三個“一次”齊聚會

劉家良

有一類應用題，兼顧一次函數、一次方程（組）、一次不等式（組）三個方面的知識. 現舉兩例說明.

例1（2020·內蒙古·通遼）某服裝專賣店計劃購進A，B兩種型號的精品服裝. 已知2件A型服裝和3件B型服裝共需4 600元;1件A型服裝和2件B型服裝共需2 800元.（1）求A，B兩種型號服裝的單價;（2）專賣店要購進A，B兩種型號服裝60件，其中A型服裝的件數不少于B型服裝的件數的2倍，如果B型服裝打7.5折，那么該專賣店至少需要準備多少貨款？

分析：（1）根據購進服裝的單價、件數及費用，找出等量關系，列二元一次方程組求出A，B兩種型號服裝的單價;（2）設購進A型服裝m件，根據題意列出關于m的不等式，求出m的取值范圍，設專賣店準備的貨款為p元，根據題意得p關于m的一次函數式，再利用一次函數的增減性求最小值.

解：（1）設1件A型服裝x元，1件B型服裝y元，

根據購進服裝的單價、件數及費用，可列方程組為[2x+3y=4 600，x+2y=2 800，]解得[x=800，y=1000.]

即A，B兩種型號服裝的單價分別為800元、1000元.

（2）設購進A型服裝m件，則購進B型服裝（60-m）件，

根據題意得[m≥2（60-m），60-m>0，]解得40 ≤ m<60.

設專賣店準備的貨款為p元，則p = 800m + 1 000 × 0.75 × （60-m） = 50m + 45 000.

∵50 > 0，∴p隨m的增大而增大，

∴當m = 40時，y最小值= 50 × 40 + 45 000 = 47 000（元）. 因此該專賣店至少需要準備47 000元貨款.

點評：列一次函數式和列一次方程（組）一樣，都是根據題意尋找等量關系;列不等式，需捕捉題中隱含的帶不等關系的詞語，如題中的“不少于”.

例2（2020·貴州·安順）第33個國際禁毒日到來之際，貴陽市策劃了以“健康人生 綠色無毒”為主題的禁毒宣傳月活動，某班開展了此項活動的知識競賽. 學習委員為班級購買獎品后與生活委員對話如下. （1）請用方程的知識幫助學習委員計算一下，為什么說學習委員搞錯了;（2）學習委員連忙拿出發票，發現的確錯了，因為他還買了一本筆記本，但筆記本的單價已模糊不清，只能辨認出單價是小于10元的整數，那么筆記本的單價可能是多少元？

分析：（1）由題意知學習委員購買兩種鋼筆共用922元，根據兩種鋼筆的單價、數量（未知數）及費用之和建立方程，求出其中一種鋼筆的數量，若是小數，則可以判定學習委員搞錯了;（2）筆記本的單價和兩種鋼筆的數量都是未知的，由題意建立二元一次方程，然后轉化為一次函數，根據一次函數的增減性，確定筆記本的單價.

解：（1）設單價為6元的鋼筆買了[x]支，則單價為10元的鋼筆買了（[100-x]）支，

根據題意，得6x + 10（100 - x） = 1 300 - 378，解得x = 19.5.

因為鋼筆的數量不可能是小數，所以學習委員搞錯了.

（2）設筆記本的單價為y元，根據題意得y = 1 300 - 378 - 6x - 10（100 - x） = 4x - 78.

由題意可知0 < y < 10，∴[4x-78>0，4x-78<10.]解得19.5 < x < 22. ∵x取整數，∴x = 20，21.

當x = 20時，y = 2;當x = 21時，y = 6. ∴筆記本的單價可能是2元、6元.

點評：求筆記本的單價，實則是求函數y的值，而自變量x的值是未知的，怎樣解決這兩個未知量呢？由函數y的取值范圍求得x的范圍，再結合x為正整數的特點，求得x的值. 這是思維的新意所在，希望同學們多揣摩、多體會.

例3（2020·湖北·荊州·改編）為了抗擊新冠疫情，我市甲、乙兩廠積極生產了某種防疫物資共500噸，乙廠的生產量比甲廠多100噸. 這批防疫物資將運往A地240噸，B地260噸，運費如右表（單位：元/噸）.（1）求甲、乙兩廠各生產多少噸;（2）設這批物資從甲廠運往A地x噸，全部運往A，B兩地的總運費為y元，求y與x之間的函數關系式，并設計使總運費最少的調運方案;（3）當每噸運費均降低p元時，按（2）中設計的調運方案運輸，總運費不超過5 040元，求p的最小值.

分析：（1）根據甲、乙兩廠產量的關系及其產量之和建立方程組，解得兩廠產量;（2）根據兩廠分別運往兩地的數量及單價費用，結合（1），建立y與x之間的函數關系式，再結合題意求得x的取值范圍，根據一次函數增減性得總運費最少的調運方案;（3）由總運費不超過5 040元建立未知數為p的不等式，求解集，得p的最小值.

解：（1）設甲廠生產a噸，乙廠生產b噸，則[a+b=500，a+100=b，]解得[a=200，b=300.]

即這批防疫物資甲廠生產了200噸，乙廠生產了300噸.

（2）由題意，得y=20x + 25 （200 - x） + 15（240 - x） + 24[260 - （200 - x）]=4x + 10 040.

由題意得[x≥0，240-x≥0，200-x≥0，x+60≥0.]解得0 ≤ x ≤ 200. ∵4 > 0，∴y隨x的增大而增大，

∴當x = 0時，y值最小，即總運費最少. ∴總運費最少的調運方案為：甲廠的200噸物資全部運往B地，乙廠運往A地240噸，運往B地60噸.

（3）由題意得（20 - p） × 0 + （25 - p）（200 - 0） + （15 - p）（240 - 0） + （24 - p）[260 - （200 - 0）] ≤ 5 040，解得p ≥ 10. ∴p的最小值為10.

點評：不等式組的解集提供了一次函數的自變量x的取值范圍，為求一次函數的最值提供了條件，而求一次函數的最值往往又是獲取各類最佳方案的切入點.