磁致伸縮換能器諧振腔內介質密度聲場分析*

汪建新，王曉明，晉 康

（內蒙古科技大學機械與工程學院，內蒙古包頭 014010）

0 引言

熱聲制冷是一種新興的綠色技術，也是滿足各種制冷需求的替代技術[1]。作為一種新興的有前途的技術，其比傳統的蒸汽壓縮制冷系統具有諸多優點[2]，如沒有運動部件，不需要外來材料，以環境友好的氣體如空氣或氦氣作為工作物質，可靠性更高。熱聲制冷機將聲能轉化為冷量，封閉諧振腔中的氣體在聲能的作用下產生駐波。駐波引起整個熱聲堆的溫差。冷熱熱交換器位于熱聲堆的兩側，冷熱交換器利用二次循環流體從冷室吸收熱量。并且冷熱交換器周圍的氣體吸收熱量，并通過堆的小孔被泵送到熱熱交換器[3]。在其作用下，氣體微團不斷進行收縮與膨脹與熱聲堆進行熱量交換[5]。

磁致伸縮換能器[4]作為新型的換能器將電磁能轉變為機械能，可以滿足微型熱聲制冷機驅動所需要的大振幅與高頻率的要求。利用磁致伸縮換能器的磁機耦合特性，通過改變對換能器施加交變電流激勵和頻率的大小來使諧振腔內獲得最大的聲壓值，使得整體機獲得高效的制冷量。

對于諧振腔的分析大多是對諧振管時間位移激勵或端口壓力[6]，對其進行聲場內的數值模擬研究和流體力學分析，得到諧振腔內一些參數變化規律[7－13]。與之前的研究工作不同，本文對諧振腔內的氣體施加不同的基礎壓力，并利用有限元軟件ATILA 進行分析，計算不同諧振腔壓力下由換能器驅動諧振腔產生的聲壓及輻射板位移值。

1 理論基礎

將諧振腔內的空氣提取出來進行簡化，以柱坐標為基本坐標進行描述，徑向半徑為r，極角為θ，軸坐標為Z。由三維空間波動方程以及拉普拉斯算符相結合計算求解，為確定定解值，把徑向和軸向的剛性壁面作為邊界條件進行轉化求解，最終得到關于Z、θ以及R的3個常微分方程[14]。

熱聲制冷機諧振腔內部存在駐波波形，對Z 方程進行求解為：

式中：A和B分別為聲量和密度的幅值；Z為阻抗。

求得Z方向上的質點速度為：

式中：R(r)為聲阻；ρ0為大氣密度；為柱貝塞爾函數，柱貝塞爾方程為周期函數，其解為：

對R的常微分方程進行適當變換，令krr＝x，則方程轉化為：

其中，x 是柱面坐標以及半徑的替代。式（3）作為標準的m階的柱貝塞爾方程，其一般解為：

式中：R(k,r)為柱坐標下的坐標和半徑的聲阻；Nm為響度。

可以求得管中的聲壓解為：

對應徑向速度為：

式中：θ和φm分別為柱面坐標和坐標角。

剛性管壁條件下kr有一系列的特定數值，表1 所示為部分的數值，其中m和n兩個正整數可以表示為kr＝kmn。

表1 柱貝塞爾根值

根據柱貝塞爾根植，其中的m、n 表示圓柱形管的（m,n）次簡正波可表示為：

由聲學理論可知，當聲源處所產生的頻率大于圓管中簡正頻率時，會產生高次波，使得諧振管內的波不純粹。需要確定諧振腔管內的截止頻率，確保管中只能激發出單一的平面波。

在常溫下，空氣聲速為347 m/s，諧振腔長度為170 mm，諧振腔半徑為0.015 m，所以求得圓柱形管中的平面波截止頻率：

在實際的熱聲制冷機的諧振管內的聲場頻率一定要小于沿z軸軸線的截止頻率6 778.16 Hz，使得諧振腔內的軸線方向有單一的平面波，防止色散發生而產生高次諧波。磁致伸縮換能器為諧振腔提供的能量大小可以提高熱聲制冷的制冷能力，當換能器驅動輻射板振動，諧振腔內可以產生足夠大的聲場強度。本文通過有限元軟件ATILA 對換能器進行不同基礎壓力下的不同頻率的仿真分析。

2 仿真分析

通過建立磁致伸縮換能器的仿真模型如圖1所示，磁致伸縮換能器主要由T－D 材料棒、線圈、輻射版、外殼以及空諧振腔組成。模型整體長度為300 mm，其中，諧振腔長度為170 mm，輻射板厚度為5 mm，T－D 材料棒的長度為90 mm，直徑為16 mm，線圈匝數為350。換能器內T－D材料棒在線圈提供的交變磁場內伸縮振動，直接推動其前端的輻射板做同樣的往復振動，從而在諧振腔內產生聲場。

圖1 磁致伸縮換能器仿真模型

利用仿真模型用有限元仿真軟件ATILA 進行仿真分析，在ATILA 當中完成機構建模如圖2 所示，選 用“AXISYMMETRIC”軸對稱模式的命令形式，為的是防止過大的計算量；線圈所處設置磁域空間AIR MAG，導磁率為1；換能器以及輻射板給予材料鋼，空腔內賦予AIR FLUID；選擇分析類型為諧響應，其主要命令形式為“HARMONIC”，可以準確的分析各個頻率下激勵線圈對諧振腔內部產生波形與聲壓大小；分析頻率區間設置為1 000～8 000 Hz，步長為1 000 Hz。

圖2 磁致伸縮換能器諧振腔有限元模型

在諧振腔內部要達到穩定的駐波聲場，對流換熱是經過氣體微團不斷膨脹收縮與板疊交換而來的。制冷能力的提高指的是單位時間內有更多的氣體微團進行熱量交換。諧振腔內的聲壓大小由氣體密度來實現，諧振腔內部壓力值與氣體密度對應值如圖3所示，由圖3可以看出隨著氣體密度隨著系諧振腔聲壓的增大而增大，幾乎成線性關系。

圖3 諧振腔內壓力－氣體密度對應

將上述不同壓力值下的氣體密度參數放入有限元分析軟件ATILA 軟件前處理單元中的AIR FLUID 中進行材料模塊設置。得到諧振腔在各基礎壓力下對應的驅動頻率1 000～8 000 Hz之間的聲壓值如圖4所示，圖4（a）的聲壓折線圖與圖4（b）的聲壓映射曲面圖可以看出在諧振腔內在1 000～8 000 Hz 的頻率區間內獲得的最大聲壓值也是呈現增大趨勢的；最大值出現在基礎聲壓在1.0 MPa 的8 000 Hz 驅動頻率上，高達359.97 Pa；而且在基礎聲壓為0.8 MPa的3 000 Hz的驅動頻率時，諧振腔內聲壓值遠遠大于同等條件下其他基礎聲壓下此頻率的聲壓值。

圖4 各基礎聲壓下激勵頻率－諧振管內聲壓對照

如圖5 所示，諧振腔聲壓的最大值并未隨著基礎壓力的提高而一味提高。而是在基礎聲壓為0.6 MPa、激勵頻率為2 000 Hz時達到最大值。且與諧振腔壓力為基礎大氣壓時在相同條件下獲得的聲壓值相比有很大程度的提高，達到了6.8倍之多。但是隨著基礎壓力的提高，對應出現最大聲壓值時的激勵頻率有所降低。這主要是因為隨著諧振管腔體內基礎壓力的提高，作用在輻射板上的力也同時增大了，這改變了輻射板在激勵作用下的響應狀態所致。

圖5 各個基礎聲壓下駐波形態時對應的最大聲壓和激勵頻率

對模型進行激勵頻率—輸出位移仿真，得到位移結果如圖6 所示。從圖中可以看出在激勵頻率為1 000～9 000 Hz的范圍內，輻射板位移隨激勵頻率的增大而依次增大；當超過9 000 Hz 時，輻射板位移會呈現出內外交替的位移變化，且其位移變化值在激勵頻率為9 000 Hz 時的位移內。且在9 000 Hz 激勵頻率時，輻射版位移最大，此時磁致伸縮換能器諧振腔內聲壓最大，可以有效提高熱聲制冷機的能效。

圖6 整體模型激勵頻率—輸出位移輸出

3 結束語

本文利用有限元分析ATILA 對其進行磁－機耦合與氣－固耦合分析，激勵電流保持不變的條件下，在諧振腔內加載不同的基礎壓力，在激勵頻率1 000～8 000 Hz 下，獲得各個基礎壓力下較為穩定的平面駐波，為熱聲制冷機諧振腔的聲場分析提供了對比數據，提高了制冷能力。

在諧振腔內加載基礎壓力會影響輻射板在激勵下的響應特性，導致諧振腔聲壓大小發生變化。隨著加載基礎聲壓的增大，諧振腔內產生的聲壓值也隨著增大。需要根據分析結果選擇最優的加載壓力與驅動頻率的組合。

整體模型激勵頻率－輸出位移顯示出，在激勵頻率為1 000～9 000 Hz 的范圍內，隨著頻率的增大而增大，且在1 000～20 000 Hz的范圍內，在激勵頻率為9 000 Hz時輻射版位移最大，諧振腔內聲壓最大，可以有效提高熱聲制冷機的能效。