一類具有擴(kuò)散和時(shí)滯的Leslie-Gower反應(yīng)捕食系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)分析

蒲武軍

捕食者—食餌模型在數(shù)學(xué)生態(tài)學(xué)研究中具有十分重要的作用.最近，關(guān)于具有Leslie-Gower泛函反應(yīng)的捕食者—食餌模型的研究，取得了許多結(jié)果［1-5］，文獻(xiàn)［6］研究了如下的多時(shí)滯Leslie-Gower捕食者—食餌模型：

事實(shí)上，由于生物種群在空間上分布的不均勻性，物種之間相互擴(kuò)散顯然是一個(gè)不可忽視的現(xiàn)象，因此，研究帶有擴(kuò)散項(xiàng)的Leslie-Gower捕食系統(tǒng)具有一定的現(xiàn)實(shí)意義，受文獻(xiàn)［7］的啟發(fā)，本文擬討論如下具有時(shí)滯的反應(yīng)擴(kuò)散模型：

1 非負(fù)解的存在唯一性

2 持久性

定理2若r>K2，則對(duì)任意不恒為零的非 負(fù) 初 值 函 數(shù)(φ1(x,t),φ2(x,t))，存 在 正 常 數(shù)ε0=ε0(φ1,φ2)，系統(tǒng)（2）對(duì)應(yīng)的解滿足

證明 設(shè)φ1(x,t)≥0,φ2(x,t)≥0.由系統(tǒng)（2）的第一個(gè)方程可得

3 平衡點(diǎn)的全局穩(wěn)定性分析

顯然，系統(tǒng)（2）有三個(gè)平衡點(diǎn)，分別是

設(shè)0=λ1<λ2<…<λn<…是在Ω上具有齊次Neumann邊界條件的拉普拉斯算子Δ的特征值，E(λj)(j=1,2,…)是在C1(Ω)上對(duì)應(yīng)于特征值λi的特征函數(shù)空間.{φjl:l=1,…,dimE(λj)}是E(λj)的 標(biāo) 準(zhǔn) 正 交 基，X=[C1(Ω)]2,Xjl={hφjl:h∈ R2}.則

顯然，當(dāng)j=1時(shí)，平衡點(diǎn)E0和E1的特征方程均有一個(gè)正根ξ=p，因此平衡點(diǎn)E0和E1都不穩(wěn)定.以下只須討論系統(tǒng)（2）正平衡點(diǎn)E*的穩(wěn)定性即可.

定理3對(duì)任意的τ≥0，正平衡點(diǎn)E*全局漸近穩(wěn)定.

證明 定義Lyapunov函數(shù)

注意到，在正平衡點(diǎn)E*處u*2=u2，于是

4 結(jié)語

文章討論了一類具有擴(kuò)散和時(shí)滯的Leslie-Gower功能反應(yīng)捕食模型，學(xué)習(xí)了其動(dòng)力學(xué)行為，包括非負(fù)解的存在唯一性和持久性，正平衡點(diǎn)的全局漸近穩(wěn)定性，對(duì)進(jìn)一步研究具有擴(kuò)散的多時(shí)滯Leslie-Gower功能反應(yīng)捕食系統(tǒng)具有一定的借鑒意義.