mKd V方程新的有限維可積系統

徐 英，王建文

尋找新的有限維可積系統是孤立子理論研究中的重要課題之一.1989年，曹策問教授提出了一個構造有限維可積系統的非常有效的方法—譜問題非線性化方法［1-4］，該方法已被系統研究和發展［5-17］，很多的孤立子方程的有限維可積Hamilton系統已通過該譜問題非線性化方法得到.具有物理意義的孤立子方程常?？梢詮囊话愕墓铝⒆臃匠讨屑s化得到.約化條件使這類方程的研究十分困難，2007年，周汝光教授在文獻［18-19］中給出了解決此類問題的一個方法，通過選取適當的譜參數和耦合上譜的復共軛譜問題，得以實現約化系統的譜問題非線性化.應用此方法，譜參數為互異非實復數下的非線性Schro¨dinger方程、mKdV方程、導數非線性Schro¨dinger方程、WKIS方程以及矩陣導數非線性Schro¨dinger方程的有限維可積Hamilton系統被找到［18-21］.文獻［22］中的方法在沿用了文獻［18-19］中方法基本思想的同時做了一定改進，采用了雙非線性化方法，獲得了任意互異譜參數下非線性Schro¨dinger方程的有限維可積Hamilton系統.隨著進一步研究，文獻［23］提出了使用范圍更廣更簡便的方法，其基本思想是選取合適的譜參數和特征函數將原譜問題擴大，從而約化系統的譜問題非線性化通過上述已擴大的譜問題得以實現，該方法不僅獲得了任意互異譜參數下KdV方程的有限維可積Hamilton系統，同時揭示了mKdV方程族和AKNS方程族之間的關系.本文將應用文獻［23］中的方法，研究mKdV方程的譜問題線性化，以獲得任意互異譜參數下mKdV方程新的有限維可積系統.

1 AKNS方程及其約化

考慮如下AKNS譜問題

其中：λ是譜參數，u，v是位勢函數.

選取式（1）的輔助譜問題

由式（1）與式（2）的相容條件，即零曲率方程

可得AKNS方程為：

式（3）在約化條件v=-u下，可化為mKdV方程如式（4）.

2 AKNS方程的譜問題非線性化

選取m個互不相同的譜參數λ1,λ2,…,λm，考慮相應的AKNS譜問題

其 中：Φ1=(φ11,…,φ1m)，Φ2=(φ21,…,φ2m)，A=diag(λ1,λ2,…,λm).

F1,F2,…,Fm是式（10）和式（11）的守恒積分，同時可以驗證L()λ滿足r矩陣關系，從而守恒積分對合，即{ }Fj,Fl=0，j,l≥1.又因為選取的λ1,λ2,…,λm互 不 相 同，所 以 守 恒 積 分F1,F2,…,Fm是函數獨立的.綜上所述，可得下述命題.

命題1有限維Hamilton系統（10）（11）在Liouville意義下是完全可積的.

3 mKd V方程的譜問題非線性化

通過簡單的驗證，可得如下結論.

為了進行mKdV方程的譜問題非線性化，只要對AKNS方程的譜問題非線性化進行修改即可.選取N個互不相同的譜參數λ1，λ2,…,λN，因 此λ1,λ2,…,λN,-λ1,-λ2,…,-λN互不相同.

考慮如下相應的mKdV譜問題

在約束（17）下，類似于空間部分，可得時間部分的如下有限維Hamilton系統：

又因為由式（12）定義的守恒積分F1，F2，…，F2N是對合并且獨立的，所以可得以下定理.

定理1有限維Hamilton系統（18）（19）在Liouville意義下是完全可積的.

4 結語

文章給出了mKdV方程的譜問題非線性化，從而得到了任意互異譜參數下mKdV方程新的有限維可積系統.眾所周知，mKdV方程可由著名的AKNS方程約化得到.為了實現mKdV方程的譜問題非線性化，首先回顧了AKNS方程的譜問題非線性化，然后選取合適的譜參數和特征函數將原mKdV方程的譜問題擴大，找到一組新的變量使得擴大化了的譜問題可寫成AKNS譜問題形式，從而直接運用AKNS方程的譜問題非線性化過程得到了任意互異譜參數下mKdV方程新的有限維可積系統.需要指出的是，這個合適的特征函數的尋找并非易事.另外，同樣的方法可以推廣應用于其他帶有約化條件的孤立子方程，值得進一步繼續研究.