立足考題建模　升華數學智慧

崔錫東 左效平

[原題再現]

例1（2020·湖北·孝感）如圖1，點E在正方形ABCD的邊CD上，將△ADE繞點A順時針旋轉90°到△ABF的位置，連接EF，過點A作EF的垂線，垂足為點H，與BC交于點G. 若BG = 3，CG = 2，則CE的長為（）.

A. [54]? ? ? ? ? B.? [154]? ? C. 4 D.? [92]

[方法解析]

解析：如圖2，連接EG，由旋轉得△ADE ≌ △ABF，

∴AE = AF，DE = BF，

∵AG⊥EF，∴H為EF的中點，

∴AG垂直平分EF，∴EG = FG，

設CE = x，則DE = 5 - x = BF，FG = BF + BG = 8 - x，∴EG = 8 - x，

∵∠C = 90°，∴在Rt△CEG中，[EG2=EC2+GC2]，

∴[（8-x）2=x2+22]，解得x = [154]，∴CE的長為[154]. 故選B.

[勤于積累]

方頂直角三角形模型：如圖1，兩直角三角形的公共頂點與正方形的頂點重合，兩直角三角形的直角頂點都是正方形的頂點，直角三角形的一直角邊是正方形的邊，另一直角邊在正方形的一邊或一邊的延長線上，直角三角形繞重合頂點旋轉90°，兩個直角三角形互相重合，就稱這兩個直角三角形是正方形的方頂直角三角形.

該模型特征：方頂直角三角形是全等三角形;方頂直角三角形是一個旋轉角為直角的旋轉圖形;旋轉生成的△AEF是等腰直角三角形，△GEF是等腰三角形;直線AG是線段EF的垂直平分線.

含半角模型（90°的半角）：∠EAG = 45°，如圖 1.

方頂直角三角形模型 + 含半角模型：如圖1，△AEG ≌ △AFG; 線段間的關系為GE = GF，DE = BF，GE = GB + DE;△GEC的周長是正方形周長的一半.

[變式思考]

變式1 生成混合模型，探求線段長

例2 如圖3，在邊長為6的正方形ABCD內作∠EAF = 45°，AE交BC于點E，AF交CD于點F，連接EF，將△ADF繞點A順時針旋轉90°得到△ABG. 若DF = 3，則BE的長為.

解析：由題意可得△ADF ≌ △ABG，

∴DF = BG，∠DAF = ∠BAG，

∵∠DAB = 90°，∠EAF = 45°，∴∠EAF = ∠EAG，

∴△EAG ≌ △EAF，∴GE = FE，

設BE = x，則GE = BG + BE = 3 + x，CE = 6 - x，

∴EF = 3 + x，

∵CD = 6，DF = 3，∴CF = 3，

∴[（6-x）2+32=（3+x）2]，

解得x = 2，即CE = 2.

故應填2.

變式2 構造方頂直角三角形模型，綜合解答

例3 如圖4，在邊長為4的正方形ABCD中，點E為對角線AC上一動點（點E與點A，C不重合），連接DE，作EF⊥DE交線段BA于點F，過點E作MN[?]BC，分別交CD，AB于點M，N，作線段DF交線段CA于點G.

（1）求證：EF = DE;

（2）當AF = 2時，求GE的長.

解析：（1）過點E作EH⊥AD于點H，如圖5，

易證四邊形EHAN是正方形，

△ENF，△EHD是正方形EHAN的方頂直角三角形，

則△ENF ≌ △EHD，所以EF = DE.

（2）過點G作GQ⊥AD于點Q，作GP⊥AB于點P，如圖6，

易證四邊形GQAP是正方形，

根據題意得FB = AF = 2，易證FN = NB = 1，

∴AN = AF + FN = 3，∴AE = [32]，

設GQ = GP = x，

∵[S△ADF] = [S△ADG] + [S△AGF]，

∴[12×4×2=12×4x+12×2x]，解得x = [43]，

∴AG = [432]，

∴GE = AE - AG = [32-432] = [532].