多維視角解三角形高考試題

葉玉蘭

解三角形作為近幾年高考的熱點題型，通常考查學生運用正弦定理，余弦定理求解三角形的邊，角，周長，面積和最值問題。本文以一道高考題為例，多視角剖析解三角形的求解策略，提出解后思考促進教與學的工作。

一、真題呈現

（2021·全國高考真題）記△ABC是內角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知b²=ac，點D在邊AC上，BDsin∠ABC=asinC.

（1）證明：BD=b;（2）若AD=2DC，求cos∠ABC.

二、總體分析

這道題滿分12分，廣東省平均分約為4.8分，約有85%的同學沒能從（2）問得分。這道題（1）問是證明，考查正弦定理的邊角互化的功能，體現等量代換的數學思想。（2）問是在斜三角形的背景下求角的問題，可以從常規視角運用正弦定理，余弦定理的工具，建立邊或者角的方程求解;可以聯系初中平面幾何的相似三角形進行求解;可以從向量的角度分析求解;也可以從坐標法出發分析求解;部分學生還使用施特瓦爾特定理進行求解，這里不作詳細介紹。由此可見，這個題入手低，思路多是高三復習的一道經典好題。

三、解法探究

下面第（2）問從多個視角體會設計者的獨到匠心。

視角1：常規視角

在多個三角形背景下求解cos∠ABC，可以直接求出a，b，c的值或者找到a，b，c的兩個等量關系進行消元進行求解，題目的條件b²=ac可得一等量關系式而另外一個等量關系式如何尋找？可以通過多個三角形的角度互補，互余或者相等關系運用正弦定理或余弦定理建立。

評注：構造相似三角形，通過角度關系得到余弦定理的等量關系符合學生學習的就近發展區，培養學生綜合運用知識的能力。

四、解后反思

高三的備考，時間緊，任務重，所以用好高考題，挖掘其育人價值，體會高考命題立意是高考備考的捷徑。本文從多個視角對一道高考題進行分析，既能讓學生從常規視角掌握通性通法也能從不常規視角拓寬學生的視野，溝通解三角形和向量，平面幾何，解析幾何等知識的聯系，培養其轉化和化歸，數形幾何，方程的數學思想，落實學生數學運算，邏輯推理，直觀想象等核心素養。