基于能量平衡的扁平式恒力彈簧支吊架顯式設計方法

楊露露， 邢慶果， 剛憲約， 孟 朋

(山東理工大學 交通與車輛工程學院， 山東 淄博 255000)

在油氣、 熱力管道系統中，通常需要幾十米、 數百米甚至上千米輸送管道，這些管道會因地面沉降、 承載波動以及環境、 介質溫度變化而產生幾十毫米甚至數百毫米撓曲變形。為了控制管道系統的熱變形，需要采用管道支吊架對管道進行支承[1]。恒力彈簧支吊架是一種能夠在一定行程內為發生豎直變形的管道提供恒定支撐力或懸吊力，而不會向附近管道或設備傳遞附加應力的裝置， 因此在管道系統中垂直位移較大的部位，多采用各式恒力彈簧支吊架進行支承，以保證管道系統的安全運行[2]。

目前國內應用較多的恒力彈簧支吊架多為連桿式和主輔式結構。文獻[3-4]中分析連桿式恒力彈簧支吊架的工作機理，給出了設計流程及強度校核方法。無論是三連桿式還是四連桿式恒力彈簧支吊架，相對于承載吊桿，結構都是不對稱的，在運行過程中承載吊桿不穩定，使得整個裝置的恒定度較低。主輔式恒力彈簧支吊架結構對稱，運行穩定性好，恒定度較高。文獻[5-6]中對比連桿式與主輔式的優點和缺點，總結了主輔式恒力彈簧支吊架的優勢。文獻[7-9]中根據主輔式恒力彈簧支吊架的工作機理，建立了主輔式恒力彈簧支吊架凸輪曲線的微分方程。文獻[10]中從滾柱半徑、轉角簡化、滾動摩擦力3個方面修正了凸輪曲線的微分方程。雖然主輔式恒力彈簧支吊架相較于連桿式有明顯優勢，但是在實際使用過程中也存在體積、質量、高度大并且安裝位置受限等問題。

扁平式恒力彈簧支吊架是一種新型的恒力彈簧支吊架，相較于主輔式恒力彈簧支吊架，減少了豎直方向的主簧，具有結構對稱、 緊湊，并且軸向尺寸、 質量、 安裝高度小及恒定度高等優點，能夠在實現為輸送管道提供恒力支撐的同時，更好地適應安裝高度有限的工程環境。凸輪是該類支吊架的核心部件，凸輪輪廓曲線的精度直接影響整個裝置的恒力性能。

本文中建立扁平式恒力彈簧支吊架的力學模型，首先基于傳統力矩平衡法推導凸輪曲線的微分方程，然后基于能量平衡法提出凸輪曲線的代數方程，并在此基礎上考慮負載管滾柱半徑的影響，建立凸輪曲線的范成修正方程，最后通過設計實例仿真，對比2種設計方法的設計精度，驗證本文中提出的設計方法的可行性。

1 基于力矩平衡法的凸輪曲線微分方程

1.1 扁平式恒力彈簧支吊架結構與工作原理

扁平式恒力彈簧支吊架內部結構如圖1所示，主要包括滾柱、 彈簧、 凸輪、 負載管等結構。由于凸輪曲線在全局坐標系中隨著工作位置的變化而變化，在隨體坐標系中的描述是恒定不變的，因此，采用全局坐標系描述各工作部件之間的幾何關系和平衡方程，采用隨體坐標系描述凸輪輪廓幾何方程。選取右側凸輪為研究對象，以凸輪轉軸中心為原點，建立全局坐標系xoy和隨體坐標系ηoξ。 全局坐標系以豎直方向為y軸，水平方向為x軸；隨體坐標系以凸輪轉軸中心到彈簧與凸輪連接點的連線為ξ軸，垂直于ξ軸的方向為η軸。

xoy—全局坐標系； ηoξ—隨體坐標系。

在準靜態條件下，負載管滾柱與凸輪的接觸力(可以忽略切向滾動摩擦力)對凸輪轉軸中心的力矩與彈簧力產生的力矩平衡，接觸力的豎直方向分力等于負載管的恒力輸出。隨著負載管上、下運動，彈簧的變形和力單調變化，負載管恒力輸出的關鍵在于合理設計負載管滾柱與凸輪的接觸法向，即合理設計凸輪的輪廓形狀，使每個接觸點處的壓力角α滿足

Fsds-(Ptanα)dy=Pdx

，

(1)

式中：Fs為彈簧力；ds為彈簧力的力臂；P為恒力外載；α為接觸壓力角；dy為接觸力水平分力的力臂；dx為接觸力豎直分力的力臂。P、dx均為常數。

1.2 凸輪曲線微分方程推導

扁平式恒力彈簧支吊架為軸對稱結構，如圖2所示，取右半側結構建立支吊架的簡化力學模型，其中F為支吊架所受恒定外載P的1/2，Fc為凸輪與負載管滾柱的接觸力，φ為從隨體坐標系沿順時針方向到全局坐標系的轉角，d為凸輪與負載管接觸點到凸輪轉軸中心的水平距離，h為彈簧與凸輪連接點到凸輪轉軸中心的長度。

xoy—全局坐標系； ηoξ—隨體坐標系； Fs—彈簧力； F—支吊架所受恒定外載P的1/2； Fc—凸輪與負載管滾柱的接觸力； α—接觸壓力角；φ—從隨體坐標系沿順時針方向到全局坐標系的轉角；d—凸輪與負載管接觸點到凸輪轉軸中心的水平距離； h—彈簧與凸輪連接點到凸輪轉軸中心的長度。

(2)

因此， 得到tanα、 tanφ關于η、ξ的表達式即可得到求解凸輪曲線的微分方程。為此，對支吊架進行幾何關系和受力平衡分析。

1.2.1 坐標變換

簡單起見，先假設負載管滾柱半徑為0，則負載管與凸輪接觸點到凸輪轉軸中心的水平距離恒為d，因此，負載管與凸輪接觸點的坐標在2個坐標系中存在幾何關系

(3)

在恒力彈簧支吊架運動過程中， 凸輪擺動角度一般小于5 °, 滿足小轉角假設， 即有cosφ≈1， tanφ≈sinφ，則有

(4)

整理式(4)，可得

(5)

(6)

1.2.2 受力分析

圖3所示為負載管與凸輪受力分析。對于負載管，y軸方向所受力Fy的合力為0，即有

∑Fy=0, 2Fccosα-2F=0

。

(7)

對于凸輪，彈簧力對凸輪轉軸中心的力矩和負載管與凸輪接觸力對凸輪轉軸中心的力矩Mo之和為0，即有

(8)

整理式(7)、(8)，可得

(9)

1.2.3 彈簧力

設彈簧剛度為k， 當凸輪轉角為0時， 彈簧預壓縮量為a， 則負載管運動至任意位置時， 彈簧力Fs為

Fs=k(a+hsinφ)

。

(10)

將式(5)、(6)、(10)代入式(9)，整理可得

(11)

將式(5)、(11)代入式(2)，即可得到凸輪曲線的設計方程為

(12)

該方程是關于η、ξ的一階非線性微分方程，無法求得解析解，只能用計算機軟件求解數值解。

2 基于能量平衡法的凸輪曲線顯式代數方程

基于傳統力矩平衡法推導的凸輪曲線方程為非線性微分方程，形式復雜，計算困難；推導過程中利用了小轉角近似假設，導致設計曲線誤差較大。本文中從能量角度考慮，提出一種基于能量平衡的扁平式恒力彈簧支吊架的凸輪曲線設計方法。

根據能量守恒定律，不計摩擦損耗，恒力彈簧支吊架在恒定外載P(P=2F)作用下發生豎直位移，支吊架外載做功與彈簧變形能變化量相等。

根據支吊架內部的能量轉化關系，可得

2Fdy=2Fshcosφdφ

。

(13)

將式(10)代入式(13)，整理可得負載管垂直位移與隨體坐標系轉角的微分方程為

(14)

式中y0為轉角φ為0時負載管與凸輪接觸點在全局坐標系中的坐標。

對式(14)積分并整理，可得負載管垂直位移與隨體坐標轉角的代數方程為

(15)

方程(15)是關于y、φ的代數方程，推導過程簡單，形式簡潔，求解簡便，減少了小轉角假設的誤差，計算結果更準確。

不考慮滾柱半徑對凸輪曲線的影響時，利用全局坐標與隨體坐標的坐標變換公式，即可得到求解凸輪曲線的方程為

(16)

(η,ξ)即為所求凸輪曲線坐標。

3 考慮負載管滾柱半徑的凸輪曲線修正方程

1、 2節中推導的方程均為假設滾柱半徑為0時的凸輪曲線方程。當滾柱半徑不為0時，以右側凸輪為例，在恒力彈簧支吊架工作過程中，滾柱中心到凸輪轉軸中心的水平距離恒為d，滾柱與凸輪接觸點到凸輪轉軸的距離始終小于d，利用范成原理，將式(15)、(16)求得的凸輪曲線沿各輪廓點的法線方向向背離負載管一側移動半徑距離，即可得到考慮滾柱半徑的凸輪輪廓曲線，如圖4所示。

ξ、 η—隨體坐標系ηoξ的坐標。

取圖4中某滾柱圖形放大繪制凸輪曲線沿接觸法向的單位矢量，如圖5所示。

ηoξ—隨體坐標系； n—凸輪曲線沿接觸法向的單位矢量。

單位法向量為

(17)

將單位法向量n與滾柱半徑r的乘積疊加至不考慮滾柱半徑的凸輪曲線方程，即可得到考慮滾柱半徑后的凸輪曲線修正方程為

(18)

式中(η1,ξ1)為考慮滾柱半徑的影響求得的凸輪輪廓曲線坐標。

4 計算案例

假設某扁平式恒力彈簧支吊架承受的恒定外載P=10 kN， 有效行程為400 mm(凸輪曲線輪廓點與凸輪轉軸中心之間的豎直距離為200～600 mm)， 彈簧剛度k=500 N/mm， 彈簧與凸輪連接點到凸輪轉軸中心的長度h=400 mm， 凸輪轉角為0時彈簧的預壓縮量a=80 mm， 滾柱中心到凸輪轉軸中心的水平距離d=60 mm， 滾柱半徑r=20 mm， 假設滾柱運行到有效行程的中間位置時凸輪轉角為0， 即有y0=400。 根據上述參數， 利用MATLAB軟件求解凸輪曲線， 并利用Adams軟件進行仿真校核。

4.1 凸輪曲線的計算

為了對比傳統力矩平衡法與能量平衡法的設計方程，暫不考慮滾柱半徑的影響，求解相同起點時2種方法所得凸輪曲線，如圖6(a)所示。為了對比2條凸輪曲線的差別，繪制2條曲線在相同橫坐標下的縱坐標差值曲線，如圖6(b)所示。

(a)凸輪曲線

由圖6可知，2種設計方法在相同起點時所得的凸輪曲線形狀基本相同，在相同橫坐標點時的縱坐標差值的最大值約為0.08%。雖然曲線的差別很小；但是恒力彈簧支吊架的精度取決于凸輪曲線各點的壓力角，因此微小的差別也可能造成較大的恒力精度差異。

在所得能量平衡法凸輪曲線的基礎上，根據范成修正方程修正凸輪曲線，結果如圖7所示。

ξ、 η—隨體坐標系ηoζ的坐標。

利用Adams軟件建立恒力彈簧支吊架仿真模型，如圖8所示。通過對負載管施加位移驅動，模擬恒力彈簧支吊架的工作過程，求解隨位移變化的驅動力曲線。

圖8 恒力彈簧支吊架仿真模型

4.2 能量平衡法與力矩平衡法仿真結果對比

采用工作負載偏差作為判斷恒力彈簧支吊架恒力性能的指標，工作負載偏差為恒力彈簧所提供的實際支撐力與額定外載的差值之比。

為了對比傳統力矩平衡法與能量平衡法設計方程的精度， 對2種方法所求的不考慮滾柱半徑的凸輪曲線進行仿真分析并進行數據處理， 得到工作負載偏差曲線， 如圖9所示。 由圖可知， 采用傳統力矩平衡法設計的恒力彈簧最大工作負載偏差約為0.96%， 采用能量平衡法設計的恒力彈簧最大工作負載偏差約為0.53%。 由此可知， 基于能量平衡法的凸輪曲線方程的設計精度高于傳統力矩平衡法的。

圖9 傳統力矩平衡法和能量平衡法的仿真結果

4.3 滾柱半徑對設計精度的影響

為了驗證本文中考慮滾柱半徑的凸輪曲線修正方程的有效性，根據圖7所示的考慮滾柱半徑的凸輪曲線坐標點，對恒力彈簧進行建模仿真分析。考慮滾柱半徑方法與傳統的直接加滾柱半徑的設計方法的工作負載偏差曲線如圖10所示。由圖可知，在不考慮滾柱半徑的凸輪曲線的仿真模型中直接加滾柱半徑仿真的最大工作負載偏差約為0.57%，設計時考慮滾柱半徑所求凸輪曲線仿真模型的最大工作負載偏差約為0.31%。由此可知，設計時考慮滾柱半徑對凸輪曲線的影響能進一步提高凸輪曲線的設計精度。

圖10 滾柱半徑對恒力精度影響的仿真對比

5 結論

扁平式恒力彈簧是一種新型的支吊架結構，既具有主輔式恒力彈簧恒力精度高的優點，又因取消主簧而大幅節省垂向安裝空間。基于能量平衡原理，針對扁平式恒力彈簧支吊架凸輪輪廓曲線提出了一種顯式代數方程模型，通過對比研究可以得到以下結論：

1)傳統力矩平衡法得到的凸輪曲線方程為非線性微分方程，基于能量平衡得到的新模型為代數方程，推導過程中減少了小轉角假設誤差，計算更簡單，精度更高。

2)利用范成修正方程建立的凸輪曲線修正方程，方法簡單、高效，能夠將滾柱半徑對凸輪輪廓曲線的影響考慮到設計階段。

3)實例設計分析對比表明， 能量平衡法新模型的設計精度明顯高于傳統力矩平衡法的； 考慮滾柱半徑的范成修正方程能進一步提高支吊架的精度。