基于自適應牽制控制的中立型復雜網絡漸近同步

時 慧，童東兵

(上海工程技術大學 機械與汽車工程學院,上海 201620)

分布式供電技術在實現節能減排、提高能源利用率方面有著重要的作用。分布式能源互聯網中包含眾多供能設備，每個供能設備狀態的變化對其經濟運行狀態會產生直接或者間接的影響。在能源互聯網運行過程中，供能設備之間通過通信進行經濟調度，而設備之間的通信狀態可以用復雜網絡來描述[1]。近年來，復雜網絡的穩定與同步問題得到了學者們的關注[2-3]。由于中立項的存在，使得中立型復雜網絡同步控制準則的求解比一般復雜網絡更加困難。這意味著復雜網絡的理論成果不能直接推廣到中立型復雜網絡中。因此，本文對中立型復雜網絡的同步研究具有實際意義。

控制策略能夠使生物神經網絡具有更好的輸出性能，并對外部信息的激勵做出一致響應[4]。由于信號在傳輸過程中可能會受到外界環境的干擾，從而導致信號微弱或中斷，因此不連續控制更適用于實際系統中。不連續的狀態反饋控制包括間歇控制[5-7]、開關控制[8]、牽制控制[9-11]和采樣-數據控制[12-14]等。近年來，牽制控制因其高效且經濟[15-16]的特點，逐漸成為了人們研究的重點。由于牽制控制方法僅需要控制網絡中的一小部分節點，因此牽制控制能夠有效降低控制成本[17]。

本文研究了具有時滯和耦合節點的中立型復雜網絡的漸近同步問題，提出自適應牽制控制策略，并設計了自適應更新律，保證中立型復雜網絡能夠達到漸近同步。通過構造適當的Lyapunov函數，利用LMIs(Linear Matrix Inequalities，LMIs)獲得了漸近同步判據。最后通過數值仿真，計算出中立型復雜網絡達到漸近同步所需最少控制節點數，并進一步驗證了漸進同步判據的有效性及實用性。

1 問題描述

在分布式微網中，各個微源與相鄰的微源可能會相互影響，這可以被看作微源節點間的耦合。分布式微網中各個微源節點可以被看作有向圖的頂點，考慮一個有n-維度狀態變量向量yj(t)=[y1j(t),y2j(t),…,ynj(t)]T的中立型復雜網絡如下

(1)

分布式能源互聯網通信過程中存在著一系列的延遲，這會使得通信網絡不穩定。因此考慮時滯對中立型復雜網絡(1)的影響是必要的。另外，為了通信網絡能夠克服時滯等因素對節點的影響并達到穩定，將自適應牽制控制器引入yj(t)的中立型復雜網絡(1)中。因此，考慮一類帶有時滯和自適應牽制控制器的中立型復雜網絡，可以被描述為如下

(2)

(3)

為了減少控制消耗和同步損失，系統(2)中的自適應牽制控制器被設計為

(4)

(5)

結合式(2)～式(5)，令

(6)

為了進一步證明中立型復雜網絡誤差系統(6)是漸近穩定的，給出了以下假設和引理：

‖f(z1)-f(z2)‖≤κ‖z1-z2‖

(7)

假設2中立型復雜網絡誤差系統(6)中的激活函數f(·)滿足特性

yTf(y?)≤εyTy，?y∈Rn

其中，ε∈(0,∞)是已知的常數。

假設3假設中立型復雜網絡誤差系統(6)的耦合函數

滿足ψ(yj(t),yj(t))是連續映射且滿足Lipschitz條件；在正常數α> 0，則滿足

MTN+NTM≤δMTM+δ-1NTN， 其中ε>0。

引理3對兩個n×n的Hermitian矩陣X和Y，矩陣X、Y和X+Y的特征值分別為ρn≤…≤ρi≤…≤ρ1，pn≤…≤pi≤…≤p1，qn≤…≤qi≤…≤q1，則有ρi+p1≥qi≥ρi+pn,i=1,2,…,n成立。

其中，λmin(M-1N)和λmax(M-1N)分別是M-1N的最小特征值和最大特征值。

2 主要結論

定理1當假設1～假設3成立，對中立型復雜網絡誤差系統(6)中的節點施加牽制控制，如果存在一個矩陣G> 0和ξ個節點使得如下不等式成立

(8)

Ω2=δκ-(1-?)γ≤0

(9)

式中，Pξ表示除去原矩陣P的前ξ行和前ξ列得到的子矩陣；[(BT+B)/2]ξ表示除去原矩陣(BT+B)/2的前ξ行和前ξ列得到的子矩陣；ρ=‖(BT+B)/2‖2，γ=‖(GT+G)/2‖2，δ=‖(DT+D)/2‖2。則中立型復雜網絡(3)能夠與平衡系統(2)是漸近同步的。

證明考慮一個合適的Lyapunov泛函如下

(10)

其中，θ是一個待定常量。

通過It?公式，中立型復雜網絡誤差系統(6)和式(10)，可以得到

(11)

根據假設1～假設3，并結合引理1和引理2，可以得到

(12)

結合引理3，可得

(13)

λmax(Pξ)≤0

(14)

再結合式(14)和引理4，有

(15)

根據式(15)和引理5，得式(16)。

(16)

3 仿真實例

本節將通過一個數值仿真來驗證所獲得理論結果的正確性和有效性。

考慮一個具有5個節點的中立型復雜網絡誤差系統(6)具有如下系統參數

α=0.3，λ=0.47，?=0.12，β=1.82，qi=0.2，E=2.6。

將中立型復雜網絡誤差系統(6)的初始值設置為

ej(t)=[e1j(t),e2j(t)]∈[-1,2]，j=1,2,…,5，t∈[0,2]。

經過驗證，假設1～假設3得到滿足。通過LMI工具箱，求解定理1中的式(8)和式(9)，并得到如下結果

λmax{(BT+B)/2}1=1.770 4>1.362 8，

λmax{(BT+B)/2}2=1.630 8>1.362 8，

λmax{(BT+B)/2}3=0.995 0≤1.362 8。

注釋1拓撲矩陣的子矩陣的最大特征值會隨著子矩陣的維度減小而減小，于是可以得到λmax{(BT+B)/2}4<1.362 8，λmax{(BT+B)/2}5<1.362 8。

因此，當ξ=1, 2時，定理1中的LMIs式(8)和式(9)無解；當ξ=3, 4, 5時，LMIs式(8)和式(9)有解，本文所研究的漸近同步準則是正確有效的。實驗結果表明，有效地選擇控制參數及節點可以使該算法較好地收斂到最優值。

由于控制器所需節點越少成本花費越低，因此自適應牽制控制器(4)選擇對3個節點進行控制，3個控制增益的動態曲線如圖1所示。在自適應牽制控制器的作用下，使中立型復雜網絡(3)能夠與平衡系統(2)達到漸近同步。帶有自適應牽制控制器(4)的中立型復雜網絡誤差系統ej(t)的動態曲線如圖2所示。由圖2可看出，基于自適應牽制控制策略的中立型復雜網絡能夠逐漸收斂為零，證明了自適應牽制控制策略的有效性。目前，大多數牽制控制器不能得知控制節點的數目。本文通過掌握控制節點數目可以減少控制成本，具有重要的現實研究意義。

圖1 自適應控制增益θj(t)，j=1,2,3的狀態軌跡Figure 1. State trajectories of Adaptive controlgainθj(t),j=1,2,3

圖2 中立型復雜網絡ej(t)，j=1,2,…,5的狀態軌跡Figure 2. State trajectories of neutral coupled neural network system ej(t),j=1,2,…,5

注釋2在文獻[18]中，控制器需要得到所有節點的信息，而本文中能確定牽制節點的個數，因此只需要獲取部分節點的信息。文獻[18]中雖然考慮了兩個節點之間存在耦合，但是其耦合矩陣只與一個節點的狀態相乘，而本文的耦合矩陣與耦合的兩個節點相乘。此外，本文系統狀態達到穩定的時間比文獻[18]中更早。

4 結束語

本文針對具有時滯和耦合節點的中立型復雜網絡漸近同步問題，設計了一個自適應遷至控制策略，并給出了一些中立型復雜網絡的漸近同步判據。本研究通過最后的數值仿真，驗證了所給的漸近同步判據，并計算出同步所需最少控制節點數，解決了大部分網絡中牽制控制器的節點數未知且測量成本較高的問題。未來研究的目標是將中立型系統與實際應用相結合，添加更多不確定項，弱化本研究中的給定條件，導出具有更低保守性的同步判據。