基于部分頻譜小波邊緣檢測的壓縮寬帶頻譜感知*

鄭 超，王洪斌，徐逸群，郭道省

(中國人民解放軍陸軍工程大學 通信工程學院，南京 210007)

0 引 言

隨著寬頻帶認知通信的發展，窄帶頻譜感知已經不能滿足需求，寬帶頻譜感知的需求逐漸加強，但是寬帶頻譜感知存在高采樣速率帶來的高數據量處理難的問題。壓縮感知理論的發展，為該理論成功應用于寬帶頻譜感知中帶來了可行性，于是新的方法——壓縮寬帶頻譜感知理論就產生了。

壓縮寬帶頻譜感知理論是由Tian等人[1]于2007年首次提出，如今已成為寬帶頻譜感知的一種重要方法。寬帶頻譜感知的方案中最后一步是對頻譜進行檢測判決，存在檢測過程的時間復雜度比較高的問題，不太適用于對實時度比較高的頻譜感知場景比如戰場環境中。常用的頻譜判決手段有小波檢測、能量檢測和循環特征檢測，其中小波邊緣檢測技術在識別頻譜位置方面具有優勢。Tian和Giannakis[2]首先提出了一種用于認知無線電的寬帶頻譜感知的小波方法。文獻[3]提出了改進的基于小波的邊緣檢測，使用不同的小波基函數來尋找譜帶的邊緣。

本文對壓縮寬帶頻譜感知的小波邊緣檢測技術進行了改進，從實驗結果來看，本文方法相比基于小波檢測的壓縮頻譜感知方法具有相近的檢測性能但需要更少的檢測時間。

1 壓縮寬帶頻譜感知

壓縮寬帶頻譜感知[4]是將壓縮感知[5-6]方法應用于寬帶頻譜感知，方案主要由稀疏表示、壓縮測量、重構恢復、頻譜判決四個步驟組成。

1.1 稀疏表示

壓縮感知中的稀疏表示就是信號x在正交基Ψ上進行稀疏分解，首先要構造正交分解的稀疏矩陣Ψ。稀疏矩陣Ψ要滿足的條件如下：

(1)Ψk是矩陣的的一列向量，Ψk對于任意的k，是相互獨立的；

(2)=0(?k∈)意味著x=0；

(3)<ψi,ψj>=0(?i,j∈∩i≠j)。

正交分解要求構成空間的向量是單位正交向量，典型的正交稀疏分解基有離散余弦基(Discrete Cosine Transform,DCT)和傅里葉變換基(Discrete Fourier Transform,DFT)。

1.2 壓縮測量

壓縮測量主要是對信號進行壓縮，獲取測量的采樣值的過程。其主要的任務是用一合適的測量矩陣Φ∈M×N，用于對原始信號進行壓縮采樣，相當于對信號x∈N進行線性投影，得到M×1的觀測向量

y=Φx。

(1)

由于M<

(2)

則稱Φ滿足K階RIP性質，δk為K階RIP參數。常見的測量矩陣有高斯隨機矩陣、伯努利矩陣、部分傅里葉矩陣、部分哈達瑪矩陣等。

1.3 重構恢復

重構過程是通過給定的長度為M的采樣值求取長度為N的稀疏向量，由于M

目前求解該方程的方法可以分為三類：貪婪算法、凸優化算法和基于貝葉斯框架的重構算法。

1.4 頻譜判決

頻譜判決主要是根據重構恢復出的信號，進行寬頻帶上的主用戶信號的占用情況的判決。近年來，已提出了多種頻譜判決技術。在這些技術中，能量檢測方法是最常用的頻譜判決方法，它通過將接收到的信號能量與預定閾值進行比較來執行。然而，該技術對噪聲不確定性非常敏感，因為噪聲統計(例如方差)在接收器處通常是未知的。還有小波邊緣檢測的方法，利用小波變換檢測不連續子帶的邊緣，定位頻譜中有PU存在和無PU存在的間斷點，從而確定寬帶頻譜中空閑頻譜的位置。還有一種比較新的方法就是運用深度學習來進行頻譜感知的判決方法[7]，然而，該方法需要大量的數據用于訓練，而且往往訓練時間比較長，不太適用于對于實時性要求比較高的頻譜感知系統。此外，還有一些其他的方法，像循環特征檢測[8]的方法和匹配濾波檢測[9]的方法等。

2 小波邊緣檢測方法

小波邊緣檢測[2]，是通過對頻域上的寬帶頻譜進行邊緣檢測來發現一個或者多個窄帶用戶實現的。如果直接根據信號的功率譜密度(Power Spectrum Density,PSD)來定位信號的邊界從而確定頻譜的邊界，這是比較困難的，而且有比較大的計算誤差。如果利用小波邊緣檢測技術對信號的PSD進行邊界檢測，可以減少計算誤差。

對于一維信號函數f(x)，其連續小波變換的定義為

(3)

式中：ψ*(x)為小波函數ψ(x)的復共軛函數，a表示尺度因子，b表示平移因子。通過調整a、b值的大小可以得到尺度位置不同的時頻觀測窗口。

信號的PSD經過連續小波變換(Continuous Wavelet Transform，CWT)后的結果為

Wa,b=SPSD(k)*ψa,b(k)=

(4)

式中：ψ(k)是小波函數ψ(x)的離散化的結果。

現在頻譜占用的判決問題就變成了求解小波分解系數Wa,b的邊界點問題，因為信號的PSD的邊界點通過小波變換后已經變成了小波分解系數Wa,b的模的極大值點，然后通過設置合理的閾值來濾除由隨機噪聲產生的模極大值點。

(5)

用小波變換去處理占用子頻帶的部分信號Si(f)可得

(6)

由上式可以看出，Si(f)的小波變換W(a,f)是與Si(f)*(φa(f))的一階導數成正比的，小波變換的極大值處就是Si(f)*(φa(f))的突變點處，即信號的頻譜邊緣位置，所以寬帶信號的頻譜占用情況能用小波變換進行檢測。

多尺度二進制小波變換的乘積表示為

(7)

則信號突變點的位置可以表示為

(8)

根據找到信號的突變點的位置就可以估計信號的占用頻譜的邊界。

3 壓縮寬帶頻譜感知中小波邊緣檢測的改進方案

對于壓縮寬帶頻譜感知[10]這一技術來說，原本方案的流程如圖1所示。

圖1 基于小波邊緣檢測的壓縮寬帶頻譜感知方案的流程圖

原本方案是為了能減少傳輸的數據量，先對信號在采集端進行壓縮，然后在接收端把壓縮過的信號進行重構恢復，再通過對重構恢復出來的信號進行小波邊緣檢測或者其他檢測方法進行判決。這一過程比較復雜，而且重構恢復所消耗的計算資源比較大，于是本文考慮減少重構恢復這一步驟來降低消耗的計算資源。本文方案的流程圖如圖2所示。

圖2 基于部分頻譜小波邊緣檢測的壓縮寬帶頻譜感知方案的流程圖

本文方案核心是為了找到寬帶頻譜上信號的占用情況，那么體現在宏觀上就是去構造一個新的測量矩陣Φ。下面介紹具體方案。

首先根據壓縮感知理論中的獲取壓縮測量值的數學表達式:

y=Φx。

(9)

對于式(9)，如果使用傅里葉矩陣的作為測量矩陣Φ，那么通過矩陣乘法得到的測量向量y的值就直接是頻譜點的數值，相當于直接得到頻譜的數據。因為得到了頻譜的數值，所以可以直接進行檢測判決得到頻帶上信號的判決結果，那么可以不需要進行重構這一步驟。但是DFT是一個n×n的矩陣，由于信號是稀疏的，在不考慮噪聲的情況下頻譜數據中必然有大量的0。因為頻譜就是稀疏的，所以可以壓縮，考慮使用部分DFT矩陣作為測量矩陣。部分DFT矩陣是一個m×n的矩陣。為了在壓縮的時候可以舍棄一些頻譜為0的頻點，盡量保留原信號攜帶的信息，根據信息論的相關知識，讓信息熵最大就可以最大程度地保留原信號攜帶的信息。根據最大熵準則可以設立一個優化目標如下：

(10)

(11)

根據這一優化目標，為了測量值向量的熵最大，通過一些優化方法，比如蟻群算法等，快速獲得熵比較大的m個結果并返回，然后根據這一結果可以直接得到部分頻譜，再利用小波邊緣檢測對部分頻譜進行判決。因為部分頻譜的頻譜點的索引和原頻譜頻譜點的索引是一一對應的，直接根據部分頻譜進行判決得到判決的頻譜占用情況是能反推原頻譜的判決結果的頻譜占用情況。最后將判決結果輸出。其中，小波檢測的方案是采用Tian[1]的方案，但是區別在于，本文方案是直接對部分頻譜來做小波邊緣檢測，Tian的方案是通過重構恢復出的信號的全頻譜做小波邊緣檢測。

4 仿真分析

為了仿真方便，考慮一個相對較寬的頻帶(0～8 kHz)，運用第3節的檢測方案來檢測整個寬頻帶的占用情況。首先選取三個QPSK信號與噪聲混合的信號作為主用戶測試信號，信號的PSD如圖3～5所示。

圖3 原信號SNR=30 dB下的功率譜密度

圖4 原信號SNR=15 dB下的功率譜密度

圖5 原信號SNR=0 dB下的功率譜密度

接著定義原假設H0和備擇假設H1來表示信號的存在與否，相應的模型可以表示為

(12)

式中：s(t)為主用戶信號，在這里就是三個QPSK信號的和；n(t)為加性高斯白噪聲；h為信道增量。

原信號的頻譜如圖6所示。

圖6 原信號SNR=30 dB下的頻譜

根據上一節的方案，壓縮比設置為1/2，根據最大熵準則的篩選，可以得到部分頻譜的數值，繪制出來如圖7～9所示。

圖7 原信號SNR=30 dB下的部分頻譜圖

圖8 原信號SNR=15 dB下的部分頻譜圖

圖9 原信號SNR=0 dB下的部分頻譜圖

然后對于得到的部分頻譜的數據，使用第2節的小波邊緣檢測方法，繪制出小波的模極大值曲線圖，如圖10～12所示。

圖10 原信號SNR=30 dB及小波變換尺度為s=26下的部分頻譜小波變換的模極大值圖

圖11 原信號SNR=15 dB及小波變換尺度為s=26下的部分頻譜小波變換的模極大值圖

圖12 原信號SNR=0 dB小波變換尺度為s=26下的部分頻譜小波變換的模極大值圖

圖中橫坐標f就是第2節中多尺度二進制小波變換的變量，縱坐標是二進制小波變換的尺度。

再采用黎曼-皮爾遜(Neyman-Pearson)檢驗準則選擇閾值λ來最大化H1發生(P(U(r)>λ;H1))時判決為H1的概率，選擇閾值λ來使得H0發生(P(U(r)>λ;H0))時判決為H0的概率是一個常數ψ0。似然比U(r)為

(13)

相應的檢測準則為

(14)

該準則主要通過固定虛警概率(Pr(U(r)>λ;H0))去最大化檢測概率(Pr(U(r)>λ;H1))實現。

利用此準則進一步得到在同一信噪比(0 dB，15 dB，30 dB)條件下三種檢測方案的ROC曲線(Receiver Operating Characteristic Curve)對比圖，如圖13～15所示。

圖13 壓縮比為1/2時原信號SNR=30 dB下的三種檢測方案ROC對比圖

圖14 壓縮比為1/2時原信號SNR=15 dB下的三種檢測方案ROC對比圖

圖15 壓縮比為1/2時原信號SNR=0 dB下的三種檢測方案ROC對比圖

根據檢測結果可以看出,本文方案在壓縮比為1/2、信噪比為30 dB的條件下和能量檢測有相近的檢測性能，在15 dB和0 dB的條件下比能量檢測有更好的性能，而且相較于直接對頻譜做小波邊緣檢測，此方案對部分頻譜做邊緣檢測能有相近的性能。

接下來將壓縮比設置為1/4，根據最大熵準則的篩選，可以得到部分頻譜的數值；根據小波邊緣檢測得到模的極大值圖，再與能量檢測、小波邊緣檢測的方案進行比較，同樣得到ROC對比圖，如圖16～18所示。

圖16 壓縮比為1/4時原信號SNR=30 dB下的三種檢測方案ROC對比圖

圖17 壓縮比為1/4時原信號SNR=15 dB下的三種檢測方案ROC對比圖

圖18 壓縮比為1/4時原信號SNR=0 dB下的三種檢測方案ROC對比圖

根據檢測結果可以看出,本文方案在壓縮比為1/4、信噪比為30 dB的條件下和能量檢測有相近的檢測性能，在15 dB和0 dB的條件下比能量檢測有更好的性能，而且相較于直接對頻譜做小波邊緣檢測，此方案對部分頻譜做小波邊緣檢測能有相近的性能。

5 結束語

本文提出了一種新的方案，采用部分頻譜作為測量向量，并且通過對部分頻譜做小波邊緣檢測獲得高于能量檢測的性能，在壓縮寬帶頻譜感知中可以減少重構這一相當消耗資源的步驟，所以本方法在實際的工程實踐中具有很高的應用價值。但是，本文方案的缺陷在于實現過程對于分布式節點的計算能力要求比較高。在低信噪比的情況下，可以考慮增加使用Lipschitz指數進一步判定部分頻譜的模極大值是否為奇異點。后續將對此進行進一步研究，以提高判別精度。