高中數學建模素養的教學認知及啟示

侯寶坤

摘? ?要

數學建模既是六大數學學科核心素養之一，也是融合其他數學核心素養的綜合教學方式。數學建模教學理念提倡實行建模活動的全過程教學和現實、數學、智能計算三個世界的融合教學;數學建模教學過程中要關注形成基礎、研究范式、核心主題和價值旨向。高中數學建模教學應以實際問題和結構化的數學知識為依托，讓學生充分認識和理解數學建模學習的方式，實現數學核心素養的綜合培養。

關鍵詞

數學建模? 教學認知? 核心素養

數學建模從20世紀80年代走入大學課堂，歷經40余年的發展，已經有相對成熟的理論框架和教學實踐，也體現了數學建模對促進數學知識的理解和跨學科融合上的重要價值。當今，數學應用已經滲透到現代社會的各個方面，數學應用的領域也在迅速擴張，電子信息、計算機科學和人工智能的迅猛發展，使中學生接觸到了大量跨學科信息，獲取數據和處理數據的能力也得到大幅提升，使數學建模在中學開展有了堅實的基礎和廣闊的空間?！镀胀ǜ咧袛祵W課程標準（2017）》（以下簡稱“新課標”）將“數學建?！弊鳛榱蠛诵乃仞B之一，是順應時代發展潮流的必然，也是數學發展的必然。我們統計了2020.11-2021.4知網上共50篇高中教師的數學建模文章發現，只有4篇較完整地體現了數學建模過程[1-4]，其余文章討論多集中在課本、高考應用題的考查理解層面上，應試痕跡明顯，數學建模教學存在明顯不足。

一、高中數學建模教學存在的不足

1.缺少數學建模的全過程教學

數學建模已經作為核心素養進入課標，但中學教師和學生還沒有適應，數學建模教學還停留在數學應用題上，整體處于“已知模型和數學求解”的“掐頭去尾燒中段”的狀態，是一個封閉式的解題訓練。沒有實現數學建模的全過程教學，“建立模型”的缺失，使其本來思維開放、多學科融合的特征喪失，教育教學的價值大打折扣;“檢驗與改進”的缺失，打斷了學生數學思維的發展，不利于培養學生的科學精神和嚴謹的學術習慣;對核心素養的綜合培育功能淡化，教學容易陷進題海的泥沼。

2.缺乏智能計算思維的有機參與

我國許多大學相繼設置了數學建模及智能計算課程，通過利用智能技術幫助解決數學建模問題，體現了智能技術與數學的融合，促進了數學建模問題的解決。中學數學建模教學剛剛起步，教師對智能計算思維知之甚少，建模教學中很少與信息技術融合，也很少滲透智能計算思維，還習慣紙筆運算或者加入計算器運算，對復雜的問題無法有效完成建模分析，使建模教學只能在比較簡單的知識層面進行，影響數學建模在核心素養培育上的綜合表現。

二、數學建模的教學認知

1.對高中數學建模教學理念的認知

（1）施行全過程式建模教學，實現核心素養的融合式培育

新課標對數學建模的具體描述為：數學建模是對現實問題進行數學抽象，用數學語言表達問題、用數學方法構建模型解決問題的素養。數學建模過程主要包括在實際情境中從數學的視角發現問題、提出問題，分析問題、建立模型，確定參數、計算求解，檢驗結果、改進模型，最終解決實際問題[5]。數學建?；顒拥幕具^程如圖1。

從新課標對數學建模的描述可以感受到，數學建模和其他五個核心素養直接關聯。對現實問題進行數學表達并提出問題需要數學抽象和邏輯推理;建立數學模型的過程需要對圖表、數據有直觀的感悟和細致的分析、整理，需要敏銳的直觀想象;確定參數、求解的過程中需要邏輯推理和數學運算;對模型結論的分析、修正、預測不僅涉及數學知識的應用，而且蘊藏著知識價值的判斷與選擇，以及數學方法、思想的領悟;整個數學建模的學習飽含數學文化和科學的學習態度。數學建模不只屬于數學范疇，它包容社會各個學科的融合參與，往往是跨學科的學習，是最能突出整體學習、合作學習、探究學習的知識載體。建?；顒拥?個過程的整體統一，才能體現數學建模的綜合教育價值。

（2）建立“三個世界”循環融合，推動數學建模教學深度發展

大多數教師認為數學建模過程是從現實世界到達數學世界，在數學世界中運用數學知識解決問題，再回歸到現實世界中進行檢驗與反饋。但相當多的數學模型計算量非常大，甚至人工無法計算;有的數學模型有理論算法，卻無法得到需要的數學解，期望借助計算機、網絡、數學軟件，把智能計算思維融入教學，將數學運算變成計算機的智能運算，使得數學建模更加高效、快捷，實現高中數學建模的轉型升級。

借鑒Greefrath和Siller關注技術的建模循環（如圖2），將高中數學建模理解為從現實世界出發，到達數學世界，用數學方法解決問題，或者到達計算機世界形成計算機模型，在智能技術世界中得出計算機結果，通過解釋得到數學結果，再返回到現實世界進行檢驗的過程。加入智能計算技術，提高了解決模型的手段，促使高中數學建模教學向更加廣闊的空間邁進。

2.對高中數學建模教學過程的認知

（1）現實情境與數學知識的有效溝通是實現數學建模教學的基礎

數學建模的目的是解決現實生活中遇到的實踐問題，它不同于解決有既定方向的純數學問題，多是“臨時起意”的“應景問題”。如商品打折，商家研究的是通過什么樣的數學建模使打折后的收益高于打折前，達到最大化;消費者關心怎么樣的組合能獲得更便宜的價格，提高性價比;廠家則想通過促銷的程度來感受市場供需關系的變化。所以一樣的現實情境，數學建模的視角也可能是不一樣的，數學建模的問題提出具有較大的開放性。只有對實際問題進行準確考察，才能建立合乎事實、滿足需求的數學模型，才能精確反映事實并完成預測，提供相應的決策支持。

現實生活問題的豐富性推動了數學建模內容和方法的不斷革新。隨著信息科技的高度發展，人類對現實世界的觀察越來越寬廣、越來越深刻，了解的現象越來越多，收集到的數據越來越全面，原來比較粗糙的定性分析有了量化的可能，原來粗糙的模型有了進一步深化的必要。數學建模既是人類認識現實世界的必要工具，也被人類認識提高推動著不斷發展。

（2）事實與數學、智能計算相互擬合、相互佐證是數學建模的研究范式

事實與數學理論、計算機模型的不斷擬合、循環往復是數學建模的主要過程。通過對事實的初步感知和相關數據的原始采集，尋找參數及它們的相互關系，建立相應的數學模型，再通過新數據的收集，測試所建模型的可信度，不斷修正使建立的模型與事實更加契合。對建模后難以手動求解的，需要求助智能計算思維，利用計算機編程和算法，求出數學問題的一般解或者符合實際需要的近似解。

如考慮空氣阻力與速度成正比的斜拋運動，我們得到射程x與拋射角θ滿足方程（1）：e■+■=1，這是個超越方程，不方便筆算求解，這時可以借助MATLAB軟件求解。

中學生可以用ggb軟件，畫出方程（1）的隱函數圖像（如圖3），然后對圖像的局部進行發大（如圖4），或者使用函數檢視功能求出合乎要求的最大值（73.84m）及相應的拋射角（26°）。

在數學建模問題解決的過程中，將事實情境與數學理論、智能計算三者之間多輪擬合、相互佐證，不斷提升數學模型的精確度，使之能根據不同情形的現實條件，選擇能較好反映事實情況的、精度合乎要求的數學模型，為事件的發展提供比較可靠的預測。

（3）跨學科融合成為數學建模教學的核心主題

從中學生數學建模比賽問題，我們看到有明顯的多學科融合特點。因此，數學建模教學要具有前瞻性，關注不同領域的知識銜接與融合。當代科技成果的重大突破，都有學科跨界融合的研究取向。除了傳統的物理、化學學科，現代經濟、心理學、生物學、地理學等學科無不融入數學建模進行研究，研究跨界問題已經成為數學建模的一個主流方向，中學的學科學習中也有許多借助數學建模研究的跨學科問題，如生物學的遺傳規律、DNA模型，化學的電子模型、晶體結構，物理的天體運動，地理的遙感定位等都是數學建模跨界研究的主題。數學建模教學不同于純數學理論教學，需要虛心學習其他學科知識，要有寬廣的胸懷與開放的合作思維。

（4）解釋及預測是數學建模教學的價值旨向

數學建模主要是解決現實遇到的生活或者跨學科問題，對發生的事實進行數學化的描摹、解決，挖掘現象后面蘊藏的關系特征、變化規律，對事實進行理論化的探索。數學建模解決現實問題的特質，說明建模首先是為了解釋為什么出現這種現象，參數的設計也是為了更好的衡量事實變化的影響要素，模型的質量則是以反映事實的準確程度為衡量標準，建模是為了對事情發展趨勢做合理的預測，為人們的下一步行動提供更好的方向與方案，使事情發展的結果可測、可控，減少失誤。建模教學中通常對一個事實背景會提供多種不同環境下的數學模型，就是為了增加模型的適用性，提高預測的可調整性和準確性。數學建模是通過解釋現有現象的特征，把握同類現象的規律，提供盡可能適合的預案的問題解決活動。

三、數學建模教學認知的啟示

基于對數學建模教學的教學認知，我們構建如圖5的數學建模教學策略啟示圖。

1.以“真實—貼切—開放”作為建模素材引入的基本標準

中學數學建模教學問題最好來自學生身邊的生活、學習中的現實問題，具有真實性，有解決的必要性和可行性。這些問題可以是學生本來就有研究欲望的跨學科學習問題，如高中生物《生物與環境》中的“種群數量變化研究”就涉及用什么函數反映不同環境下的酵母菌增長模型？也可以是學生見多不怪、熟視無睹，但仍有進一步“揭秘”需要的生活問題，如“雨中行”“商品打折”等問題[6]。選擇的問題在真實的基礎上，貼近學生的生活經驗和認知能力，“熟悉（情境）”中透著“陌生（思想）”，能激起學生的好奇心，激發學生一探究竟的欲望。問題的情境是開放式的描述，可以不帶問題，或者不帶明確的問題，讓學生去尋找感興趣的問題和分析問題的影響要素，引領學生多視角提出問題。如“雨中行”問題中淋雨量怎么測量？風向、風速、人跑動的速度對淋雨量的影響如何？如果打傘怎樣才能擋雨效果最佳？開放性提問能體現現實問題的復雜性，既能幫助學生提出更為全面、更有價值的問題，也能培養學生的發散式思維，提高學生的創新能力。

2.在“數據—理論—檢驗”的問題解決中實現“三界融合”

基于事實，運用數據，依據數學推理，借助智能計算思維進行論證與檢驗的“數據—理論—檢驗”流程是數學建模問題解決的核心。依據事實，確定問題研究的方向;提煉數據，挖掘數據所隱藏的數量關系;確定需要引入的參數，厘清變量間的依存關系，建立相應的數學模型;運用數學理論知識，完成數學推導與求解，對于難以數學求解的部分，根據數學思想提出問題解決的基本算法，借助智能計算方法尋找滿足現實問題的近似解;對求得的一般解或近似解進行事實或計算機模擬驗證，對出現的偏差進行合理性解讀、修正，如果偏差較大就需要進一步分析影響要素，建立新的模型適應現實問題。比如上面提到的斜拋運動模型，如果速度較小、體積較小、密度較大就可以忽略空氣阻力;如果速度較大，空氣阻力與速度成正比，更大就和速度的平方成正比了，要根據不同背景要求進行修正。對于重復量大、難度大的復雜建模問題，利用智能計算思維則是解決問題的必要手段，如遺傳算法、神經網絡算法、蟻群算法等。在數學建模教學中實現“現實世界、數學世界、智能計算世界”相互融合、印證是提高建模效率，實現建模升級換代的關鍵，也是提高學生建模興趣，提高跨學科學習能力的重要手段。

3.以“生活—學科—數學”為主題培育跨學科建模的創新意識

對中學生而言，解決社會生活中比較復雜的現實問題會有較大的難度，缺少生活積累找不準研究的方向，數學知識的儲備不足無法求解問題。這些問題組織的數學建模教學師生會失去共鳴，學生沒有探究的熱情，無法達到數學建模培養各方面素養和能力的目標。因此，數學建模教學的問題盡量選擇學生熟悉的、有探究欲望的問題來展開。學生生活、學科學習中遭遇的，帶有跨學科意味的問題，有親切感，更容易激起學生的參與熱情、研究興趣，既加強了數學應用又理解了相關學科知識，特別是用數學的眼光來研究其他學科問題，打破學科壁壘，有利于培養學生的創新意識。

4.在“結構—性質—擴展”的功能中體現數學模型的價值

數學建模教學中將現實問題“轉譯”為數學問題，是用數學來“解釋”現實，以歸納猜想為主。數學求解則是追求結構上的嚴謹、理論上的完備，以演繹為主。通過歸納尋找初步結構，通過演繹成熟、嚴密的數學結構和性質，為深入解釋現象，形成可廣泛應用的模型做理論準備。發揮解釋和預測功能是數學建模發展性、開放性的體現，也是數學建模持續發展的關鍵，教學中要充分發揮數學建模這一功能旨向。結構相同或相似的問題，往往具有相同的性質與研究方法，從而有相類似的數學模型。在現實問題建模之后，應當主動關注模型的結構特征，研究每個參數的作用，弄清各變量之間的牽制關系，把握研究模型的方法，有意識地擴展模型的應用價值。特別要注意研究各參數的敏感程度，在變化的情境中注意參數對模型的影響程度，甚至根據環境的復雜變化主動增設參數，調整模型的使用范圍。通過“結構—性質—擴展”的“形成、研究、應用”實現模型的“解釋和預測”功能，通過擴展模型對未來趨勢的預測，增強學生對數學建模價值的情感體驗，提高學生對數學建模學習的興趣。

數學建模教學是一個綜合性問題教學，它源于學生有一定認知基礎的現實問題，需要以數學、智能計算技術、跨學科知識從微觀性質上揭示客觀現象的本質，并主動實現模型的解釋與預測功能。只有實現數學建模各個環節的“全過程”教學，才能保證建模教學發展“四能”（發現、提出、分析、解決問題的能力）達到“三會”（會用數學的眼光觀察世界、會用數學思維思考世界、會用數學語言表達世界）的育人價值，才能在各個階段實現核心素養的整體培養，才能完成數學、智能技術、跨學科能力的綜合提升，逐步達到現代社會發展所必需的能力要求。

參考文獻

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[6] 李大潛，王建磐.普通高中教科書必修第四冊（2020年版）[M].上海：上海教育出版社，2020：9-12，20-25.【責任編輯? ?郭振玲】