一題多解 好題好“玩”

陸青

[原題再現(xiàn)]

例（2020·北京·石景山·期末試卷·第27題）如圖1，在△ABC中，AC = 2AB = 6，BC = [33]，AC的垂直平分線分別交AC，BC于點(diǎn)D，E.

（1）求BE的長(zhǎng);

（2）延長(zhǎng)DE交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接CF. 若M是DF上一動(dòng)點(diǎn)，N是CF上一動(dòng)點(diǎn)，請(qǐng)直接寫(xiě)出CM + MN的最小值為 .

[思路分析]

問(wèn)題（1）的解題思路可分為如下四步：

①觀察猜想并證明△ABC是直角三角形（證明過(guò)程略）.

②在Rt△ABC中，AC = 2AB，連接BD，如圖2，

可證得△ABD為等邊三角形，易證∠C = 30°.

③由線段垂直平分線的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)等相關(guān)知識(shí)可證BE = DE.

方法1：應(yīng)用三角形全等

如圖3，連接AE，

∵DE垂直平分AC，∴AD = CD = 3，

∴AB = AD，∠ABE = ∠ADE = 90°.

在Rt△ABE和Rt△ADE中，[AB=AD]，[AE=AE]，

∴△ABE ≌ △ADE（HL），∴BE = DE.

方法2：應(yīng)用角平分線性質(zhì)

如圖4，連接AE，

∵DE垂直平分AC，∴AD = DC = 3，∵AC = 2AB = 6，∴AB = AD = 3.

∵AD⊥ED，AB⊥EB，∴∠1 = ∠2，

∴90° - ∠1 = 90° - ∠2，即∠3 = ∠4，∴BE = DE.

方法3：應(yīng)用等角對(duì)等邊

如圖2，由上可知△ABD為等邊三角形，且∠C = 30°，

∴∠CBD = 90° - ∠ABD = 30°，∠CED = 90° - ∠C = 60°，

∴∠BDE = 30°， ∴∠BDE = ∠CBD，∴BE = DE.

④結(jié)合勾股定理、30°角、面積法、列方程等相關(guān)知識(shí)和方法求解BE的長(zhǎng).

方法1：由勾股定理列方程

如圖3，已證得BE = DE，設(shè)BE為x， 則DE = x，EC = [33-x].

在Rt△CED中，[32+x2=（33-x）2]，解得[x=3]，∴BE的長(zhǎng)為[3].

（注：也可在Rt△ABE中，由勾股定理列方程，請(qǐng)同學(xué)們嘗試求解.）

反思：在直角三角形中，有關(guān)求邊長(zhǎng)的問(wèn)題，常常可以通過(guò)勾股定理建立等量關(guān)系，再解方程，即可求出相應(yīng)的邊長(zhǎng).

方法2：應(yīng)用面積法

如圖3，已證得BE = DE.設(shè)BE為x，則DE = x.

∵[S△ABE+S△AEC=S△ABC]，∴[3x2+6x2=12×3×33]，解得[x=3]. ∴BE的長(zhǎng)為[3].

（注：也可由[S△AEC=] [12CE·AB=12AC·DE]求解，請(qǐng)同學(xué)們嘗試.）

反思：在三角形中，如果出現(xiàn)垂直或高這樣的條件，“面積法”是一個(gè)值得考慮的方法.

方法3：應(yīng)用“直角三角形中，30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半”

如圖2，已證得∠C = 30°，BE = DE.設(shè)BE為x，則 EC = [33-x].

在Rt△CED中，∠C = 30°，∴DE = [12]CE，

∴[x=12（33-x）]，解得[x=3].∴BE的長(zhǎng)為[3].

（注：如圖5，可證得△ABE ≌ △ADE ≌ △CDE，則∠BAE = ∠DAE = ∠C = 90° [× 13] = 30°，在Rt△ABE中，設(shè)BE為x，根據(jù)“直角三角形中，30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半”可知AE = 2x，由勾股定理列方程即可求解.）

方法4：應(yīng)用等邊三角形的性質(zhì)

如圖6，已證∠C = 30°，BE = DE，作DF = DE.

又∵∠CBD = 30°，∠CED = 60°，∴∠CBD = ∠BDE = ∠FDC = ∠C，

∴△BED為等腰三角形，△DEF為等邊三角形，△CFD為等腰三角形.

∴BE = EF = FC.∴BE = [13]BC = [3].

反思：借助“直角三角形中，30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半”列方程，解方程可求邊長(zhǎng).

方法5：應(yīng)用等邊三角形重心的性質(zhì)

如圖7，易證∠BAC = 60°.延長(zhǎng)AB到F，使BF = AB，連接CF.

∵AC = 2AB，∴AF = AC，∴△ACF為等邊三角形. 已證AD = DC，∴FD⊥AC，

∵ED⊥AC，∴F，E，D三點(diǎn)共線.

∵FD，CB分別為△ACF的中線，∴點(diǎn)E為等邊三角形ACF的重心，

∴BE = [13]BC = [3].

反思：利用圖形的特殊性，構(gòu)造等邊三角形，借助三角形重心的性質(zhì)，即可求解.

方法6：平面直角坐標(biāo)系的應(yīng)用

如圖8，以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，BC所在直線為x軸，AB所在直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，

則點(diǎn)A（0，3），點(diǎn)C（3[3]，0），點(diǎn)D [332，32]，

設(shè)直線AC的函數(shù)表達(dá)式為[y=kx+b]，

則 [3=b，0=33k+b，]解得[k=-33，b=3，]∴[y=-33x+3].

設(shè)直線DE的函數(shù)表達(dá)式為[y=nx+m]，

∵直線DE垂直于直線AC，∴[n=3].

∴[32=3×332+m]，解得[m=-3]，∴[y=3x-3].

當(dāng)[y=0]時(shí)，[x=3].∴點(diǎn)E（[3]，0），∴BE =[ 3].

反思：將圖形放在平面直角坐標(biāo)系中，賦予它新的生命——圖象，通過(guò)圖象之間的位置關(guān)系，確定函數(shù)表達(dá)式，從而解決問(wèn)題.

問(wèn)題（2）的解題思路如下：

根據(jù)題意補(bǔ)全圖形（如圖9），這是“將軍飲馬”模型，是雙動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題.

因?yàn)镈F垂直平分AC，所以FC，F(xiàn)A關(guān)于直線FD對(duì)稱. 如圖10，在AF上可找到點(diǎn)N關(guān)于直線FD的對(duì)稱點(diǎn)N'. 根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”，C，M，N'必須在同一直線上. 由“垂線段最短”可知，當(dāng)CN'⊥AF時(shí)，CN'最短. 此時(shí)，CN' = CB = [33]，因此CM + MN的最小值為[33].

[A][B][F][E][N][C][D][（M）][（N'）] [A][B][F][E][N][C][D][M][圖10][圖9]

[反思感悟]

本考題背景不算復(fù)雜，解決問(wèn)題的入口很多，同學(xué)們用自己熟悉或擅長(zhǎng)的三角形的某一方面知識(shí)，都能解得結(jié)果. 如：全等三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理及其逆定理，線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等，角平分線上一點(diǎn)到角的兩邊的距離相等，到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上，等腰三角形的性質(zhì)與判定，等邊三角形的性質(zhì)與判定，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，直角三角形中30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，等等.

解數(shù)學(xué)題不能只滿足于求出答案，還要會(huì)“玩”. 一個(gè)問(wèn)題居然有如此多種解法，解了這一道題，竟復(fù)習(xí)了全章，通了一片，會(huì)了一類(lèi). 由不同的切入點(diǎn)能找出不同的方法，如此“玩”題，你會(huì)發(fā)現(xiàn)做數(shù)學(xué)題真的很有趣，慢慢地，你會(huì)越來(lái)越自信，解題容易了，能力提升了，成績(jī)就會(huì)越來(lái)越好.

（作者單位：南京師范大學(xué)附屬中學(xué)江寧分校）