波利亞“怎樣解題”理論指導(dǎo)下的一次教學(xué)實(shí)踐

胡宇

摘要：培養(yǎng)學(xué)生解題能力是數(shù)學(xué)教育的核心，也是貫穿于教學(xué)始終的一項(xiàng)基本任務(wù)。本文以一道經(jīng)典的“線段和的最小值問(wèn)題”為例，展示了波利亞“怎樣解題”理論中“弄清問(wèn)題、擬訂計(jì)劃、實(shí)現(xiàn)計(jì)劃、回顧反思”四個(gè)步驟。從核心素養(yǎng)培養(yǎng)的視角來(lái)看，在數(shù)學(xué)教學(xué)中貫徹波利亞“怎樣解題”理論，有助于學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光發(fā)現(xiàn)問(wèn)題并提出問(wèn)題，用數(shù)學(xué)的思維分析問(wèn)題，用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)問(wèn)題并解決問(wèn)題，從而進(jìn)一步理解其數(shù)學(xué)本質(zhì)。

關(guān)鍵詞：弄清問(wèn)題? 擬訂計(jì)劃? 實(shí)現(xiàn)計(jì)劃? 回顧反思

解題即解決問(wèn)題，是數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)的核心。波利亞“怎樣解題”理論把解題過(guò)程分成四個(gè)步驟，即弄清問(wèn)題、擬訂計(jì)劃、實(shí)現(xiàn)計(jì)劃、回顧反思，每一個(gè)步驟分別由多個(gè)具體的子部分組成。這一理論注重引導(dǎo)學(xué)生首先弄清問(wèn)題，分析條件和結(jié)論，接著擬訂計(jì)劃，探索條件和結(jié)論之間的聯(lián)系，最后實(shí)現(xiàn)計(jì)劃，及時(shí)回顧反思，并嘗試改變條件或結(jié)論，將問(wèn)題推廣，從而使學(xué)生進(jìn)一步理解其數(shù)學(xué)本質(zhì)。

筆者結(jié)合校內(nèi)教研課例《線段和的最小值問(wèn)題》，基于波利亞“怎樣解題”理論指導(dǎo)下的一次初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)實(shí)踐活動(dòng)，談一談自己的一些思考。

一、問(wèn)題呈現(xiàn)

如圖1，∠MON=30°，點(diǎn)A，C分別是邊ON，OM上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)B在ON上，OB=2，求AC+BC的最小值。

本題屬于平面幾何中線段和的最小值問(wèn)題，對(duì)于初中生來(lái)說(shuō)是棘手問(wèn)題之一，也是中考數(shù)學(xué)命題熱點(diǎn)之一。此類問(wèn)題經(jīng)常出現(xiàn)于各省市中考試題中，出題主要有角、三角形、四邊形、圓、函數(shù)等，基本解題思路是：注意觀察動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律或存在的特殊位置，可以先把一個(gè)動(dòng)點(diǎn)看作定點(diǎn)，化“動(dòng)”為“靜”;然后找出定點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，通過(guò)對(duì)稱化“折”為“直”，化“散”為“集”;再與勾股定理聯(lián)系在一起，求出線段的長(zhǎng);依據(jù)垂線段最短，進(jìn)而得到線段和的最小值。

二、教學(xué)實(shí)錄

活動(dòng)1 弄清問(wèn)題

師：題目已知什么，求什么？

生1：已知∠MON=30°，點(diǎn)A、點(diǎn)C是動(dòng)點(diǎn)，OB=2。

生2：求AC+BC的最小值。

師：求線段的最小值，也就是最值問(wèn)題，以前我們有過(guò)這樣的解題經(jīng)歷嗎？是利用什么解決的？

生1：兩點(diǎn)之間線段最短。

生2：垂線段最短。

生2：利用最短路徑求解，如圖2所示。

活動(dòng)2 擬訂計(jì)劃

師：我們進(jìn)行怎樣的轉(zhuǎn)化，利用它們就能求出AC+BC的最小值呢？

師：點(diǎn)A、點(diǎn)C都是動(dòng)點(diǎn)，可不可以先把一個(gè)點(diǎn)固定，讓另一個(gè)點(diǎn)為動(dòng)點(diǎn)？

生1：固定點(diǎn)C。

生2：固定點(diǎn)A。

學(xué)生思考，分小組合作、交流，制訂解決方案，教師巡視指導(dǎo)。

活動(dòng)3 實(shí)現(xiàn)計(jì)劃

生：固定點(diǎn)C，如圖3所示。

師：此時(shí)BC長(zhǎng)固定，要使AC+BC的值最小，需要AC長(zhǎng)最小即可，怎么辦？

生：過(guò)點(diǎn)C作ON的垂線段CA。

師：按照這個(gè)思路，C點(diǎn)變化，BC+AC的值也發(fā)生變化嗎？

生1：變化。

生2：BC與OM垂直時(shí)，AC+BC的值最小。

師：這種情況下AC+BC的值最小嗎？

生：不一定。

師：下面，我們換另一個(gè)點(diǎn)A，再試著思考。

生1：固定點(diǎn)A，如圖4所示。

生2：轉(zhuǎn)化為最短路徑問(wèn)題了。

師：我們現(xiàn)在可以解決問(wèn)題嗎？

生：作A點(diǎn)關(guān)于直線OM的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接BA′，與OM交于C點(diǎn)，連接AC，AC+BC的值最小。

師：A點(diǎn)其實(shí)是一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，這種做法能不能進(jìn)行改進(jìn)？

生：作B點(diǎn)關(guān)于直線OM的對(duì)稱點(diǎn)就可以了。

師：是的，如圖4右圖，AC+BC的值就是B′A的長(zhǎng)。想一想什么情況下它的值最小。

生：B′A與OB垂直時(shí)最小。

師：你能算出這個(gè)值嗎？

生：利用勾股定理，可得3。

活動(dòng)4 回顧反思

師：請(qǐng)重新敘述題目已知什么和求什么，是怎樣計(jì)算出結(jié)果的。

生：……

師：本節(jié)課，我們學(xué)習(xí)了哪些數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)思想方法？

生1：利用數(shù)學(xué)基本事實(shí)和最短路徑模型求出線段和的最小值。

生2：轉(zhuǎn)化思想、模型思想。

師：把這個(gè)問(wèn)題進(jìn)行變形，能不能求出BC+AB或AC+BC+AB的最小值？同學(xué)們接著進(jìn)行思考和總結(jié)。

生：……

三、幾點(diǎn)思考

（一）以生為本，注重探究

對(duì)于當(dāng)前的基礎(chǔ)教育，專家強(qiáng)調(diào)：教師要立足教材，還原課堂的本色，展現(xiàn)學(xué)生的個(gè)性，關(guān)注學(xué)生人格的養(yǎng)成，讓學(xué)生充分發(fā)揮自己的主動(dòng)性和能動(dòng)性。可見(jiàn)，我們的課堂教學(xué)應(yīng)該回歸本真，力求簡(jiǎn)潔和實(shí)效。本節(jié)課僅安排了一個(gè)主要問(wèn)題，充分詮釋了這一理念。教師開(kāi)門見(jiàn)山地出示問(wèn)題，以問(wèn)題為載體，從學(xué)生已經(jīng)掌握的數(shù)學(xué)知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生從待求問(wèn)題聯(lián)想到最短路徑幾何模型，運(yùn)用數(shù)學(xué)公理“兩點(diǎn)之間線段最短”和“垂線段最短”，依據(jù)模型化動(dòng)為靜，再聯(lián)系勾股定理求出線段的長(zhǎng)，從而得到線段和的最小值。在“分析問(wèn)題”教學(xué)過(guò)程中，學(xué)生結(jié)合已經(jīng)掌握的數(shù)學(xué)知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)、思維和靈感參與課堂活動(dòng)全過(guò)程，嘗試畫(huà)一畫(huà)、議一議、做一做。教師引導(dǎo)每一位學(xué)生動(dòng)腦、動(dòng)手、動(dòng)口，進(jìn)行展示與交流。一系列的探究交流活動(dòng)，讓學(xué)生主動(dòng)思考與討論，交流收獲與體會(huì)，逐步感悟數(shù)學(xué)思想方法，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

（二）經(jīng)歷過(guò)程，關(guān)注生成

“生成”是課程改革倡導(dǎo)的一個(gè)重要的教學(xué)理念。數(shù)學(xué)教師的任務(wù)不僅僅是教給學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)，更重要的是培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，使其感悟數(shù)學(xué)知識(shí)的生成過(guò)程，讓枯燥的數(shù)學(xué)知識(shí)變得鮮活。本節(jié)課教師首先引導(dǎo)學(xué)生明確題目已知什么、待求什么，讓學(xué)生養(yǎng)成“聚焦”“標(biāo)注”關(guān)鍵條件的審題習(xí)慣。然后讓學(xué)生分組合作、交流討論，擬訂解決方案。教師引導(dǎo)學(xué)生明確解題思路，根據(jù)“有什么”，確定“要什么”，把握“做什么”。接著學(xué)生實(shí)行計(jì)劃，給出解題過(guò)程，若過(guò)程中出錯(cuò)或思維受阻，及時(shí)進(jìn)行方案或計(jì)劃的調(diào)整，并檢驗(yàn)每一步保證都正確，直到問(wèn)題解決。最后學(xué)生回顧反思，從知識(shí)、思想、方法、基本模型、解題策略等角度進(jìn)行總結(jié)，明確問(wèn)題本質(zhì)，并思考其他解法（即一題多解），同時(shí)學(xué)生從條件、結(jié)論入手，延伸、改編問(wèn)題，或提出新問(wèn)題（即一題多變，多題歸一）。在“解決問(wèn)題”教學(xué)過(guò)程中，既有解決問(wèn)題前的分析——弄清條件與結(jié)論，明確解決思路，又有解決問(wèn)題后的反思——積淀轉(zhuǎn)化問(wèn)題的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，感悟問(wèn)題中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法和核心素養(yǎng)。既有教師引導(dǎo)下學(xué)生的思考與交流，又有教師的經(jīng)典性評(píng)析。這一過(guò)程極大地促進(jìn)了學(xué)生數(shù)學(xué)能力的提高。

（三）促進(jìn)發(fā)展，落實(shí)素養(yǎng)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》把問(wèn)題解決作為課程目標(biāo)之一，并指出：要使學(xué)生獲得分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的一些基本方法，體驗(yàn)解決問(wèn)題方法的多樣性，發(fā)展創(chuàng)新意識(shí)。數(shù)學(xué)解題是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的核心活動(dòng)，是數(shù)學(xué)思維的實(shí)質(zhì)化，解題的核心價(jià)值就是運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)。解題教學(xué)如果僅限于教會(huì)學(xué)生解課堂上的題目，不能舉一反三，學(xué)生就會(huì)陷入茫茫題海，導(dǎo)致思維固化，漸漸失去學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。根據(jù)波利亞“怎樣解題”理論，只有引導(dǎo)學(xué)生深入了解問(wèn)題中的已知條件，分析已知條件和待求結(jié)論的內(nèi)在聯(lián)系，把握解決問(wèn)題的關(guān)鍵所在，才能把握每一類數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)。教學(xué)中，教師不能只關(guān)注題目的結(jié)果，更應(yīng)該了解學(xué)生的思維方式和思路的形成過(guò)程。學(xué)生在解決問(wèn)題的每一次思維過(guò)程中，不斷體驗(yàn)基本數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，獲得基本數(shù)學(xué)思想方法，發(fā)展綜合能力。

波利亞“怎樣解題”理論在數(shù)學(xué)教材中并沒(méi)有明顯地呈現(xiàn)出來(lái)，但在大多數(shù)情況下，它隱含于數(shù)學(xué)知識(shí)和問(wèn)題解決的過(guò)程中，需要教師不斷地進(jìn)行提煉和概括。在課堂教學(xué)中，教師應(yīng)當(dāng)設(shè)計(jì)有效的數(shù)學(xué)活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生提煉問(wèn)題情境，檢索數(shù)學(xué)知識(shí)，激活解題思路，不斷地反思解題過(guò)程。在解決問(wèn)題的過(guò)程中，既培養(yǎng)學(xué)生良好的思維習(xí)慣，使其學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)的技能，理解數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)，又給學(xué)生提供可應(yīng)用于其他學(xué)科的推理方法，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，從而促進(jìn)學(xué)生的全面發(fā)展。

參考文獻(xiàn)：

[1]G.波利亞.怎樣解題[M].上海：上海科技教育出版社，2007年.

[2]中華人民共和國(guó)教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.