空間目標光度測量的消光修正擬合

滿 意，楊輕云，陳 濤

（1. 中國科學院 長春光學精密機械與物理研究所，吉林 長春 130033；2. 中國科學院大學，北京 100049）

1 引 言

隨著航空航天技術的飛速發展，大量的航天設備被送上太空，用于通信、遙感、導航等方面［1-5］。與此同時，空間碎片等太空垃圾的數量也隨之急劇增加，它們可能會對在軌航天器造成不可估量的影響，因此空間目標的監測及管理對于太空安全非常重要，成為了目前的研究熱點［6］。在監管監測過程中，空間目標探測系統可以確定目標的尺寸和形狀等目標特性，并對空間目標進行分類［7］。然而，對于中高軌目標，難以直接通過高分辨率成像獲取目標信息，這時可以通過地基光學系統追蹤中高軌道目標，從而獲取其光度信息［8］。通過光度測量得到基于時間序列和基于相位角序列的光度曲線，用于反演目標的形狀和姿態［9-10］。

目前，CCD 是獲取空間目標光度信息的主要手段。基于CCD 測量星等的方法主要有對比法和標定法［11-12］。對比法是將在同一高角、背景以及仰角下獲取的待測目標的圖像和已知星等目標的圖像進行灰度級對比，從而獲取待測目標的星等。此方法每次測量都需要一個對比目標，計算復雜且無法同時測量多個目標。標定法是利用多顆不同方位和仰角的已知星等的恒星標定出標準零等星的灰度值，再將待測目標的灰度值與標準零等星的灰度值進行對比，從而獲取待測目標的星等。此方法無需對比目標，可以同時測量多個目標，是目前常用的方法。

起初的光度測量方法沒有考慮大氣消光所產生的影響，最終計算結果的測量誤差相對較大。后來考慮大氣消光的影響，利用經典的大氣透過率公式計算大氣消光的星等，采用修正后的星等數據進行計算，得到的測量精度較之前有了一定的提高［13］。但經典的大氣透過率公式是在一個理想環境下得到的公式，并不能很好地體現實際的大氣環境狀況，大氣透過率會受海拔等各方面因素的影響［14］。同時，上述方法在計算標準零等星灰度值時都是采用算術平均值的方法，無法有效地降低大氣不穩定所帶來的異常數據對最終計算結果的影響。

本文基于以往的CCD 光度測量方法，利用實際測量數據對計算過程中的消光修正進行擬合，同時改進計算標準零等星灰度值的方法，采用迭代求均值的方法替換算術平均值的方法［15］。改進后的算法提高了測量精度，計算結果更適用于反演目標的形狀和姿態。

2 測量原理

2.1 空間目標星等測量

空間目標反射太陽光產生亮度值，在天文學上用星等衡量空間目標的光度，規定1 等星的亮度是6 等星的100 倍［16］。當參考星為零等星時，未知星等的星A 的星等值ma可以表示為：

式中：G0為零等星的灰度值，Ga為未知星等星A的灰度值。

由式（1）可知，在已知星A 灰度值的情況下，只需知道零等星的灰度值就可以計算得到星A的星等值。計算零等星灰度值的公式為：

選取已知星等和灰度值的星即可通過式（2）計算出其相應的零等星的灰度值，選取多顆不同方位和不同仰角的恒星即可標定出標準零等星的灰度值。

2.2 經典大氣消光模型

大氣消光是指大氣對輻射能量產生了折射、吸收和散射，導致光輻射強度衰減，因此在空間目標的光度測量過程中會產生誤差。天頂角越大，輻射穿過的大氣層越厚，大氣消光所帶來的影響就越大，經典的大氣透過率公式為［13］：

其中：τ0=0.735 5，為在可見光范圍內的垂直大氣透過率，z為取弧度值的天頂角。消光星等xg的計算公式為：

因此在考慮經典大氣消光后，計算星A 的星等值ma的公式可以改進為：

計算零等星灰度值G0的公式改進為：

將τz/τ0記為消光修正系數τ，其計算公式為：

3 迭代法標定標準零等星灰度值

在測量空間目標星等的過程中，標準零等星灰度值是否準確很大程度上決定最終結果是否準確。標定標準零等星灰度值通常采取的方法為多次選取不同仰角不同方位的已知星等和灰度值的星，計算出它們各自所對應的零等星的灰度值，然后取算術平均值作為標準零等星的灰度值。然而，取算術平均值的方法受不穩定大氣的影響較大，當測量的恒星的灰度值出現異常時，標準零等星的灰度值會出現比較大的偏差。因此為了獲取更加準確的標準零等星的灰度值，本文對此過程進行改進，利用迭代法獲取均值［15］。迭代均值法計算標準零等星灰度值的流程如圖1所示。具體步驟如下：

（1）計算零等星的灰度算術平均值X1，同時找到數據中的最大值Xmax，將Xmax替換為X1；

（2）計算更新后的零等星的灰度算術平均值X2，同時找到數據中的最小值Xmin，將Xmin替換為X2；

（3）再次計算更新后的零等星的灰度值平均值X3，并轉到（1）進行迭代計算，直到數據的方差收斂為0。

4 消光修正擬合

在采用經典的大氣消光公式進行計算時，由于沒有充分考慮實際環境中消光的影響，最終的測量誤差較大。本文利用實測數據擬合光度測量過程中的消光修正系數τ，從而得到更符合實際情況的測量數據，具體步驟如下：

（1）建立自變量為仰角E、因變量為消光修正系數τ、多項式次數為N的擬合公式：

多項式擬合次數通常不高于5，根據以往的經驗及數據驗證，N=3 時擬合效果最佳，因此：

（2）選取多顆不同高角和方位、仰角為E、星等為ma、灰度值為Ga的星，利用式（2）計算出對應的零等星的灰度值。

（3）計算步驟（2）得到的零等星的灰度平均值，將它作為消光后的標準零等星的灰度值G0，然后將G0以及步驟（2）選取的星的星等ma和灰度值Ga帶入式（7），計算τ的值。

（4）將選取的星的仰角E和對應計算得到的τ值進行最小二乘擬合，從而得到多項式（9）的系數a0，a1，a2，a3，以及最終的擬合公式。

（5）將待測星的仰角帶入擬合公式（9）計算對應的τ值，再通過公式（5）計算出其星等值。

5 測量結果

測量條件如表1 所示。首先選取30 顆不同方位和仰角的恒星，分別采取不加消光、經典大氣消光和消光修正擬合3 種消光處理方法計算出相應零等星的灰度值，具體數據及計算結果如表2 所示。

表1 星等測量條件Tab.1 Magnitude measuring condition

表2 不同消光方法的零等星灰度值計算結果Tab.2 Calculation result of zero magnitude’s gray value with different extinction methods

在不同消光方法下分別采用求算術平均值和迭代均值兩種方法計算最終的標準零等星的灰度值，計算結果如表3 所示。

再選取10 顆不同方位和仰角的待測恒星進行光度測量，通過式（5）計算測量星等，計算時采用表3 中的標準零等星灰度值。然后與10 顆恒星的理論星等進行比較得出測量誤差。利用算術平均值計算的測量星等及誤差如表4 所示，利用迭代均值計算的測量星等及誤差如表5 所示。

表3 標準零等星灰度值計算結果Tab.3 Calculation result of standard“0”magnitude’s gray value

表4 取算術平均值時不同消光方法的光度測量結果Tab.4 Photometric measurement result of different extinction methods using arithmetic mean

表5 取迭代均值時不同方法下的光度測量結果Tab.5 Photometric measurement result of different extinction methods using iteration mean

測量精度σ為：

其中：Δmi為不同恒星對應的測量誤差，n為恒星數量，計算結果如表6 所示。

表6 測量精度計算結果Tab.6 Calculation result of measurement accuracy

由表6 可以看出，在相同的計算均值方法下，消光修正擬合方法的測量誤差最小，精度最高；在相同的消光處理方法下，迭代均值方法的測量誤差更小，精度更高；改進后的方法的測量精度可以達到0.11 個星等。

6 結 論

本文研究了基于CCD 的空間目標光度測量的方法，針對空間目標監測中的光度測量算法進行改進和優化。首先介紹了光度測量的基本原理以及經典大氣消光模型，然后分析了傳統方法存在的問題并提出了消光修正擬合方法。同時，采用迭代法替代算術平均法計算標準零等星的灰度值。最后，選取30 顆不同方位和仰角的恒星計算標準零等星的灰度值，再選取10 顆不同方位和仰角的恒星計算測量精度。實驗結果表明：優化后的光度測量算法的精度可以達到0.11 個星等，與之前算法相比測量精度更高，可為后續的姿態形狀反演提供更準確的數據。