初始幾何缺陷對(duì)履帶起重機(jī)桁架臂臨界失穩(wěn)載荷影響分析

王欣，付河靈，陸鵬飛，岳增珂

初始幾何缺陷對(duì)履帶起重機(jī)桁架臂臨界失穩(wěn)載荷影響分析

王欣1，付河靈1，陸鵬飛2，岳增珂1

（1.大連理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，遼寧 大連 116024；2.中聯(lián)重科股份有限公司工程起重機(jī)分公司，湖南 長(zhǎng)沙 410000）

針對(duì)履帶起重機(jī)桁架臂初始幾何缺陷對(duì)其承載能力影響問題，對(duì)相關(guān)規(guī)范和企業(yè)標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)整理，將初始幾何缺陷分為兩類：臂節(jié)幾何缺陷和臂節(jié)組裝產(chǎn)生的幾何缺陷。對(duì)一致缺陷模態(tài)法進(jìn)行改進(jìn)，在線性屈曲分析的基礎(chǔ)上，考慮了缺陷分布的隨機(jī)性，建立了模態(tài)參與系數(shù)的概率模型，提出了多階模態(tài)隨機(jī)耦合法模擬臂節(jié)幾何缺陷，并采用等效載荷法模擬臂節(jié)組裝產(chǎn)生的幾何缺陷。算例分析表明，理想臂架的臨界失穩(wěn)載荷為392 t，本文所提方法模擬臂架幾何缺陷所得最不利臨界失穩(wěn)載荷為361 t，相比降低了7.9%；考慮前四階單階模態(tài)作為臂節(jié)幾何缺陷所得最不利臨界失穩(wěn)載荷為368 t。綜合上述結(jié)果，本文所提幾何缺陷模擬方法可以模擬出最不利的缺陷，并且獲得最不利缺陷分布下的臨界失穩(wěn)載荷，為桁架臂初始幾何缺陷模擬提供一些借鑒和參考。

初始幾何缺陷；多階模態(tài)隨機(jī)耦合法；履帶起重機(jī)；桁架臂；屈曲分析

臂架作為履帶起重機(jī)的主要承載結(jié)構(gòu)，失穩(wěn)是其主要破壞形式之一，且結(jié)構(gòu)失穩(wěn)常常具有隱蔽、突然的特點(diǎn)。初始幾何缺陷對(duì)結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性有一定的影響，且不可避免。Hatzis[1]的研究發(fā)現(xiàn)，單根桿件的缺陷可使結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性承載能力降低20%。Morris[2]研究表明結(jié)構(gòu)整體缺陷可使穩(wěn)定性臨界荷載下降35%。要使穩(wěn)定性理論分析結(jié)果和結(jié)構(gòu)的實(shí)際性能相吻合，必須采取有效措施把這些因素考慮進(jìn)去。如何在結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)計(jì)算中預(yù)先考慮初始缺陷對(duì)結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定承載力的影響將是一個(gè)十分重要的問題。

目前研究幾何缺陷的方法主要有一致缺陷模態(tài)法和隨機(jī)缺陷模態(tài)法。一致缺陷模態(tài)法認(rèn)為最低階屈曲模態(tài)是臨界點(diǎn)處結(jié)構(gòu)位移趨勢(shì)，結(jié)構(gòu)按該模態(tài)變形將處于勢(shì)能最小狀態(tài)，在加載的最初階段即有沿著該模態(tài)變形的趨勢(shì)。但是，越來越多的文獻(xiàn)表明按最低階屈曲模態(tài)施加初始缺陷并不一定是最不利缺陷[3]。也有學(xué)者認(rèn)為初始幾何缺陷應(yīng)由多階模態(tài)共同組合而成，徐兆光[4]在一致缺陷模態(tài)法的基礎(chǔ)上，考慮了高階模態(tài)對(duì)臂架失穩(wěn)載荷的影響，并將缺陷模態(tài)可看做2階屈曲模態(tài)的組合，但其未考慮模態(tài)參與的隨機(jī)性。

隨機(jī)缺陷模態(tài)法是將結(jié)構(gòu)的初始缺陷假定為隨機(jī)的，并對(duì)每個(gè)結(jié)點(diǎn)的缺陷誤差用正態(tài)隨機(jī)變量進(jìn)行模擬。每個(gè)結(jié)點(diǎn)的缺陷是一個(gè)多維隨機(jī)變量，其樣本空間的每一個(gè)樣本點(diǎn)都對(duì)應(yīng)著結(jié)構(gòu)的一種缺陷模態(tài)[5]。陳昕[6]利用隨機(jī)缺陷模態(tài)法模擬了網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)的安裝偏差，并通過實(shí)驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證該方法對(duì)于預(yù)測(cè)網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定承載力的實(shí)用價(jià)值。但是，該方法隨機(jī)變量過多，計(jì)算量較大，不適合大型復(fù)雜結(jié)構(gòu)的缺陷模擬及分析計(jì)算。

本文將臂架的初始幾何缺陷分為兩類，提出一種多階模態(tài)隨機(jī)耦合法對(duì)臂節(jié)初始幾何缺陷進(jìn)行模擬，采用等效載荷法模擬臂節(jié)組裝產(chǎn)生的幾何缺陷。并利用弧長(zhǎng)法對(duì)缺陷臂架進(jìn)行幾何非線性和材料非線性分析，確定缺陷臂架的臨界失穩(wěn)載荷。并與含單階模態(tài)缺陷臂架的臨界失穩(wěn)載荷對(duì)比，驗(yàn)證此方法在工程上的適用性和可靠性。

1 臂架幾何缺陷分類

幾何缺陷是指實(shí)際結(jié)構(gòu)的幾何參數(shù)與理想結(jié)構(gòu)間存在的差異。幾何缺陷主要包括結(jié)構(gòu)的節(jié)點(diǎn)空間位置偏差、桿件的初撓曲、節(jié)點(diǎn)初偏心、構(gòu)件截面形狀和截面特征（包括截面高度、寬度、厚度、面積、面積矩、慣性矩）等[7]。

1.1 臂節(jié)幾何缺陷

臂架是由多個(gè)臂節(jié)通過銷軸連接而成。每個(gè)臂節(jié)都由四肢弦桿與多肢腹桿焊接而成。弦桿與腹桿都屬于型材，本身會(huì)存在一定的初變形。由于焊接工藝及加工制造精度的影響，理想結(jié)構(gòu)節(jié)點(diǎn)的空間位置會(huì)與實(shí)際結(jié)構(gòu)節(jié)點(diǎn)的空間位置有所偏差。在鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范GB 50017－2017中規(guī)定格構(gòu)式鋼結(jié)構(gòu)局部缺陷采用單波正弦進(jìn)行模擬，陷幅值為/1000，如圖1（a）所示。調(diào)查發(fā)現(xiàn)，實(shí)際臂節(jié)的弦桿和腹桿的初變形有兩種形態(tài)：?jiǎn)尾ㄕ曳植己碗p波正弦分布。對(duì)臂架模型提取屈曲模態(tài)發(fā)現(xiàn)，在臂架整體失穩(wěn)時(shí)，弦桿和腹桿缺陷分布形式呈單波正弦；在臂架局部失穩(wěn)時(shí)，弦桿和腹桿缺陷分布形式呈雙波正弦，如圖1（b）所示。由此得出，可以用屈曲模態(tài)來模擬弦桿和腹桿的初變形。

圖1 初彎曲類型

1.2 臂節(jié)組裝產(chǎn)生的幾何缺陷

由于各臂節(jié)之間通過銷軸連接，以單－雙鉸接為例，如圖2所示。各個(gè)臂節(jié)在安裝過程中會(huì)出現(xiàn)一定的間隙，且各個(gè)臂節(jié)之間的間隙具有不可控性，最終導(dǎo)致整體臂架產(chǎn)生不同程度的側(cè)偏，如圖3所示。除此之外，臂節(jié)也會(huì)有一定的中心線直線度誤差，也會(huì)導(dǎo)致臂架整體側(cè)偏。臂頭載荷的偏移會(huì)嚴(yán)重影響臂架的承載能力，當(dāng)各臂節(jié)往一側(cè)偏移時(shí)，臂頭載荷偏移最為嚴(yán)重。

通過查閱統(tǒng)計(jì)相關(guān)起重機(jī)械制造企業(yè)的技術(shù)規(guī)范要求，臂節(jié)間的安裝間隙規(guī)定為6 mm，臂節(jié)中心線直線度誤差規(guī)定為4 mm，可知單個(gè)臂節(jié)產(chǎn)生的側(cè)偏值為10 mm。標(biāo)準(zhǔn)臂節(jié)長(zhǎng)度有9 m節(jié)、12 m節(jié)或14 m節(jié)，因此可將單個(gè)臂節(jié)產(chǎn)生的側(cè)偏統(tǒng)一等效為臂節(jié)長(zhǎng)度的1/1000。

圖2 單－雙鉸接

圖3 臂架側(cè)偏形式

2 缺陷模擬方法

一致缺陷模態(tài)法沒有考慮多階模態(tài)和高階模態(tài)參與，且忽略了缺陷分布的隨機(jī)性，隨機(jī)缺陷模態(tài)法是基于Monte Carlo方法，樣本計(jì)算量大，工程應(yīng)用受限。本文在一致缺陷模態(tài)法的基礎(chǔ)上，考慮了多階模態(tài)及缺陷分布的隨機(jī)性，并建立了多階模態(tài)隨機(jī)參與系數(shù)的概率模型。以此方法來模擬各個(gè)臂節(jié)的幾何缺陷。

2.1 臂節(jié)缺陷模擬方法

首先對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行特征值屈曲分析，求解結(jié)構(gòu)的特征值屈曲模態(tài)。選取多階模態(tài)作為幾何缺陷，通過改變各階模態(tài)參與系數(shù)來模擬幾何缺陷分布的隨機(jī)性。任意隨機(jī)缺陷模式[8]可以表示為：

式中：1、2、…、a為模態(tài)參與系數(shù)，是服從均勻分布的獨(dú)立隨機(jī)變量，取值范圍為[-1,1]；為模態(tài)參與的階數(shù)；φ為第階線性屈曲模態(tài)。

為了模擬實(shí)際工程中真實(shí)缺陷幅值，需要對(duì)缺陷幅值進(jìn)行調(diào)整。本文采用鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范中的標(biāo)準(zhǔn)，缺陷幅值為桿長(zhǎng)的1/1000。單波正弦臂節(jié)屈曲模態(tài)放大比例因子為：

雙波正弦臂節(jié)屈曲模態(tài)放大比例因子為：

式中：為弦桿長(zhǎng)度的1/1000，mm；為屈曲模態(tài)中單波正弦的峰值；max為屈曲模態(tài)中節(jié)點(diǎn)波峰位移的最大值；min為屈曲模態(tài)中節(jié)點(diǎn)波谷位移的最大值。

聯(lián)合式（1）～（3），得到含真實(shí)工程缺陷幅值的臂架任意隨機(jī)缺陷模式為：

利用Monte Carlo隨機(jī)抽樣方法進(jìn)行抽樣，建立隨機(jī)模態(tài)參與系數(shù)的概率模型為：

式中：()為第次隨機(jī)抽樣樣本；為模態(tài)參與階數(shù)。

每進(jìn)行一次抽樣，就會(huì)得到一個(gè)臨界失穩(wěn)載荷。本文通過多次抽樣，得到不同的臨界失穩(wěn)載荷，并與以單階模態(tài)為模擬缺陷得到的臨界失穩(wěn)載荷進(jìn)行對(duì)比，確定臂節(jié)的最不利缺陷分布。

2.2 臂節(jié)組裝缺陷模擬方法

本文考慮了各臂節(jié)向一側(cè)偏移時(shí)的情況，也是最危險(xiǎn)的情況，對(duì)臂架承載能力影響最大。對(duì)于臂節(jié)組裝缺陷的模擬，由于一致缺陷模態(tài)法受屈曲模態(tài)的影響，很難出現(xiàn)各臂節(jié)向一側(cè)偏移時(shí)的節(jié)點(diǎn)分布模式，而隨機(jī)缺陷模態(tài)法使節(jié)點(diǎn)分布具有不確定性，從而達(dá)不到預(yù)期的缺陷分布模式相比之下，本文選用等效載荷法模擬臂節(jié)組裝產(chǎn)生的幾何缺陷。

把臂架重力參數(shù)設(shè)置為零，在理想臂架的臂頭處施加側(cè)向載荷，通過調(diào)節(jié)載荷大小，使臂架側(cè)向位移量與實(shí)際側(cè)向位移量相同。將臂架的側(cè)向位移導(dǎo)入理想臂架中，由此建立含臂

節(jié)組裝產(chǎn)生的幾何缺陷的臂架模型。圖4為臂節(jié)組裝缺陷模擬流程圖。

圖4 臂架組裝缺陷模擬流程圖

3 計(jì)算分析

3.1 有限元建模

本文使用ANSYS APDL命令流建模，此種方法適合于不同長(zhǎng)度，不同幅度工況下臂架模型的快速建模。本文以750 t履帶起重機(jī)84 m臂架（工作角度為68°）為例，并對(duì)其各臂節(jié)的直腹桿進(jìn)行加強(qiáng)，把原來直腹桿尺寸改為斜腹桿尺寸。

臂架由7 m底節(jié)、7 m標(biāo)準(zhǔn)節(jié)、14 m標(biāo)準(zhǔn)節(jié)與7 m頂節(jié)組成。建模時(shí)，在不影響計(jì)算可靠性前提下將弦桿與腹桿軸線交于一點(diǎn)，臂節(jié)間的銷軸連接由弦桿來模擬，以此來簡(jiǎn)化模型。弦桿和腹桿采用beam 188單元，拉板采用link 180單元。臂架變幅拉板末端施加全位移約束，在臂架根部鉸點(diǎn)處施加靜定位移和角位移約束。模型單元總數(shù)為13915，節(jié)點(diǎn)總數(shù)為13554。理想結(jié)構(gòu)下的有限元模型如圖5所示。

圖5 理想臂架有限元模型

對(duì)于高聳臂架結(jié)構(gòu)而言，臂架自重會(huì)引起臂架的初始變形。臂架頭部在拉板和卷揚(yáng)的作用下，會(huì)保持在設(shè)定的工作幅度。臂架其它部分會(huì)產(chǎn)生一定的初始變形，且變形在臂架中部產(chǎn)生的位移最大。為了真實(shí)模擬臂架實(shí)際工作過程，本文把拉板剛度設(shè)置為2.06e20，保證臂架在吊載時(shí)，臂頭加載處工作幅度不變。臂架的初始變形如圖6所示。

圖6 臂架初始變形（放大40倍）

3.2 臂節(jié)組裝缺陷模擬

臂架長(zhǎng)度為84 m，臂架裝配后的直線度不應(yīng)超過臂架長(zhǎng)度的1/1000，故臂節(jié)組裝產(chǎn)生的幾何缺陷最大值為84 mm。設(shè)置臂架重力參數(shù)為0，在臂架頭部加載處加一側(cè)向載荷，并計(jì)算側(cè)向位移，直到側(cè)向位移為84 mm，如圖4所示。將側(cè)向位移更新的理想臂架模型上，得到含臂節(jié)組裝缺陷的臂架模型。

圖7 側(cè)向位移云圖

3.3 臂節(jié)幾何缺陷模擬

對(duì)含臂節(jié)組裝缺陷的臂架模型采用Block Lanczos方法進(jìn)行線性屈曲分析[9]，得到前10階穩(wěn)定性系數(shù)與屈曲模態(tài)。通過查看屈曲模態(tài)發(fā)現(xiàn)，第一階模態(tài)為臂架整體失穩(wěn)，臂架產(chǎn)生較大的側(cè)向位移，并且在臂架頂節(jié)處位移最大。如圖6所示。第二階模態(tài)為臂架整體失穩(wěn)，臂架在變幅平面內(nèi)產(chǎn)生較大位移，臂架在跨中處位移最大，如圖7所示。第三、四階模態(tài)為結(jié)構(gòu)局部失穩(wěn)，位于臂架下部，如圖8、圖9所示。本文以三個(gè)模態(tài)組合為例，對(duì)第二、三和四階模態(tài)進(jìn)行耦合，根據(jù)式（4）、式（5）可得到缺陷的分布模式。

圖8 一階屈曲模態(tài)

圖9 二階屈曲模態(tài)

圖10 三階屈曲模態(tài)

圖11 四階屈曲模態(tài)

最終建立含臂節(jié)幾何缺陷、臂節(jié)組裝缺陷的臂架模型，并對(duì)缺陷臂架模型進(jìn)行雙重非線性分析[10]，通過弧長(zhǎng)法[11]求解含缺陷臂架的臨界失穩(wěn)載荷。

查看臂頭加載處節(jié)點(diǎn)的載荷－位移曲線，理想臂架所能承受臨界載荷為392 t。對(duì)模態(tài)參與系數(shù)進(jìn)行6次隨機(jī)抽樣，模態(tài)耦合后要保證缺陷幅值為桿長(zhǎng)的1/1000。前6次抽樣所獲得臨界失穩(wěn)載荷如圖10所示。其中，第四次抽樣所獲得臨界失穩(wěn)載荷最低，為361 t，與理想臂架臨界載荷的差異值為7.9%，如圖11所示。

圖12 前6次隨機(jī)抽樣臨界失穩(wěn)載荷

圖13 載荷－位移曲線

分別選擇第一階、第二階、第三階和第四階屈曲模態(tài)作為臂節(jié)的初始幾何缺陷，計(jì)算得到臂架的臨界失穩(wěn)載荷如圖12所示。其中，以第三階屈曲模態(tài)作為初始幾何缺陷得到的臂架臨界失穩(wěn)載荷最低，為368 t。

圖14 單階模態(tài)缺陷臨界失穩(wěn)載荷

對(duì)比發(fā)現(xiàn)，多階模態(tài)隨機(jī)耦合得到的最不利失穩(wěn)載荷為361 t，考慮單階模態(tài)作用得到的最不利失穩(wěn)載荷為368 t。多階模態(tài)隨機(jī)耦合法得到的臨界失穩(wěn)載荷更為不利，對(duì)于實(shí)際工程引用更可靠安全。

4 結(jié)論

本文結(jié)合一致缺陷模態(tài)法和隨機(jī)缺陷模態(tài)法的優(yōu)點(diǎn)，提出了一種適合于臂架缺陷模擬的多階模態(tài)隨機(jī)耦合法。對(duì)750 t履帶起重機(jī)84 m臂架進(jìn)行了計(jì)算分析，并與理想臂架和考慮單階模態(tài)缺陷臂架的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，得出以下結(jié)論：

（1）在前四階模態(tài)中，以第三階模態(tài)作為臂節(jié)初始幾何缺陷進(jìn)行缺陷模擬得到的臂架臨界失穩(wěn)載荷更為不利。表明了傳統(tǒng)的一致缺陷模態(tài)法并不適用于像履帶起重機(jī)臂架這樣大型復(fù)雜的結(jié)構(gòu)，要根據(jù)實(shí)際情況，選擇適合的模態(tài)進(jìn)行分析。

（2）利用多階模態(tài)隨機(jī)耦合法計(jì)算出臂架最不利失穩(wěn)載荷相比與理想臂架失穩(wěn)載荷差異值為7.9%，與考慮單階模態(tài)缺陷計(jì)算出最不利失穩(wěn)載荷的差異值為1.9%。多階模態(tài)隨機(jī)耦合法可模擬出臂架缺陷分布的最不利分布模式。

[1]Hatzis D. The Influence of Imperfections on the Behavior of Shallow Single-Layer Lattice Domes.[D]. Cambridge：University of Cambridge. 1987.

[2]Morris N F. Effect of imperfections on lattice shells[J]. Journal of Structural Engineering，1991，117（6）：1796-1814.

[3]張愛林，張曉峰，葛家琪，等. 2008奧運(yùn)羽毛球館張弦網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)整體穩(wěn)定分析中初始缺陷的影響研究[J]. 空間結(jié)構(gòu)，2006（4）：8-12.

[4]王欣，徐兆光，陸鵬飛，等. 含幾何缺陷的桁架臂有限元建模方法及在非線性穩(wěn)定性計(jì)算中的適用性分析[J]. 起重運(yùn)輸機(jī)械，2020（13）：55-59.

[5]魏德敏，涂家明. 單層網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)非線性穩(wěn)定的隨機(jī)缺陷模態(tài)法研究[J]. 華南理工大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2016，44（7）：83-89.

[6]陳昕，沈世釗. 網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)的幾何非線性分析[J]. 土木工程學(xué)報(bào)，1990（3）：47-57.

[7]劉臻洲. 施工實(shí)測(cè)缺陷對(duì)管桁架結(jié)構(gòu)性能的影響研究[D]. 西安：長(zhǎng)安大學(xué)，2009.

[8]劉慧娟，羅永峰，楊綠峰，等. 單層網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性分析的隨機(jī)缺陷模態(tài)迭加法[J]. 同濟(jì)大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2012，40（9）：1294-1299.

[9]王德民，劉榮帥，吳紅剛，等. 鋼筋籠液壓自動(dòng)支撐裝置研究[J]. 機(jī)械，2018，45（03）：23-25，65.

[10]王欣，胡偉楠，洪波，等. 履帶起重機(jī)組合臂架雙重非線性穩(wěn)定性分析[J]. 起重運(yùn)輸機(jī)械，2019（18）：78-82，94.

[11]范雯霖. 基于弧長(zhǎng)法的起重機(jī)臂架非線性穩(wěn)定性分析[D]. 大連：大連理工大學(xué)，2018.

Analysis of the Influence of Initial Geometric Defects on the Critical Buckling Load of the Lattice Boom of Crawler Crane

WANG Xin1，F(xiàn)U Heling1，LU Pengfei2，YUE Zengke1

(1.School of Mechanical Engineering, Dalian University of Technology, Dalian 116024, China; 2.Zoomlion Heavy Industry Science and Technology Co.,Ltd., Changsha 410000, China)

Aiming at the impact of the initial geometric defects of crawler crane lattice boom on its load-bearing capacity, the relevant regulations and corporate standards are statistically sorted, and the initial geometric defects are classified into two categories: geometric defects of the boom section and geometric defects caused by the assembly of the boom section. The uniform defect model method is improved, and on the basis of linear buckling analysis, a probability model of modal participation coefficients considering the randomness of defect distribution is established. The multi-order modal random coupling method is proposed to simulate the geometric defects of the boom section, and the equivalent load method is used to simulate the geometric defects caused by the assembly of the boom section. The analysis of the calculation example shows that the critical buckling load of the ideal boom is 392 t, and the most unfavorable critical buckling load obtained by simulating the geometric defects of the boom is 361t, which is reduced by 7.9%;, the most unfavorable critical buckling load obtain by considering the first four-order single mode as the boom section geometric defect is 368t. The results indicates that the geometric defect simulation method proposed can simulate the most unfavorable defect and obtain the critical buckling load under the most unfavorable defect distribution, which provides a reference for the simulation of the initial geometric defects of the lattice boom.

initial geometric defect；multi-mode random coupling method；crawler crane；lattice boom；buckling analysis

TH213.7

A

10.3969/j.issn.1006-0316.2021.08.008

1006-0316 (2021) 08-0052-07

2021-01-21

遼寧省創(chuàng)新團(tuán)隊(duì)項(xiàng)目（LT2014001）

王欣（1972－），女，天津人，博士，副教授，主要研究方向?yàn)榻Y(jié)構(gòu)靜動(dòng)力學(xué)非線性仿真與結(jié)構(gòu)疲勞壽命評(píng)估，E-mail：wangxbd21@163.com；付河靈（1995－），男，河北石家莊人，碩士研究生，主要研究方向?yàn)榻Y(jié)構(gòu)力學(xué)仿真與優(yōu)化。