從高考看高中不等式的性質證明及其解法

張東琪

摘? ? 要：不等式的性質證明在不等式學習中至關重要。在高考中證明不等式問題，常常是與數列、三角函數、二次曲線、隨機變量分布列及其分布等問題相結合。不等式是高中教學的重要組成部分，利用好不等式是高中解決問題的工具，是數學思想得以解答的關鍵，不等式也是進行數學計算和推理的重要手段。

關鍵詞：不等式的概念;不等式的基本性質;證明不等式的基本方法;不等式中的數學思想

在中學基礎教育階段，不等式是一個十分重要的內容，而到了大學，有關不等式的很多知識與高等數學仍然密不可分，高中數學教材4-5關于不等式知識內容是對初中簡單不等式的基礎知識的完善和提升，高中不等式的知識也是打開高等數學的鑰匙，因此高中數學的不等式知識就顯得格外重要。通過歷年高考真題，不難看出不等式已經成為高考必考的熱點內容，不等式的綜合運用可以檢驗學生的基礎知識，解題技巧，還能考查學生對數學方法運用，數學思想的掌握，數學運算的方法。

一、不等式的基本性質

1.如果a>b，那么bb。

2.如果a>b，且b>c，那么a>c。

3.如果a>b，那么a+c>b+c。如果a>b，且c>d，那么a+c>b+d。

4.如果a>b，且c>0，那么ac>bc;如果a>b，且c<0，那么ac

如果a>b>0，且c>d>0，那么ac>bd。

如果a>b>0，那么an>bn（n？綴N且n>1）。

不等式的基本性質是不等式證明的理論基礎，只要能合理掌握并運用好不等式的性質，才能更加合理地解決不等式的難點證明。

二、證明不等式的基本方法

1.比較法

比較法分作差比較與作商比較。作差比較為A>B？圳A-B>0，作商比較為A>B？（B>0）

作差比較的關鍵是判斷差的符號，操作步驟為作差、變形、判斷差的符號;而作商比較的關鍵是判斷商是否大于1，操作步驟為作商、變形、判斷商與1的大小關系。

（1）作差法：a>b？圳a-b>0

例1：設a，b是非零實數，若a

證明：因a

（2）作比法：a>b

例2：已知aaabb≥abba.

證明

因為

2.三角換元法

三角換元法是解決不等式問題的常用方法，主要在于換元，將某些復雜的不等式證明簡單直觀化，多數可將原不等式轉化成簡單不等式，使得問題變得直觀化、簡單化。

若x2+y2=a2（a為常數）我們可設x=acosα，y=asinα.

例3：設x2+y2=r2（r為常數）

求證

則x2+y2-2xy=r2（cos2？茲+sin2？茲）-r2sin？茲cos

3.綜合分析法

綜合分析法是已知條件和恒成立的不等式出發，充分利用不等式的理論知識進行整理化簡，從而能夠得出欲求證的不等式，用好綜合法的關鍵在于熟練掌握解題常用的不等式，如：

a2+b3+c3≥3abc（a，b，c？綴R+）

例 已知a，b，c是不全等的正數，求證

a（a2+c2）+b（c2+a2）+c（a2+b2）>6abc

證明：∵? ?b2+c2≥2bc， a>0，

∴? a（b2+c2）≥2abc? ? ①

同理? ? ? ? b（c2+a2）≥2abc? ? ②

c（a2+b2）≥2abc? ? ? ③

因為a，b，c不全相等，所以b2+c2≥2bc，c2+a2≥2ca，a2+b2≥2ab三式不能取“=”號，從而①，②，③三式也不能取“=”號。

∴a（a2+c2）+b（c2+a2）+c（a2+b2）>6abc

4.分析法

分析法的關鍵思想是確立因果關系，主要方法是：先從預證明的不等式作為出發點，通過數學知識的分析和推導得出使結論成立的充分條件，也就是說要想證明一個已知不等式成立，轉而去判斷使這個不等式成立的另一個命題，最后，如能找到一個成立的命題，就能判定原命題成立。它和綜合法恰好是互逆的過程。

這種證法，常與綜合法一起運用，即先用分析法找出證題思路，再用綜合法加以敘述。在書寫時常用“？坩”，表示“只需”。不能用符號“？圳”，“？圯”。

例 證明：當周長相等時，圓的面積比正方形的面積大。

7.幾何圖形法

如果已知不等式中的復雜代數關系能用數學圖形表示，就可以利用集合圖形法來證明不等式。

以看出，它們是四個兩點之間的距離公式。因此我們可以設點坐標為：A（0，1），B（1，1），C（0，1），D（0，0）

而已知為正方形，設點的坐標為，所以：

由三角形的性質得：

│DP│+│BP│≥│BD│，│AP│+│PC│≥│AC│

不等式中含有豐富的數學思想，對這些思想的掌握，能夠有力的幫助我們解決高中不等式? 的難題。

通過上述不等式的研究反映出，不等式是各個階段都不可或缺的一部分，是解開眾多數學問題的鑰匙，所以要想在中考和高考中取得佳績就必須研究好不等式的知識點，做到熟練地掌握不等式的基礎知識。把握所有不等式的有關題型，尤其是不等式與其他數學思想綜合在一起的數學問題，對學生的思維開拓和解題能力的提高有很大幫助。

?■ 編輯/魏繼軍