以形助數 以數解形

摘 要：數學學科的嚴密有序性、數學知識的內在邏輯性、數學方法的多樣性是提升學生數學素養極其重要的因素。數學運算是數學素養的重要組成部分，也是學生學習數學、解決數學問題的一項基本技能。在數學課堂教學中，教師可以引導學生通過構建直觀的圖形來展現數學運算的演練和推導過程，以此簡化運算過程，提高解題效率。本文以湘教版數學教科書中的實際內容為例，探討如何以形助數、以數解形，進而培養學生的數學素養。

關鍵詞：數學素養;數學運算能力;數形結合思想

中圖分類號：G427? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文獻標識碼：A? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文章編號：2095-624X（2021）32-0075-02

引 言

數學素養包括數學抽象、邏輯推理、數學建模、數學運算、數據分析、直觀想象六個方面，數學運算是數學素養的重要組成部分，也是初中生學習數學、解決數學問題的一項基本技能。數與形在一定條件下可以相互轉化，直觀的圖形有助于學生解決數學問題，直觀的圖形也需要數的支撐和表達。在數學教學過程中，為培養學生的數學運算能力，教師們常通過直觀的幾何圖形來展現數學運算的演練和推導過程，使學生理解代數與幾何的聯系，探究其內在的運算規律和本質特征。本文以湘教版義務教育數學教科書中的內容為例，探討如何以形助數、以形解數，解決初中數學運算的演練、推導和拓展運用等問題，以此培養學生的數學素養。

一、整式乘法

整式乘法是初中數學的基礎，也是學生基礎運算能力的體現，特別是對多項式與多項式的乘法，更是學習過程中的易錯點。因此，教師在課堂教學中應建構幾何模型，搭建起數與圖形的橋梁，使解題過程更加直觀，以此若幫助學生理解運算的來龍去脈，掌握正確的運算方法，發展運算能力。

例1.計算：（a+b）（m+n）

通過圖形可以直觀地看到運算規律，從而歸納得到：多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項分別乘以另一個多項式的每一項，再把所得的積相加。

【拓展運用】

二、乘法公式

乘法公式在初中數學的計算過程中同樣有著舉足輕重的地位，無論整式乘法還是因式分解，都在反復地運用乘法公式進行運算。為避免機械重復，教師通常會發現一些運算的特點和規律，并將這些特點和規律總結提煉成計算公式，然后運用公式進行計算，使得數學的解題過程更簡單清晰，更不易出錯。

例2.如圖3-1所示：將一個邊長為a的大正方形剪去一個邊長為b的小正方形，并將剩余部分沿虛線剪開，再將這兩個長方形拼成如圖3-2所示，從這兩個圖形來看，我們能建立怎樣的聯系？

分析：圖3-1中陰影部分的面積為：;圖3-2中陰影部分的面積為：（a+b）（a-b）;

由此可得：a2-b2（a+b）（a-b），我們稱之為平方差公式。

例3.如圖4所示的正方形。

正方形的面積為（a+b）2，也是如圖所分割成的4個部分面積、、、之和。

因此：，我們稱之為完全平方公式。

【拓展運用】

計算：（a+b+c）2

分析：構建如圖5所示的正方形。由此可得正方形的面積為（a+b+c）2，也相當于按照如圖所分割成的9個部分面積之和。

∴（a+b+c）2 =a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc。

學生經歷了乘法公式的演練、推導過程，深刻地理解了公式的本質特征，并能熟練地運用乘法公式靈活、正確地進行計算。

三、勾股定理

勾股定理是一個基本的幾何定理，它是指直角三角形的兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方。勾股定理是人類早期發現并證明的重要數學定理，是用代數思想解決幾何問題的重要工具，也是數形結合的紐帶。勾股定理在西方被稱為畢達哥拉斯定理，相傳是古希臘數學家兼哲學家畢達哥拉斯于公元前550年發現的，其實，根據我國最早的一部數學著作《周髀算經》記載，早在公元前11世紀，我國數學家商高就發現并應用了這一數學定理，并提出了“勾三、股四、弦五”，比畢達哥拉斯早了至少500年。

下面主要來探討兩種常用的證明方法，以加深學生對勾股定理的理解，讓學生進一步體驗數形結合思想，形成基本的運算能力和抽象思維能力[1]。

例4.圖6-1是2002年在北京召開的第二十四屆國際數學家大會會徽，圖6-2是應用了三國時期吳國的數學家趙爽在證明勾股定理時創制的“勾股圓方圖”。圖6-1是由四個全等的直角三角形再加上一個小正方形組成的，每個直角三角形的兩條直角邊分別為a、b，斜邊為c，則中間的小正方形邊長為b-a，由此可得出下關系：

這是我國古代數學家最早對勾股定理的證明，方法別具匠心，極富創新意識，既嚴密又直觀，體現了“形數統一”的重要思想方法，在世界數學史上具有重要貢獻。

例5.圖7是由2個直角邊分別為a、b，斜邊為c的直角三角形和1個直角邊為c的等腰直角三角形構成的直角梯形。（美國總統加菲爾德利用面積法來證明，即利用3個三角形的面積與1個梯形的面積相等的關系來證明。）

勾股定理揭示了直角三角形的三邊關系，在直角三角形中，若已知直角三角形的任意兩邊長，我們就可以求出第三條邊的長。

【拓展運用】

在四邊形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13， 求四邊形ABCD的面積.

分析：作輔助線AC，使得四邊形ABCD變成兩個三角形，即△ABC，△ACD（見圖8）。要想求出四邊形ABCD的面積，可以轉化為求△ABC和△ACD的面積之和。

解：連接AC

結? ?語

利用以形助數、以數解形的方法來解決初中數學運算的演練、推導和拓展運用，是數學學習過程中必要的解題策略。數與形在一定的條件下可以相互轉化，一些數學的運算問題往往隱藏著幾何文化背景，需要借助它所蘊藏的幾何圖形性質和蘊含的文化故事，使復雜的數量關系變得更加直觀，運算變得更加簡便。因此，數形結合在初中數學中有重要地位，它不僅是一種重要的解題方法，更是一種重要的思維方法。

[參考文獻]

[1]俞求是.中國古代勾股定理發現過程的猜想和探究[J].中學數學雜志，2018（02）：62-64.

基金項目：本文系2020年貴州省教育科學規劃課題“核心素養下數形結合思想在初中數學解題中的應用研究”（課題編號：2020B079）的研究成果。

作者簡介：楊州（1976.8—），男，貴州思南人，高級教師。