有序化原則的應(yīng)用

雷添淇

面對(duì)多個(gè)元素或多種情況需要分類(lèi)討論時(shí)，有序思考可以使解題思路清晰且不缺不漏. 現(xiàn)以一道“中小學(xué)數(shù)學(xué)創(chuàng)新應(yīng)用大賽”試題為例，說(shuō)明有序化原則在解題中的應(yīng)用.

例（第8屆八年級(jí)復(fù)賽）定義一：若一個(gè)多邊形的所有邊中，任意一條邊向兩方無(wú)限延長(zhǎng)成為一直線時(shí)，其他各邊都在此直線的同旁，那么這個(gè)多邊形叫做凸多邊形;定義二：若一個(gè)多邊形中某個(gè)頂點(diǎn)與其他頂點(diǎn)的距離相等，則這個(gè)多邊形叫做等距多邊形，這個(gè)頂點(diǎn)叫做多邊形的等距點(diǎn). 如圖1，在5 × 5的網(wǎng)格中有A，B兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A，B作等距四邊形，使得點(diǎn)B為等距點(diǎn)的等距凸四邊形有個(gè). （四邊形各個(gè)頂點(diǎn)均落在格點(diǎn)上）

解析：要數(shù)圖2中的線段數(shù)，需要從左到右數(shù)起，首先以A為起點(diǎn)有AB，AC，AD，AE;然后跨過(guò)A，以B為起點(diǎn)有BC，BD，BE;接著跨過(guò)B，以C為起點(diǎn)有CD，CE;最后是DE. 而將數(shù)線段轉(zhuǎn)換為數(shù)等距四邊形，遵循有序化原則求解即可. 在圖1的網(wǎng)格中找到所有潛在格點(diǎn)C，D，E，F(xiàn)，G，H，I，如圖3所示. 此題即為：在這七個(gè)點(diǎn)中選出兩個(gè)與A，B組成以B為等距點(diǎn)的等距凸四邊形有多少個(gè)？

遵循有序性原則，按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，依次觀察. 含有C：BAC-D，BAC-E，BAC-F（三角形，舍），BAC-G（三角形，舍）， BAC-H，BAC-I;跨過(guò)C且含有D：BAD-E，BAD-F（三角形，舍），BAD-G（凹四邊形，舍），BAD-H（三角形，舍），BAD-I;跨過(guò)D且含有E：無(wú)（三角形或凹四邊形，舍）;跨過(guò)E，F(xiàn)（A，B，F(xiàn)三點(diǎn)共線）且含有G：BAG-H，BAG-I;跨過(guò)G且含有H：BAH-I;跨過(guò)H：只剩I點(diǎn)，無(wú)四邊形. 綜上所述，共有9個(gè)滿足條件的等距凸四邊形. 故應(yīng)填9.

[同類(lèi)演練]

1. （第6屆八年級(jí)初賽）方程[x+1+x+99+x+2=2017]共有個(gè)解.

2. （第6屆七年級(jí)初賽）求滿足條件[abc=5a+b+c]的所有三元質(zhì)數(shù)數(shù)組[（a，b，c）].

答案：1. 2

2. 滿足條件的三元質(zhì)數(shù)數(shù)組共六個(gè)，分別為（2，5，7）（2，7，5）（5，2，7）（7，2，5）（5，7，2）（7，5，2）.

（全國(guó)中小學(xué)數(shù)學(xué)創(chuàng)新應(yīng)用大賽組委會(huì)供稿）