基于新課程改革的三角函數概念教學案例

張偉

一、課例背景分析

在舊教材中，三角函數的概念是從初中銳角三角函數的概念出發，逐步導出任意角的三角函數。通過坐標化，將三角函數的定義引導到sin?=?，cos?=?，tan?=?（x≠0）上進行表述，再將這一定義推廣到任意角也適用的情況，這樣得到了任意角的三角函數。這種定義的引入的優點是從學生熟悉的知識點出發，學生易于接受。但從函數定義的角度看，將銳角的情況直接推廣到任意角的情況，基于數學定義的嚴謹度來說是不夠的。

而新教材中，三角函數概念的引入是從刻畫單位圓上點逆時針旋轉時的位置變化入手，建立函數關系。在直角坐標系中，角的終邊從初始位置開始旋轉到一定位置，它與單位圓交點的坐標唯一確定，從而形成了角一定，則相應的終邊與單位圓交點的坐標一定，從而構成了函數關系。之后三角函數給出定義sin?=y，cos?=x，tan?=?（x≠0）。這樣的定義方式，從函數的角度來說是最嚴謹的，但缺點是學生一開始會對這個函數比較陌生，需要通過在銳角情況下和初中的三角函數定義比較，學生才明白這個函數就是以前銳角三角函數定義的推廣。進一步探究角的終邊上除頂點外的任意一點計算三角函數的方法，從而更深入地理解三角函數。

新教材的概念引入有兩個優點：一是函數的定義更加自然，而且單位圓的定義方法在之后的學習中有更廣泛的應用（比如已知三角函數值的范圍，求角的范圍）;二是便于從現實問題情境引入（比如摩天輪引入三角函數），這也體現了新課標中數學應用性的理念。

二、教學案例

1.?情景引入

展示圖片，提問：二次函數可以刻畫籃球的運動軌跡，指數函數可以刻畫細胞的分裂次數與細胞數的關系，生活中的周期現象應如何刻畫？現在我們需要尋找新的函數模型。突出三角函數是刻畫周期現象的重要模型，體現函數的重要性，定義新函數的必要性。

2.?數學建模

摩天輪是我們常見的建筑，如何刻畫它上面某個客艙的位置變化情況呢？這就需要建立平面直角坐標系。將一個實際問題轉化為一個數學問題，這就是數學建模。

模型假設和簡化：抽象出動點P在單位圓O上的運動。

建系：以單位圓的圓心O為原點，以射線OA為x軸的非負半軸，建立直角坐標系，點A的坐標為（1，0），點P的坐標為（x，y）。摩天輪轉動時，OA為始邊，OP為終邊，形成一個角?。我們可以借助?刻畫點P的位置變化。

探究：在點P的運動過程中，尋找變化規律。

確定→點P位置確定→點P坐標確定→點P橫坐標（縱坐標）確定。

強調角?是自變量，點P的橫（縱）坐標是函數值。說明點P的橫坐標，縱坐標都是角?的函數。構建三角函數的概念，是一個在一般函數概念指導下的探究活動。

3.?三角函數的概念

三角函數的定義：設?是一個任意角，它的終邊OP與單位圓交于點P（x，y），那么：

把P的縱坐標y叫做?的正弦函數，記作sin?，即y=sin?;

把P的橫坐標x叫做?的余弦函數，記作cos?，即x=cos?;

我們將正弦函數、余弦函數都稱為三角函數，通常將它們記作：正弦函數y=sinx，x∈R;余弦函數y=cosx，x∈R。

探究：初中時我們用直角三角形定義了銳角三角函數，與用單位圓定義是否一致？

4.?例題分析

例1：求角?π的正弦、余弦值。

從具體題目出發，傳授知識與技能。學生缺少解析幾何中直線與圓的認知，在求特殊角的三角函數值時，需要借助銳角的三角函數值求交點的橫（縱）坐標的絕對值。

例2：設?是一個任意角，它的終邊上一點P（不與原點O重合）的坐標為（x，y），點P與原點的距離為r，求證：sin?=?，cos?=?。

將三角函數的定義從形（單位圓）到數（坐標的比）的抽象。培養學生分類討論的數學思想，提高數學抽象的能力。

5.?思考

x≠0時，?是不是一個確定的數？可以用它定義一個新的函數嗎？

激發學生學習欲望，類比探究，通過正切函數，讓學生體會下位學習方式。

6.?小結及布置作業（略）

三、教學反思

構建三角函數的概念，是一個數學化的過程，是一個在一般函數概念指導下的探究活動。其思路是先確認“這樣的對應關系是函數”，然后給出形式化定義。“下位學習”不僅使三角函數定義的自然引入達到了水到渠成的效果，而且三角函數對應關系的獨特性，可以使學生再一次認識函數的本質。

為了實現“借助單位圓建立任意角三角函數的概念”的教學目標，本節課從實際生活中的摩天輪出發，抽象出動點在單位圓上運動的數學模型，探究點的坐標與角之間的對應關系，培養了學生數學建模和數學抽象等核心素養。探究動點P的相對位置也可以用角度，但是角度的測量不太方便，所以想用另一個辦法反映這種相對位置——轉化為長度，這是三角函數之實用性的體現。

除此之外，本節課也帶給學生對單位圓的認知。在求特殊角的三角函數值時，需要借助銳角的三角函數值，而任意角的三角函數是銳角三角函數的推廣，從初中在直角三角形中的定義到高中在單位圓中的定義，體現了從圖形到代數的抽象過程。在單位圓中定義三角函數體現了數形結合的數學思想，也為后面的相關課程打下了良好基礎。

在授課方式方面，本節課通過小組合作交流，倡導學生主動參與課堂，培養團隊合作意識。課堂上重點講解了正弦與余弦函數，突出重難點，學生易于接受和理解。而正切的定義以課后思考題形式留給學生，讓學生體會知識的構建過程，培養學生不斷探索的科學精神。