基于ARIMA模型的城鄉居民收入差距預測分析
——以湖北省為例

吳 琴

(湖北民族大學 數學與統計學院，湖北 恩施 445000)

改革開放四十年來，隨著我國經濟持續快速發展，居民收入水平隨之不斷提高，但是城鄉居民之間的收入差距整體上卻在持續擴大。[1]城鄉關系的不協調不僅有礙于社會公平與和諧穩定，而且也不利于經濟的健康可持續發展。[2-4]美國經濟學家庫茨涅茲曾提出了著名的倒U型理論，即收入分配差距會隨經濟發展進程呈現倒U型形狀，[5]那么我國城鄉居民收入差距未來的走勢是否會伴隨經濟增長到達倒U曲線的拐點然后呈現下降趨勢呢？基于此，探究城鄉居民收入差距變化的內在規律具有重要的理論和現實意義。湖北省作為中部大省，是長三角經濟帶的重要發展區域，也是國家中西部戰略發展的龍頭省份。因此，本文選取湖北省城鄉居民收入的時間序列數據，運用ARIMA 模型對兩者差距進行分析和預測，為研究各地區城鄉居民收入差距問題提供借鑒。

目前，針對城鄉居民收入差距問題，學者們采用的方法主要有指數平滑法、人工神經網絡模型、灰色預測法、ARMA模型等，[6-8]研究思路大都是將城鎮居民收入和農村居民收入作差或作比，然后對差值或比值序列的趨勢進行分析和預測，[9]如田垠采用灰色預測和神經網絡的組合預測模型對我國城鄉居民人均收入絕對差距進行分析和預測，得出的結論是我國城鄉居民收入差距在未來兩年會持續增長；[10]龔承剛、王夢、謝航采用的是ARIMA模型對湖北省城鄉居民收入比進行分析和預測，得到的結論是湖北省城鄉居民收入差距將會小幅度縮小。[11]但考慮到城鎮居民收入和農村居民收入兩個序列雖有一定的內在相關性，但也都有各自的發展規律，為了保留各自的特點，提高預測精度，本文采取的思路是分別建立農村居民收入和城鎮居民收入的ARIMA模型，然后分別進行預測，最后將預測結果作差和作比，得出城鄉居民收入差距的發展趨勢。

一、湖北省城鄉居民收入差距的現狀分析

本文選取的城鄉居民收入指標分別為城鎮居民人均可支配收入和農村居民人均純收入，[12]樣本區間為1991—2019年，其中2018年以前的數據來源于湖北省各年統計年鑒，2019年的數據來源于湖北省統計局發布的報告。由相關數據得到圖1和圖2。

圖1 湖北省城鄉居民收入趨勢圖

圖2 湖北省城鄉居民收入比

由圖1可知，1991—2019年湖北省城鄉居民收入逐步提升，其中城鎮居民人均可支配收入由1991年的1 592.9元增加到2019年的37 601.6元，年均增長率11.95%；農村居民人均純收入由1991年的626.92元增加到2019年的16 385.74元，年均增長率12.36%。湖北省城鄉居民收入絕對差距呈逐步擴大趨勢，但農村居民收入增長率快于城鎮居民收入增長率。

由圖2可知，從相對收入差距來看，城鄉居民收入比呈小幅波動，其中：1991—1993年呈上升趨勢，1993年達到最大值3.1，之后經歷“逐漸下降—平穩波動”階段，2012年后緩慢下降，在2016—2019年穩定在2.3左右，但與發達國家城鄉居民收入比1.5，及世界勞工組織公布的1.6的標準相比，湖北省現階段城鄉收入比相對較大。若考慮城鎮居民隱形福利收益，城鄉居民收入實際差距可能更大。

二、基于ARIMA模型的預測分析

1.ARIMA模型

ARIMA模型全稱為差分自回歸移動平均模型，是由Box和Jenkins提出的專門用于非平穩時間序列分析和預測的一種方法，也是時間序列分析中最常用到的線性模型之一，適用于短期預測。ARIMA(p，d，q)模型的表達形式如下：[13](P142-145)，[14](P119-128)

(1)

式(1)中，▽=(1-B)，B表示為延遲算子，d表示為使非平穩時間序列成為平穩序列所做的差分次數；Φ(B)=1-φ1B-…-φpBp，為平穩可逆ARMA(p，q)模型的自回歸系數多項式；θ(B)=1-θ1B-…-θqBq，為平穩可逆ARMA(p，q)模型的移動平滑系數多項式。

2.平穩性檢驗

由ARIMA模型原理可知，建模序列需是平穩序列，因此首先檢驗城鎮居民可支配收入UIt序列和農村居民人均純收入RIt序列的平穩性。根據UIt序列和RIt的時序圖(見圖1)，兩個序列均有明顯的增長趨勢，因此大致可判斷出原序列UIt和RIt均為非平穩時間序列，在建立模型之前需要對原序列進行平穩化處理。

為精確判斷序列的平穩性并進行平穩化處理，運用Eviews9.0軟件采用ADF單位根檢驗法進行進一步的檢驗和差分選擇。[15](P175-184)由表1的檢驗結果可知，UIt序列ADF檢驗統計量值為2.3851，p值為0.9999，1%、5%、10%臨界值分別為-3.6999、-2.9763、-2.6274，不能拒絕存在單位根的原假設，故UIt序列不平穩。所以對序列進行一階差分得到△UIt序列，再對△UIt序列進行ADF檢驗，結果顯示檢驗的p值為0.9453，不能拒絕存在單位根的原假設，即一階差分序列不平穩。繼續對△UIt序列作差分處理得到二階差分序列△2UIt，再對△2UIt序列進行ADF檢驗，檢驗的P值=0.0005<0.01，拒絕原假設，因此二階差分序列在1%的顯著性水平下是平穩序列。

表1 UIt序列的ADF檢驗結果

同理，運用ADF單位根檢驗法對RIt序列進行平穩性檢驗，結果如表2所示，RIt序列和一階差分序列△RIt為非平穩序列，二階差分序列△2RIt在1%的顯著性水平下是平穩序列。

表2 RIt序列的ADF檢驗結果

3.模型識別

對城鎮居民人均可支配收入UIt序列建立ARIMA(p，d，q)模型，由平穩性檢驗結果，UIt序列和一階差分序列△UIt為非平穩序列，二階差分序列△2UIt是平穩序列，因此d=2，再根據△2UIt序列自相關系數和偏自相關系數的性質判定模型的階數p和q。

△2UIt序列自相關函數和偏自相關函數如圖3所示。從圖3可以看出，△2UIt序列的偏自相關系數在滯后2階時表現出拖尾，而自相關系數在滯后5階時落在了2倍標準差的邊緣，從圖3很難直觀的確定模型中的兩個參數，因此通過大量的試驗和對比分析，根據AIC和SC越小越好的準則并觀察模型參數的顯著性，最終確定出來的相對最優模型為疏系數模型ARIMA(0，2，(1，2，5))。

圖3 △2UIt序列的自相關和偏自相關圖

同理，對農村居民人均純收入RIt序列建立ARIMA(p，d，q)模型，根據平穩性檢驗結果，ARIMA(p，d，q)模型中d=2。二階差分序列△2RIt自相關函數和偏自相關函數如圖4所示。

圖4 △2RIt序列的自相關和偏自相關圖

根據圖4，△2RIt序列的自相關函數和偏自相關函數均表現出拖尾性質，經過反復試驗和對比分析，最終確定的相對最優模型為ARIMA(0，2，2)。

4.模型參數估計和診斷

利用最小二乘估計法分別對UIt序列所建立的ARIMA(0，2，(1，2，5))模型和RIt序列所建立的ARIMA(0，2，2)模型進行參數估計。 ARIMA(0，2，(1，2，5))模型估計結果如下：

Δ2UIt=110.01+εt-0.28εt-1-0.69εt-2+0.59εt-5

(2)

t=(3.36) (-2.53) (-5.68) (12.80)

ARIMA(0,2,2)模型估計結果為：

Δ2RIt=53.92+εt-0.56εt-1-0.40εt-2

(3)

t=(5.05) (-2.94) (-2.10)

模型參數估計出來后，還需對模型的擬合效果進行檢驗，即對模型的殘差序列進行白噪聲檢驗。對UIt序列所建立的ARIMA(0，2，(1，2，5))模型的殘差序列進行白噪聲檢驗，殘差序列滯后6階、12階的Q統計量的p值分別為0.557和0.876，均大于顯著性水平0.05，不能拒絕原假設，即殘差序列是白噪聲序列，說明模型信息提取充分，擬合模型顯著有效。

同理，對RIt序列所建立的ARIMA(0，2，2)模型的殘差序列進行白噪聲檢驗，結果表明：殘差序列滯后6階、12階的Q統計量的p值分別為0.614和0.629，均大于顯著性水平0.05，故殘差序列是白噪聲序列，數據信息已全部提取，擬合模型顯著有效。

5.模型驗證與預測

利用以上對UIt序列所建立的ARIMA(0，2，(1，2，5))模型和對RIt序列所建立的ARIMA(0，2，2)模型，對1991—2019年樣本區間內城鎮居民人均可支配收入和農村居民人均純收入進行預測，然后再作差和作比，求出湖北省各年城鄉居民收入絕對差距及收入比的預測值，并與實際數據進行比較，計算出兩個值之間的相對誤差。結果表明：整個樣本區間內城鄉收入絕對差距平均相對誤差為5.13%，收入比平均相對誤差為4.23%，預測精度較高，說明模型擬合效果較好。因此，利用擬合的模型對湖北省2020—2022年城鄉居民收入絕對差距及收入比進行短期預測，預測結果見表3，其中樣本區間內只列出了2016—2019年的預測結果。

表3 城鄉收入差距預測值與實際值的對比

從表3的預測結果可以看到，利用UIt序列所建立ARIMA(0，2，(1，2，5))模型和RIt序列所建立的ARIMA(0，2，2)模型可以對湖北省2020—2022年的城鄉居民收入差距進行短期預測。2020年、2021年和2022年湖北省城鄉居民收入絕對差距預測結果均大于2019年實際值且呈逐年擴大態勢；收入比預測結果分別為2.289、2.284和2.279，相比2019年的實際值2.295略微有所下降趨勢，但不明顯，基本維持在2.28左右的水平，波動幅度較小。

三、結語

根據以上研究，運用ARIMA模型對湖北省城鄉居民收入差距進行預測分析，預測值和實際值之間的平均誤差百分比較小，表明模型預測精度較高，因此模型可用來對湖北省2020—2022年的城鄉收入差距進行短期預測。預測結果表明：未來三年湖北省城鄉居民收入絕對差距將進一步擴大，相對差距略微呈現下降趨勢但下降幅度較小，城鄉收入比相較于世界勞工組織公布的標準仍然偏高。可見，未來幾年湖北省城鄉居民收入差距懸殊問題雖略微有所改善但形式依然嚴峻，因此多渠道增加農村居民收入水平，及時有效扭轉收入差距擴大態勢，實現城鄉經濟更均衡平穩的發展是目前湖北省經濟發展中亟待解決的重大問題之一。