv。

2 矩形水池有限元分析

2.1 水池模型算例基本參數

為便于分析比較，水池模型的尺寸、構件尺寸及荷載均與文獻［1］相同，幾何尺寸為L×B×H＝20 ×10 ×5（m），壁板厚度0.4m，底板厚度0.5m，壁板水平三角形荷載50kPa，底板均布荷載50kPa，板單元尺寸0.5m ×0.5m。水池透視圖及有限元模型如圖2 所示。計算結果取水壓工況，不考慮結構自重。

圖2 水池透視圖及有限元模型Fig.2 Pool perspective and finite element model

2.2 底板不同邊界條件的分析比較

底板三種約束簡圖如圖3 所示。

圖3 底板三種約束簡圖Fig.3 Three kinds of constraint diagrams of bottom plate

經有限元分析計算不同邊界條件下壁板彎矩結果見表2。表2 結果驗證了文獻［1］在底板四角僅設平面約束結果的不合理性，即角隅區彎矩Mx偏大，壁板豎向彎矩My偏小。底板設水平彈簧與底板四角設不動鉸結果接近。不同邊界條件下壁板角隅區（長向壁板在壁板轉角處約2m 寬范圍）彎矩分布如圖4 所示。圖4 結果表明，底板四角設不動鉸情況下，其角隅區彎矩在底部突變從而影響了其周邊彎矩特征。底板設水平彈簧情況下，其角隅區彎矩特征更符合實際。

表2 不同邊界條件下壁板彎矩結果Tab.2 Bending moment under different boundry conditions

圖4 不同邊界條件下壁板角隅區彎矩分布（單位：kN·m） Fig.4 Bending moment distribution in the corner of panel under different boundary conditions（unit：kN·m）

兩種邊界條件下水池長向中部橫斷面變形如圖5 所示。圖5 結果表明，底板四角設不動鉸與底板設水平彈簧情況下結構變形特征趨勢相同，底板變形均特征均為鍋底狀。

圖5 兩種邊界條件下水池長向中部橫斷面變形（單位：mm）Fig.5 Deformation of longitudinal middle cross section of pool under two boundary conditions（unit：mm）

從以上分析比較情況來看，底板設水平彈簧作為邊界條件最為合理。

2.3 不同基床系數的分析比較

實際工程中，在軟土地基或不良地基情況下，地基變形較大，通常會對上部結構產生較大影響。底板設水平彈簧作為邊界條件下，壁板彎矩隨基床系數變化趨勢如圖6所示。

從圖6 可知，My在基床系數在33000kN／m3以下時，其值隨基床系數增加而減小，其最大變化幅度約為10%，基床系數在33000kN／m3以上時，其值隨基床系數增加變化不大；Mx在基床系數在33000kN／m3以下時，其值隨基床系數增加而增加，其最大變化幅度約為21%，基床系數在33000kN／m3以上時，其值隨基床系數增加變化不大。

圖6 壁板彎矩隨基床系數變化趨勢Fig.6 Variation trend of bending moment of wall plate with subgrade coefficient

由此可見該敞口水池結構，由于整體剛度不大，其對地基變形較為敏感。

3 相關問題的討論

在第1節中通過理論計算，給出了用壓縮模量Es近似估算地基土基床系數的公式，即Kv＝3.3Es，雖然其計算數值與規范中給出的經驗值相近，但尚缺乏足夠的實際數據支撐，還有許多問題值得進一步探討。設計人員可根據地基土的類別、土的狀況、物理力學特性及其上部結構特點酌情取值。

在基于文克爾假定的結構有限元分析中對于矩形水池，底板四個角點施加不動鉸支座及四個角點施加水平位移約束均完全限制了底板水平向位移，是設置水平彈簧的特殊情況，即當水平彈簧無窮大時，完全限制了底板水平向位移。對于其他形式結構的底板采用文克爾地基模型設置水平彈簧，可作類似分析。實際上對于圓形水池、管廊節點等整板基礎結構，底板設置水平彈簧，其結構內力結果同樣合理，限于篇幅不再贅述。

4 結語

通過上述探討分析，可得如下結論：

1.用壓縮模量Es近似估算的地基土基床系數，其計算數值與規范中給出的經驗值相近，以此值作為基準適當考慮地基土的類別、土的狀況、物理力學特性及其上部結構特點做一定修正用于有限元結構分析是可行的。

2.基于文克爾假定，在矩形水池底板設置豎向彈簧基礎上，在底板設置水平彈簧替代四角平面約束或四角不動鉸支座，該邊界條件貼合實際，水池結構內力計算結果合理，水池底板變形與實際相似。

3.尺寸較大（平面尺寸大于或等于L×B＝20m×10m）的鋼筋混凝土敞口水池結構，由于其整體剛度不大，其結構內力對地基變形較為敏感。