淺談如何通過構建生活實踐情境實現數學建模能力

高詠詠

摘 要：聚焦2020年高考試題，數學試卷上出現鋼琴黑白鍵這一現象引起了廣泛討論。如何應對高考試題創新中出現的變數再次成為熱議話題。文章將回顧歷年高考及模考數學真題中的“樂理題”，分析其具體知識考查重點，并試圖指出：高考題中音樂題頻繁出現，恰恰是落實1952年以來，教育部課程標準對“注重數學文化的滲透，提升學生應用數學解決實際問題的能力”這一條標準的要求。對數學建模思想應用于生活藝術諸領域的考察，正是對數學核心素養的考查。對此，我們應該著重培養靈活運用高中數學基礎知識的能力，鍛煉學生在生活實踐情境中解決數學問題的能力，培養學生的學科意識與問題關切。

關鍵詞：高考數學;音樂與數學;數學建模

聚焦2020年高考試題，數學試卷上出現鋼琴黑白鍵這一現象引起了廣泛討論。媒體紛紛評論：“從小學鋼琴的孩子有福了。”從一方面看，這種說法固然有其合理性，加強對中學學生的美學教育不但是教育部推進素質教育改革發展的要求，也是時代發展的必然趨勢。另一方面，這種說法也必然會引起另一個問題：難道不會鋼琴的孩子就一定做不出這道高考數學題嗎？答案當然是否定的。如果我們進一步深入分析命題人的出題思路，我們就會發現：高考題中音樂題頻繁出現，事實上是對將數學建模思想應用于生活實踐情境能力的考查，這并不強求學生具備相關的樂理知識。

需要進一步澄清的是：音樂與數學并非兩個毫不相干的學科，恰恰是數學建模思維的發展，賦予我們認識文化生活實踐諸領域一個新的維度。因而，高考試題中出現樂理題并不是出人意料的超綱，而恰恰是教育部課程標準對“注重數學文化的滲透，提升學生應用數學解決實際問題的能力”這一條標準的要求。面對高考數學試題的創新沿革，我們需要擔憂的恰恰不是“如何補充領域外的知識來應對考查范圍的變數”，而是如何用數學建模思維統攝生活中的雜多。簡而言之便是：用數學思想滲透生活實踐，數學不僅僅在試題本上，也在生活中。對數學建模思想應用于生活藝術諸領域的考查，正是對數學核心素養的考查。

同時，我們也需要意識到，2020全國2卷文科高考數學題中出現樂理題，或者更寬泛地來說，高考數學題中出現與藝術美育相關的題，并不是一個個別現象。如果我們追蹤五年內各省市高考題和模擬試題，我們會發現這種通過構建生活情境來檢驗學生數學思維能力與建模能力的考查思路與方法，在近幾年數學考試命題中是一脈相承的。因此，在對高考數學進行準備復習工作時，我們聚焦題目考查的重點、方法與思路，培養學生在生活實踐情境中靈活運用數學建模思維發現和解決問題的能力。

文章主要分為三個部分，首先，我們將回顧歷年高考及模考數學真題，給出較為合理的解題方法，并分析其具體知識考查重點。其次，我們將進一步分析命題人的考查重點與考查思路對學生相應能力的要求。最后，我們將著眼于這些要求，探索如何針對這類題目的命題思路，培養學生的相關能力，以應對考試。

一、 試題解法分析

（一）2020全國卷二文科高考數學第3題分析

題目：如圖，將鋼琴上的12個鍵依次記為a1，a2…a12，設1≤i≤j≤k≤12，若k-j=3且j-i=4，則稱ai，aj，ak，為原位大三和弦;若k-j=4且j-i=3，則稱ai，aj，ak為原位小三和弦，用這12鍵可以構成原位大三和弦與原位小三和弦的個數為（? ）

A. 5

B. 8

C. 10

D. 15

這道題目看上去較為抽象復雜，事實上用排列組合中的簡單列舉法就可以解出。

綜上，一共有10個，答案選C。

如果學生有過學過鍵盤樂器的經驗，確實容易對此類生活情境有著更直觀的把握。但事實上，命題人在這里引入鋼琴鍵盤，并不是為了考查學生的樂理知識，而是要考查學生在生活實踐情境中靈活運用相關知識的能力。另一點需要澄清的是：要解答這道試題需要的并不是額外的樂理知識，事實上，解答這道題所需要的樂理知識已經以數學模型的方式在題目中表達了出來。更具體地說，命題人在題目中已經對黑白鍵進行了數學符號化，將原位大三和弦和原位小三和弦的定理用數學公式表達出來，為考生對陌生領域的把握提供了橋梁，因而已經將音樂問題轉化成了數學問題。恰恰是通過數學橋梁的搭建，學生能夠用最基礎的排列組合知識，解決陌生領域的問題。

數學建模在生活情境中的運用遠不止于此，《普通高中課程標準》中明確指出：“音樂的要素都與數學相關，特別是音的律制與數學的關系十分密切。”2018年北京高考數學第2題道選擇題就精確貼合課程標準，考察了學生運用數學方法解決律制問題的能力。

（二）2018年北京高考數學第2題分析

題目：“十二平均律”是通用的音律體系，明代朱載堉最早用數學方法計算出半音比例，為這個理論的發展做出了重要貢獻。十二平均律將一個純八度音程分為十二份，依次得到十三個單音，從第二個單音起，每一個單音的頻率與它的前一個單音的頻率的比都等于122，若第一個單音的頻率為f，則第八個單音的頻率為（? ）

A. 32f

B. 322f

C. 1225f

D. 1227f

這道題是建立了等比數列模型，需要運用的基礎知識點是冪指數的運算，是高中數學必修一的基礎知識點之一。如果說上一題是在生活情境之上構建數學模型，那么這道題則是與音樂領域用數學表達的既有范式有關。作為給樂器人聲調音校準的范式，五度相生律、純律、十二平均律等律制的演變革新恰恰與人類歷史上數學的進展密切相關。培養學生的學科意識和學科關切，擴展學生的學科視野近些年愈發被重視，因此，音樂與數學模塊作為D類選修課程變得愈發重要起來。

以上選擇的兩道題目都是高考數學試題中出現樂理題的典型案例。事實上，回溯歷年高考數學及模擬真題，有不少試題涉及音樂及相關藝術文化實踐場景。選擇這兩道題目作為示例的原因是：首先，這兩道題目均為高考真題，在一定程度上代表了近幾年高考命題的命題思路和方向;其次，這兩道試題較好地體現了數學與音樂深度結合的思路。在第一道題中，命題人用數學建模的方法較為精簡準確地概括了抽象的和聲學知識，將黑白琴鍵數字化、符號化，不僅符合課程標準規定的考察重點，也切實符合當代音樂研究的發展方向。在第二道題中，命題人用短短幾十字揭示了數學科學發展與律學變革的關系，體現了命題人相當精深數學科學史素養，這種歷史的跨學科思維與素養是近年來中學數學教育新的側重點。