導數在物理學中的應用

韓衛衛 謝麗娜

（[1]洛陽職業技術學院 河南·洛陽 471000；[2]平頂山職業技術學院 河南·平頂山 467000）

1 利用導數求變化率

導數作為高等數學的基本概念之一，在許多實際問題中，只要從數量上研究變量的變化速度的，在數學上都可歸結為函數的變化率問題，即導數。如物體的運動速度，電流強度，線密度，比熱，化學反應速度及生物繁殖率等等。文獻[1]通過空間關系的瞬時運算、守恒定律的微分運算給出了導數的物理應用。本文中首先利用導數給出某些物理量的變化率。

由文獻[2]可知

1.1 利用導數求瞬時速度

但是，當物體做變速直線運動時，它的速度隨時間變化而變化，此時表示時刻從到這一段時間內的平均速度，即

上面式子中建立了函數值增量與自變量增量之比的極限，根據導數定義可知物體做變速直線運動的在某一時刻的瞬時速度為。

在上面的討論中，我們看到速度“變”與“不變”的相互轉化。在整段時間內，速度是變化的，但在自變量的改變量很小的情況下，速度變化很微小，這時可近似地“以勻代變”，在自然科學和工程技術領域中，諸如電流強度、角速度、線密度等概念，都可以歸結為這種思想體現在下面物理量的變化率上。

1.2 利用導數求角速度

1.3 利用導數求加速度

1.4 利用導數求物體運動速度大小和方向

已知拋射體的運動軌跡的參數方程為

例4已知拋射體的運動軌跡的參數方程為

求拋射體在時刻的運動速度的大小和方向。

解：先求速度的大小

由于速度的水平分量為

鉛直分量為

所以拋射體運動速度的大小為

再求速度的方向，也就是軌跡的切線方向。

1.5 利用導數求電流強度

1.6 利用導數求電壓關于電阻的變化率

1.7 利用導數求冷卻速度

解：水瓶中水溫下降的速度為

2 利用導數求最值

本文中繼續利用導數求某些物理量的最值。

對于實際問題，若在一定區間內有唯一駐點，且知最大(小)值一定存在，而且一定在定義區間內部取得，那么可以不必討論是否為極值，就可以判斷該點為最大（小）值。

3 結束語

從上面的8個實例中，我們可以看出很多物理量的計算都需要使用到導數，因此導數在物理教學中是非常重要的。為了能有效地建立物理和數學之間的聯系，這就需要教師在數學的教學工作中，適當地穿插物理模型，讓學生了解導數的來源，體會導數的本質，學會用數學的思想方法去分析和解決物理問題，而在物理的教學過程中，注意對實際問題抽象、簡化，用數學語言表示，然后利用導數對實際問題進行求解。開展數學建模教學可以培養學生的綜合應用數學知識和方法進行推理、分析、計算的能力，需要反復應用數學知識及數學思想對數學問題進行分析、推理和計算，可以培養學生的創造能力、想象能力、洞察能力和數學語言的表達能力，可以培養學生的團隊合作能力，整體上提升學生的數學素養和綜合素質，所以，利用數學建模的方式可以把數學思想和數學方法應用到實際問題中，提升學生應用數學知識、方法解決實際問題的能力。