白楊河4至5月平均流量多項Logistic回歸分析與預報

琪美格

(新疆維吾爾自治區水文分析計算中心，新疆 烏魯木齊 830000)

在中長期水文預報實踐中，會遇到預報對象是分類因變量的情況，如一條河流未來來水是偏豐、正常還是偏枯。本文通過選用五圣宮水文站前期預報因子，將4至5月平均流量構建為反映春季來水偏豐、正常或偏枯的分類因變量，對分類因變量未來各類可能發生的概率用多項Logistic回歸分析進行嘗試性的預報，確保符合精度要求。

1 基本思路

多項Logistic回歸分析是指通過一組預報因子，采用多個二值Logistic回歸方程，來描述分類因變量各類與參照類相比的條件下預報因子對預報對象的作用。

如果預報對象y(分類因變量)有J個類別，令第j(j=1、2、…、J)類的概率為Pj，則預報對象的樣本觀測值在這J個類別中的分布服從多項分布，且∑Pj= 1。若用xk(k=1、2、…、m，m是預報因子總數)表示預報因子，aj和bjk分別表示第j類的常數項和預報因子回歸系數，則多項Logistic回歸方程可表示為：

ln(pj/pJ)=aj+bj1·x1+…+bjk·xk+…+bjm·xm(j=1、2、…、J-1)

上述方程是以分類因變量最后一類(J)為基線的，可見，在每個類別j與基線類別J之間建立了J-1個二值Logistic回歸方程。若令P=∑(Exp(aj+bj1·x1+…+bjk·xk+…+bjm·xm))，則分類因變量各類可能發生的概率Pj的計算式為：

Pj=Exp(aj+bj1·x1+…+bjk·xk+…+bjm·xm)/P(j=1、2、…、J-1)

基線對應的常數項與回歸系數均為0，故基線類別可能發生的概率PJ=1/P。

2 多項Logistic回歸分析與預報

2.1 構建4-5月平均流量分類因變量

五圣宮水文站1981-2019年3月下旬旬平均流量Q、2月中旬降水量R、1月上旬旬平均氣溫T及4至5月平均流量Q4-5序列SPSS數據文件(僅顯示局部)見圖1。

計得Q4-5序列多年均值為2.44 m3/s。本次約定，Q4-5低于2.20 m3/s(即距平值﹤-10)時，來水量為偏枯，對應的分類因變量Y取1；介于2.20 m3/s和2.68 m3/s之間(即距平值介于-10和10之間)為正常，Y取2；高于2.68 m3/s(即距平值﹥10)為偏豐，Y取3。構建的分類因變量Y序列見圖1。

圖1 五圣宮水文站分類因變量及前期預報因子序列

2.2 多項Logistic回歸分析

SPSS操作步驟為：

步驟1：在圖1中依次單擊菜單“分析→回歸→多項Logistic”，從彈出的多項Logistic回歸對話框左側的列表框中選擇“Y”，移動到因變量列表框，選擇“Q”、“R”和“T”，移動到協變量列表框。

步驟2：單擊“統計量”按鈕，在打開的對話框中勾擇“個案處理摘要”、“步驟摘要”、“模型擬合度信息”、“分類表”、“擬合度”、“估計”和“似然比檢驗”，單擊“繼續”按鈕返回多項Logistic回歸對話框。

步驟3：單擊“確定”按鈕，執行多項Logistic回歸的操作。

2.3 回歸效果的統計檢驗

SPSS輸出的回歸效果統計檢驗結果如下：

(1)案例處理摘要：39個分類因變量個案全部有效，其中偏枯18個，正常9個，偏豐12個。

(2)模型擬合信息：僅包含截距項的模型和最終模型的似然比檢驗結果，其-2倍對數似然值分別為82.517、54.992，2=27.524，自由度為6，顯著性水平ρ=0.000<0.001，表明最終模型要優于只含截距項的模型，即最終模型成立，說明模型中至少有1個預報因子有統計學意義。

(4)似然比檢驗：預報因子中，1月上旬旬平均氣溫T的顯著性水平ρ小于0.5，其余因子都小于0.05，說明在0.5顯著性水平下，預報因子對多項Logistic回歸方程的貢獻都有統計學意義。

(5)以類別3為基線的多項Logistic回歸方程參數估計

分類因變量Y各類可能發生的概率Pj的計算式為：

P1=Exp(11.334-13.830*Q-0.842*R-0.173*T)/(1+Exp(11.334-13.830*Q-0.842*R-0.173*T)+Exp(8.244-10.727*Q-0.673*R-0.182*T))

P2=Exp(8.244-10.727*Q-0.673*R-0.182*T)/(1+Exp(11.334-13.830*Q-0.842*R-0.173*T)+Exp(8.244-10.727*Q-0.673*R-0.182*T))

P3=1/(1+Exp(11.334-13.830*Q-0.842*R-0.173*T)+Exp(8.244-10.727*Q-0.673*R-0.182*T))

式中：P1是類別1與基線類別3相比較得到的預測概率(偏枯型)，P2是類別2與基線類別3相比較得到的預測概率(正常型)，P3是基線類別3的預測概率(偏豐型)。

(6)分類表中總的正確預測百分率為59.0%，說明多項Logistic回歸方程的預測效果良好。

2.4 預報

五圣宮水文站2020年3月下旬旬平均流量Q為0.754 m3/s，2月中旬降水量R為2.3 mm，1月上旬旬平均氣溫T為-8.7℃，代入上述3個類別的預測概率計算式，計得P1、P2、P3分別為0.42、0.32和0.26。

可見，P1值最大，所以分類因變量取1的可能性最大，即五圣宮水文站2020年4-5月平均流量預計為偏枯的可能性較大。實際情況是1.86 m3/s，低于偏枯的上限值2.20 m3/s，屬于偏枯型，預報正確。

3 結語

(1)選用前期預報因子，用多項Logistic回歸分析對分類因變量Y未來各類可能發生的概率進行預報，是一次成功的嘗試。

(2)多項Logistic回歸模型擬合信息表明，最終模型成立，且至少有1個預報因子有統計學意義；擬合優度檢驗顯示，模型擬合優度較好；似然比檢驗表明，預報因子對模型的貢獻在0.5信度下都有統計學意義；分類表顯示，模型的預測效果良好。

(3)2020年4-5月平均流量的豐枯趨勢的預報結果為正確，說明該技術在中長期水文定性預報方面有一定的實用價值。