“球槽模型”中的臨界質(zhì)量比與靜止釋放初始位置的關(guān)系

白榮華 李春梅 高 遠(yuǎn)

(重慶市實(shí)驗(yàn)中學(xué)校 重慶 401320)

1 問題提出

圖1 球槽模型

2 數(shù)理解析

各量如圖2所示，小球滑下后某一瞬時小球與圓心的連線同水平方向的夾角為θ，對球槽系統(tǒng)分別由水平方向動量守恒和機(jī)械能守恒定律得

mv2x=Mv1

(1)

(2)

圖2 球槽模型各量分析

小球相對槽的速度方向沿圓弧切向，有

v2ytanθ=v2x+v1

(3)

(4)

(5)

v2=

(6)

其中

A=k+k2+(1+k)2cot2θ

為了考查式(6)中球的速率v2的單調(diào)性，我們等價考慮下面函數(shù)f(θ)的單調(diào)性，有

(7)

(8)

即

(9)

移項(xiàng)后提取公因式有

(10)

兩邊同乘sin2θ，得

(11)

k2(k+k2)≥2k(1+k)2(1-sinθ0)

移項(xiàng)化簡得

k2≥2(1+k)(1-sinθ0)

(12)

解此關(guān)于k的一元二次不等式，得

(13)

從而得到臨界質(zhì)量比

(14)

3 討論與結(jié)論

圖3 臨界質(zhì)量比kc與釋放初始角度θ0的關(guān)系

圖4 不同釋放初始角下，f(θ)隨角度變化關(guān)系