趣味數學——勾股數

王德貴

勾股定理是大家熟知的，勾股數，就是構成勾股定理的三個數，即一個數的平方是另外兩個數的平方和。比如，32+42=52，那么3、4、5就是勾股數。那么在一定范圍內，有多少勾股數呢？我們在Scratch、Python和Applnventor_種環境中編程解答這一問題，并著重關注程序在不同環境中的運行效率。

一、原理分析

本例可以考慮3個數，都從1開始用枚舉法來解決問題，但這種方法循環次數最多，100以內的勾股數就需要計算1003=106，100萬次！根據測算Scratch中運行要至少3分鐘，Python運行不到1分鐘，Applnventor運行大約需要1分鐘，可見，它們各自運行的速度是不一樣的。當然這主要是由程序語言決定的，Python運行最快，Scratch最慢。

那么怎樣能夠減少運算量呢？新的思路是根據天系式a2+b2=C2可知，先確定c的值，那么a和b的值一定小于c，所以循環到等于即可，這樣就不用循環到最大值，從而減少運行時間。

二、Scratch編程實現

我們把滿足勾股定理的3個數，加入鏈表，然后顯示出來，這個比較好理解。但運行后發現，有重復的項（比如3、4、5和4、3、5），共104項實際應為52項，說明恰好重復2次，那有辦法去除重復的項目嗎？

我們把每個c值加入鏈表，然后在下次得到滿足條件的值時，就查詢一下，這幾個值在不在鏈表里：在，就是重復，不加入鏈表：不在鏈表里，那就加入進來！這樣就不會有重復的數據了。

這段代碼的作用就是去重。如果a.b都包含在鏈表里，就說明是重復數據，所以就做下標記0：如果a.b都不包含在鏈表里，就說明沒有重復數據，于是就將數據加入鏈表f去重后，顯示正常為52個。程序測算通過。

三、Python編程實現

Python程序的思路和Scratch編程類似，基本程序如下，但依然有重復的數據。

所以仍然需要去重，在Python中，去重最簡單的當數集合！這個和高中數學知識基本一樣的，其特點有二=：“確定性：對于任意一個元素，要么它屬于某個指定集合，要么它不屬于該集合，二者必居其一。互異性：同一個集合中的元素是互不相同的。無序性：任意改變集合中元素的排列次序，它們仍然表示同一個集合。”

定義空集m=se“），雖然元素是放在大括號里，但定義m={}是定義了一個字典，不是集合，但如果定義m={3，4，5}卻是集合，這一點要特別注意。

可以拓展為任意范圍內的勾股數，通過鍵盤輸入，確定最大和最小值。可以求出任意范圍內的勾股數。

四、Applnventor編程實現

Applnventor設計的程序，編寫難度低又可以在手機上運行，這是它受到歡迎的原因之一。

編程思路與Python不同，與Scratch類似，需要將滿足條件的值加入列表中，同時判斷在同一循環中，滿足條件的元素是否在列表中，以達到去重的目的。

手機上運行測試，可以得到我們想要的結果。程序需要輸入求值范圍，如果范圍最大值不大于最小值，就提示錯誤，需要重新輸入。

五、小結

三種方法其實都要使用列表，算法也類似，但在Python中，集合是更簡便、快捷的方法。通過二種編程環境和應用的比較，Python比Scratch要優化很多，Applnventor編程有它獨有的特點，就是可以在手機上和其他應用一樣使用。

希望大家可以通過二款軟件的比較，掌握各自的特點和實用性，為進一步學習提供參考和幫助。